日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１７年予選の問題
今回は日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１７年予選第７問を取り上げます。
「正の」というのは０より大きいということで、「２P(ｎ)」は２×Ｐ(ｎ)ということです。
倍数判定法をうまく利用すれば、小学生でも解ける問題です。
中学入試で出される条件不足のつるかめ算の問題の処理（神戸女学院中学部２００９年算数第２問、武蔵中学校２００９年算数第３問、神戸女学院中学部２０１４年算数第１問、渋谷教育学園幕張中学校２０１８年１次算数第２問などの解答・解説を参照）と同じような感じですからね。
ｎの百の位の数を〇、十の位の数を□、一の位の数を△（〇は１以上９以下の整数、□と△は０以上９以下の整数）とします。
与えられた条件から、
〇×１００＋□×１０＋△×１＝２×〇×□×△＋２７
となります。
２×〇×□×△＋２７は奇数だから、△も奇数となります。
（あ）△＝１のとき
２×〇×□×△＋２７
＝２×〇×□×１＋２７
≦２×９×９×１＋２７（上限チェック！（以下同様））
＝１８９
だから、〇は１となります。
このとき、２×〇×□×△＋２７＝２×１×□×１＋２７≦２×１×９×１＋２７＝４５＜１００となり、条件を満たしませんね。
（い）△＝３のとき
２×〇×□×△＋２７
＝２×〇×□×３＋２７
≦２×９×９×３＋２７
＝５１３
だから、〇は１～５のいずれかの数となり、さらに、
２×〇×□×３＋２７
≦２×５×９×３＋２７
＝２９７
となるから、〇は１か２となり、さらにまた、
２×〇×□×３＋２７
≦２×２×９×３＋２７
＝１３５
となり、〇は１となります。
このとき、２×〇×□×△＋２７＝２×１×□×３＋２７≦２×１×９×３＋２７＝８１＜１００となり、条件を満たしませんね。
（う）△＝５のとき
２×〇×□×△＋２７＝２×〇×□×５＋２７の一の位の数が７となり、この場合はありえませんね。
（え）△＝７のとき
２×９×９×７が１０００を超えてしまうので、上限チェックをしても何の意味もないですね。
そこで、与えられた条件から得られる式をよく観察します。
〇×１００＋□×１０＋７×１＝２×〇×□×７＋２７
〇×１００＋□×１０＝２×〇×□×７＋２０
〇×１００、□×１０、２０はいずれも５の倍数だから、２×〇×□×７も５の倍数となり、（２と７は５と互いに素だから、）〇か□が５の倍数、つまり５となります。
〇＝５のとき
５×１００＋□×１０＝２×５×□×７＋２０
４８０＝□×６０
□＝８
このとき、ｎ＝５８７となります。
□＝５のとき
〇×１００＋５×１０＝２×〇×５×７＋２０
〇×１００＋５０＝〇×７０＋２０
となり、左辺が右辺より大きくなることが明らかだから、この場合はありえませんね。
（お）△＝９のとき
〇×１００＋□×１０＋９×１＝２×〇×□×９＋２７
ｎ（２×〇×□×９＋２７）が９の倍数だから、ｎの各位の数の和（〇＋□＋９）は９の倍数となり、〇＋□＝９か１８となります。
〇＋□＝９のとき
〇×９０＋（〇＋□）×１０＋９＝２×〇×□×９＋２７（分配法則の逆を利用しました。）
〇×９０＋９×１０＋９＝２×〇×□×９＋２７
〇×１０＋１０＋１＝２×〇×□＋３（式全体を１/９倍しました。）
〇×１０＋８＝２×〇×□
〇×５＋４＝〇×□（式全体を１/２倍しました。）
４＝〇×□ー〇×５
４＝〇×（□ー５）（分配法則の逆を利用しました。）
〇と□ー５は４の約数のペアで、その和が９－５＝４となるから、〇＝２、□ー５＝２となります。
このとき、ｎ＝２７９となります。
〇＋□＝１８のとき
〇＝□＝９となりますが、２×９×９×９＋２７＞１０００となり、条件を満たしませんね。
（あ）～（お）より、答えは５８７と２７９となります。
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