小学生でも解ける大学入試数学の問題 東京大学２０２６年理科数学第２問・文科数学第２問

　nを正の整数とする。座標平面上の３n個の点がなす集合
　｛(x,y)|x、yは１≦x≦３、１≦y≦nを満たす整数}
から相異なる３点を選ぶ。ただし、どの３点も等確率で選ばれるものとする。選んだ３点が三角形の３頂点となる確率をp_nとする。
（１）p₅を求めよ。
（２）mを２以上の整数とする。p_2mを求めよ。
（注）
正の→０より大きい
３n→３×n
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。
２m→２×m
問題文は、「等間隔に縦ｎ個、横３個に並んだ合計（３×ｎ）個の点があり、これらの点から異なる３個の点を選ぶ。選んだ３点が三角形の３頂点となる確率を求めよ。」ということです。

今回取り上げる問題は、難問ぞろいの今年の東大入試数学におけるオアシスと言える問題です。
今から７０年弱前の東大入試において、数値が変わっただけの問題（等間隔に縦４個、横５個の点が並んだ問題）が出されていますからね。
この古い東大の問題は、灘中対策演習問題に入れていて、灘中を受験する教え子に解いてもらっています。
きっちりとした解き方をしていれば、今年の東大の問題も解けます。
今年の東大の問題は横に３個並んでいるのでむしろ解きやすかったなぁという印象です。

詳しくは、下記ページで。

　東京大学２０２６年理科数学第２問・文科数学第２問（問題）

　東京大学２０２６年理科数学第２問・文科数学第２問（解答・解説）

『小学生でも解ける大学入試数学の問題（数の性質の問題）　東京大学２０２６年理科数学第６問（１）』

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小学生でも解ける大学入試数学の問題 京都大学２０２６年理系数学第６問・文系数学第５問

　ｎは３以上の整数とする。１からｎまでの番号が書かれたｎ枚の札が袋に入っている。ただし、同じ番号が書かれた札はないとする。この袋から３枚の札を同時に取り出し、一番大きな番号をＸとする。Ｘの期待値を求めよ。
（注）
期待値→小学生の場合、単に平均と考えればよいでしょう。

小学生にとっては文字式の処理が若干うっとうしいかもしれませんが、内容的には小学生でも解ける問題です。

中学受験生であれば、組合せを当然マスターしているはずですからね。

途中の計算で、連続３整数の積の和を求める処理が必要となります。

高校生ならシグマ公式一発で終わりですが、小学生には無理なので、シグマ公式を証明する際の手法を利用することになります。

難しく感じるかもしれませんが、２０年以上前に洛星中学校で同種の計算問題が誘導付きで出されています。

洛星中学校２００５年後期２第１問（問題）

この問題と同じ手法を用いれば、簡単に計算することができます。

因みに、九州大学などでシグマ公式の証明問題が出されていますが、この手法で簡単に証明することができます。

機会があれば、九大の問題を取り上げ解説したいと思います。

詳しくは、下記ページで。

　京都大学２０２６年理系数学第６問・文系数学第５問（問題）

　京都大学２０２６年理系数学第６問・文系数学第５問（解答・解説）

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小学生でも解ける大学入試数学の問題（数の性質の問題） 東京大学２０２６年理科数学第６問（１）

 　ｎを正の整数とする。ｎの正の約数の内、３で割って１余るものの個数をf(ｎ)、３で割って２余るものの個数をg(ｎ)とする。
（１）f(２８００)、g(２８００)を求めよ。
（２）省略
（３）省略

「正の」というのは、０より大きいということです。
（２）と（３）は小学生には厳しいので省略しています。

（１）は小学生でも解ける問題で、実際、灘中で同じような問題が出されています。

灘中学校２０１９年１日目算数第４問（問題）

因みに、灘中を受験する教え子が取り組む灘中対策演習問題には、次の問題などが入っています。

　９１を１２個かけあわせた数の約数のうち、一の位が１となるものは全部で[　]個あります。

　３６００の約数Ａを考え、Ａの約数のうち、すべての約数の和が７で割り切れるものＢを考えます。Ｂのうち、３番目に大きいものは[　]です。

さて、東大の問題を解いてみましょう。

２８００を素因数分解すると、４×７×１０×１０＝２×２×２×２×５×５×７となります。
３で割ると２余る数である２と５は合わせて偶数個（０個も含みます（以下同じ））使うと、３で割ると１余る数となり、合わせて奇数個使うと、３で割ると２余る数となります（大学受験生なら合同式を用いて説明することになりますが、小学生の場合、上の灘中の問題の解説にあるように、面積図を用いて説明すればすぐにわかることです）。
３で割ると１余る数である７は使っても使わなくても３で割った余りに変化はありません。
f(２８００)について
２の使用個数と５の使用個数の偶奇が一致するときが条件を満たしますね。
２の使用個数と５の使用個数がともに偶数の場合、２は０個か２個か４個の３通りあり、そのそれぞれに対して５は０個か２個の２通りあり、そのそれぞれに対して、７は０個か１個の２通りあります。
また、２の使用個数と５の使用個数がともに奇数の場合、２は１個か３個の２通りあり、そのそれぞれに対して５は１個の１通りあり、そのそれぞれに対して、７は０個か１個の２通りあります。
したがって、
　　f(２８００)
　＝３×２×２＋２×１×２
　＝１６
となります。
g(２８００)について
２の使用個数と５の使用個数の偶奇が異なるときが条件を満たしますね。
f(２８００)と同様に考えると、
　　g(２８００)
　＝３×１×２＋２×２×２　（f(２８００)の２つの積の真ん中の数２と１を入れ替えるだけの作業です。）
　＝１４
となります。

