あるクラスの生徒４０人に鉛（えん）筆を配ることにしました。男子に５本ずつ、女子に３本ずつ配ると６本余ることが分かりました。そこで、新たに２０本を追加して、男子に４本ずつ、女子に５本ずつ配ると、過不足はありませんでした。はじめに用意していた鉛筆は全部で[ ]本です。
様々な解法が考えられる特殊算の問題です。
解説では、過不足算、（減点の）つるかめ算、消去算の３つの解法を紹介していますが、過不足算として処理するのが一番楽でしょう。
詳しくは、下記ページで。
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図のように立方体の３つの面ＡＢＣＤ、面ＢＥＦＣ、面ＣＦＧＤ上に等間隔（とうかんかく）の線がかかれています。図に見えている線の上を通ってＡからＦまで行きます。次のそれぞれの場合について、何通りの行き方があるか答えなさい。
（１）Ｃを通ってＡからＦまで最短距離（きょり）で行く場合
（２）ＡからＦまで最短距離で行く場合
南山女子頻出の最短経路の場合の数の問題です。
今回取り上げる問題は、京都大学１９９２年後期理系数学第２問・文系数学第３問をアレンジした問題です。
因みに、南女では、東大や京大の問題をアレンジした問題がたまに出されます。
さて、話を元に戻します。
メインの（２）の問題ですが、ＡからＦまで最短距離で行くためには、辺ＢＣと辺ＣＤの少なくとも一方を通る必要があることに着目して解きます。
その際、ダブルカウントが生じますが、それが（１）の場合で、誘導の（１）が使えるわけです。
詳しくは、下記ページで。
因みに、京大の問題は、立方体の６面すべてがｎ×ｎの格子状になっていましたが、解き方のベースはこの南女の問題と何も変わりません。
南女の図を使って説明すると次のようになります。
立方体の残りの頂点をＨとします。
ＡからＦまで最短距離で行くためには、辺ＢＣ、辺ＣＤ、辺ＤＧ、辺ＧＨ、辺ＨＥ、辺ＥＢの少なくとも１つの辺（要するに、頂点Ａと頂点Ｆが絡まない辺ですね）を通ることになります。
まず、Ａから辺ＢＣを通ってＦに行く場合について考えます。
ＡからＦまで行くのに右に２ｎ（ｎ×２のことです（以下同様））回、上にｎ回（合計３ｎ回）移動することになります。
３ｎ回のうちどのｎ回上に行くかを考えればよく、この場合は3nＣn通りあります。
他の５つの辺についても同様に3nＣn通りあります。
上記６つの場合には、辺ＢＣと辺ＥＢをともに通る場合、つまり点Ｂを通る場合（2nＣn通り））がダブルカウントされているので、取り除く必要があります。
点Ｃ、点Ｄ、点Ｇ、点Ｈ、点Ｅを通る場合も同様にダブルカウントされていますね。
（立方体の辺上のみ通る場合（例えば、点Ｂも点Ｃも通る場合など）が適切にカウントされているか一応心配になりますが、カウント回数をチェックすると適切にカウントされています（詳細は省略）。）
結局、求める場合は全部で６（3nＣn－2nＣn）通りとなります。
ｎという文字が入っているので、小学生にとっては難しく感じるかもしれませんが、例えば、ｎ＝４としてみれば、南女の問題と同じような問題であることがわかるはずです。
同じ種類の２１個のあめをＡ、Ｂ、Ｃの３人に分けます。あめはひとりに１個以上あげるものとし、また、Ａに１個、Ｂに３個、Ｃに１７個のように、３人に分ける数はすべて奇数とします。このとき、あめの分け方は何通りですか。
まず、下の問題を解いてみましょう。
今回取り上げた問題は、この問題を少しだけひねった問題になります。
分ける個数が奇数というのをうまく処理すれば計算で簡単に答えを求めることができます。
まず、３人にあめを１個ずつ配ります。