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算数で解く大学入試数学の問題

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場合の数の問題 筑波大学附属駒場中学校２０２６年算数第２問

　一辺の長さが１０cmの正三角形のタイルがあります。タイルは、白色のタイル、赤色のタイル、青色のタイルの３種類があります。
　このタイル５４枚（まい）を右の図のようにはり合わせて、一辺の長さが３０cmの正六角形のパネルをつくります。
　ただし、パネルを裏返（うらがえ）すことはできません。
　次の問いに答えなさい。
（１）白色のタイル５３枚、赤色のタイル１枚をはり合わせて、パネルをつくります。このとき、つくれるパネルのうち、色の配置が異（こと）なるものは何種類ありますか。
　ただし、回転させて色の配置が同じになるパネルは１種類と数えます。
（２）白色のタイル５２枚、赤色のタイル１枚、青色のタイル１枚をはり合わせて、パネルをつくります。このとき、つくれるパネルのうち、色の配置が異なるものは何種類ありますか。
　ただし、回転させて色の配置が同じになるパネルは１種類と数えます。
（３）白色のタイル５２枚、赤色のタイル２枚をはり合わせて、パネルをつくります。このとき、つくれるパネルのうち、色の配置が異なるものは何種類ありますか。
　ただし、回転させて色の配置が同じになるパネルは１種類と数えます。

　　

（１）と（３）の問題は、桜蔭中学校で同じ問題が過去に出されています。

桜蔭中学校２０１８年算数第２問（２）（問題）

数値が変わっていますが、解き方は同じです。

この問題の解説は、桜蔭中学校の解説の図を変更し、数字を手直しするだけでしたからね。

因みに、大学入試やジュニア数学オリンピックでも同じような問題が出されています。

大阪大学１９９９年前期理系数学第５問（問題）

『小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２０１６年予選第３問』

小学生でも解ける問題なので、ぜひチャレンジしてみましょう。

さて、今回取り上げた筑駒の問題ですが、条件の対等性を駆使すれば簡単に解けます。

解答の流れがが悪くなるので、（１）、（３）、（２）の順で解いています。

（２）はダブりの心配もない簡単な問題で、なぜ出したのか分かりません。

（３）を解くために必要なわけでもありませんしね。

受験生をミスリードしかねない気がします。

詳しくは、下記ページで。

　筑波大学附属駒場中学校２０２６年算数第２問（問題）

　筑波大学附属駒場中学校２０２６年算数第２問（解答・解説）

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筑波大学付属駒場中学校の過去問　中学受験・算数の森

算数合格へのチャレンジ演習 中学への算数　難関中学受験用 [ 東京出版編集部 ]

中学への算数　ステップアップ演習

算数プラスワン問題集（中学受験） [ 望月俊昭 ]

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小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック（JMO)２０２６年予選第６問）

　日本数学オリンピック２０２６年予選の問題

今回は２０２６年の日本数学オリンピック（JMO）の予選第６問を取り上げます。

中点というのは、真ん中の点のことです。

答えにルートが絡んでしまうので、ＭＢ＝１６/３として考えます。

このように数値変更しても本質は何も変わりません。

灘中受験生や算数オリンピック・ジュニア算数オリンピックにチャレンジする子ならさっと解けるレベルの問題です。

図形の内部に補助線を引くことができなくても、図形の外部に補助線（延長する補助線）を引くことができる子が多いですが、その補助線で簡単に解けますからね。

ＢＦとＣＤをそれぞれ延長し、交わった点をＧとします。

　　

三角形ＭＡＢと三角形ＭＥＧは合同（ちょうちょ相似で、ＭＡ＝ＭＥ）だから、ＡＢ＝ＥＧとなります。

また、平行四辺形の対辺は等しい（ＡＢ＝ＣＤ）から、ＣＤ＝ＥＧとなり、共通部分ＥＤを取り除くと、ＣＥ＝ＤＧとなります。

ＣＥ＝３だから、ＤＧ＝３となり、三角形ＤＧＦは二等辺三角形となり、三角形ＤＧＦと相似（ピラミッド相似）な三角形ＣＧＢも二等辺三角形となります。

ＭはＢＧの中点だから、ＣＭは二等辺三角形ＣＧＢの線対称の軸となり、角ＣＭＢは直角となります。

ＣＭ：ＭＢ＝４：１６/３＝３：４だから、ＢＣ＝４×５/３＝２０/３となります（辺の比が３：４：５の有名直角三角形を利用）。

ＣＧ＝２０/３となるから、ＡＢ（＝ＣＤ）は２０/３－３＝１１/３となります。

なお、辺の比が３：４：５の有名直角三角形を利用せずにＢＣの長さを求めることもできます（下のページにある各問題の解説を参照）。

『平面図形の問題（斜めの正方形の処理）　灘中学校２０２６年算数１日目第９問』

『平面図形（相似、面積比）の問題　南山中学校女子部２０２６年算数第７問』

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