残り１８個のあめを３人に偶数個ずつ配ることになりますが、２個のあめをセットにし、９セットのあめを３人に配ると考えます。
ここで、合計９個の〇をＡ、Ｂ、Ｃの３人のところに配置すると考えます。
その際、〇９個と/２個を配置し、左側の/の左側がＡの取り分で、左側の/と右側の/の間がＢの取り分で、右側の/の右側がＣの取り分と考えます。
例えば、〇//〇〇〇〇〇〇〇〇であれば、Ａが１個、Ｂが０個、Ｃが８個となります（実際には、最初に配った１個がそれぞれ足され、この例であれば、Ａは１＋１×２＝３個、Ｂは１個、Ｃは１＋２×８＝１７個となります）。
結局〇９個と仕切り（/）２個の配置の仕方を考えればよいから、分け方は、全部で
（１１×１０）/（２×１）
＝５５通り
あります。
下の問題もぜひ解いてみましょう。
次の各問いに答えなさい。
（１）[図１]のように、辺ＡＢと辺ＡＣの長さが等しい直角二等辺三角形ＡＢＣがあり、その内側に正方形と直角二等辺三角形がすき間なく敷きつめられています。点Ｄが[図１]の位置にあるとき、（ＢＤの長さ）：（ＤＣの長さ）を、最も簡単な整数の比で答えなさい。
（２）[図２]のように、長方形ＰＱＲＳがあり、その内側に正方形と直角二等辺三角形がすき間なく敷きつめられています。（ＰＱの長さ）：（ＱＲの長さ）を、最も簡単な整数の比で答えなさい。
（２）だけが出されたら難しかったかもしれませんが、（１）があるから比較的簡単に簡単に解ける問題になっています。
（１）は、辺の比を底辺（辺ＢＣ）のところと高さ（頂点Ａから辺ＢＣに引いた垂線）のところに集めて消去算を解けばよいでしょう。
３つの正方形の一辺の長さの比も求めておくとよいでしょう。
（２）は、（１）の図（の一部）があることに着目して、３つの正方形の一辺の長さの比を利用して解くだけです。
詳しくは、下記ページで。
渋谷教育学園幕張中学校２０２５年１次算数第４問（解答・解説）
下の問題もぜひ解いてみましょう。
２つの整数Ａ、Ｂに対して、Ａ÷Ｂの値（あたい）を小数で表したときの小数第２０２０位の数を＜Ａ÷Ｂ＞で表すことにします。例えば、２÷３＝０．６６６・・・なので、＜２÷３＞＝６です。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）＜１÷１０１＞、＜４０÷２０２０＞をそれぞれ求めなさい。
（２）＜Ｎ÷２０２０＞＝３をみたす整数Ｎを１つ求めなさい。
割り算することなく簡単に解ける問題です。
（１）
１/１０１＝９９/９９９９＝００９９/９９９９＝０．００９９００９９・・・（□/９＝０．□□・・・、□△/９９＝０．□△□△・・・、□△〇/９９９＝０．□△〇□△〇・・・、（以下同様）を利用しました。）
小数部分は０、０、９、９の４つの数の繰り返しとなるから、小数第２０２０（４の倍数ですね）位の数は９となります。
４０/２０２０＝２/１０１＝（２００－２）/９９９９＝１９８/９９９９＝０１９８/９９９９＝０．０１９８０１９８・・・
小数部分は０、１、９、８の４つの数の繰り返しとなるから、小数第２０２０（４の倍数ですね）位の数は８となります。
（２）
（１）のヒントを利用します。
（１）でわかったことは、
＜１÷１０１＞＝９
＜２÷１０１＞＝８
ですね。
この流れからすると、
＜３÷１０１＞＝７
・・・・・・・・・
＜７÷１０１＞＝３（１＋９＝２＋８＝３＋７（和一定）に着目すればすぐにわかりますね。）
となりますが、実際、
７/１０１＝（７００－７）/９９９９＝６９３/９９９９＝０６９３/９９９９＝０．０６９３０６９３・・・となり、確かに小数第２０２０位の数が３となりますね。
７/１０１＝１４０/２０２０だから、整数Ｎ（の１つ）は１４０となります。
下の問題もぜひ解いてみましょう。