算数パズル問題（覆面算）　灘中学校２０２６年算数２日目第５問

　７個の数字２、３、４、５、６、７、８から異なる４個の数字を選んで並べ４桁の数ＡＢＣＤを作り、選ばなかった３個の数字を並べ３桁の数ＥＦＧを作ったところ、ＡＢＣＤ÷ＥＦＧ＝９となりました。
（１）このような４桁の数ＡＢＣＤのうち、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれかが８であるものはただ１つです。その数を答えなさい。
（２）このような４桁の数ＡＢＣＤのうち、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれも８でないものは全部で２個あります。それらの数を答えなさい。

 

記事のタイトルでは一応覆面算としていますが、数の性質の問題です。

従来１日目に出されたタイプの問題ですが、（２）を処理するのに若干時間がかかるので、２日目に出されたのでしょうね。

 

 

 

ただ、２日目の最後の問題としてはずいぶん軽い問題のような気がします。

答えの個数が明記されているため、指定された個数の答えを見つければ、作業を途中で打ち切ることができますからね。

まず９の倍数判定法を利用（上の２０１７年の問題と同様の手法ですね）すると、Ｅ、Ｆ、Ｇの和がすぐに確定します。

与えられた式を筆算の形にして考えますが、その際、かけ算ではなく引き算で処理するのがポイントです。

９倍する計算において、１０倍したものからもとの数を引くという計算の工夫と同じ作業です。

筆算をよく観察すると、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇに関する条件があぶりだせるので、調べる場合が激減します。

詳しくは、下記ページで。

　灘中学校２０２６年算数２日目第５問（問題）

　灘中学校２０２６年算数２日目第５問（解答・解説）

 

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平面図形（相似、面積比）の問題　大阪星光学院中学校２０２６年算数２問改題（一部略）

　右の図において、四角形ＡＢＦＧと四角形ＢＣＤＥはどちらも長方形で、３点Ａ、Ｂ、Ｃは一直線上にあります。
（１）省略
（２）省略
（３）四角形ＨＫＭＬの面積は[　]cm2です。

　　　

 

誘導はカットしています。
問題文の図を見た瞬間に右上が不自然に欠けていることにすぐに気づくはずです。
また、図形問題に取り組む際に対称性を常に意識している子であれば、ＢＤとＢＦがなければ線対称になっていることにも気づくでしょう。
さて、問題を解いていきましょう。
不自然に欠けている右上の部分を補います。

　　　
三角形ＮＧＥと三角形ＮＡＤのピラミッド相似（２つとも直角二等辺三角形ですね）に着目すると、ＧＥとＡＤは平行となることが分かります。
すると、三角形ＣＥＧと三角形ＣＬＨがピラミッド相似（相似比はＣＧ：ＣＨ）になっていることも分かりますね。
ここで、三角形ＣＤＨと三角形ＧＡＨのちょうちょ相似（相似比は１０：６＝５：３）に着目すると、ＣＧ：ＣＨ＝（５＋３）：５＝８：５となるから、三角形ＣＥＧと三角形ＣＬＨの面積比は（８×８）：（５×５）＝６４：２５となります。
三角形ＣＥＧの面積＝三角形ＦＥＧの面積＋三角形ＦＣＥの面積×２＝４×４×１/２＋４×６×１/２×２＝３２cm2だから、三角形ＣＬＨの面積は３２×２５/６４＝２５/２cm2となります。
あとは、三角形ＣＭＫの面積を求めて引くだけです。
三角形ＡＣＧと三角形ＢＣＩのピラミッド相似（相似比は１０：６＝５：３）に着目すると、ＢＩ＝６×６/１０＝１８/５cmとなります。
三角形ＫＣＤと三角形ＫＩＢのちょうちょ相似（相似比は１０：１８/５＝２５：９）と点Ｍが対角線ＢＣの真ん中の点であることに着目すると、ＢＫ：ＫＭ：ＭＤ＝９：８：１７となり、三角形ＣＭＫの面積＝三角形ＢＣＤの面積×８/３４＝１０×６×１/２×８/３４＝２４０/３４（２と通分するので約分してはいけません）cm2となることが分かります。
したがって、求める面積は２５/２－２４０/３４＝１８５/３４cm2となります。
文章で書くと、上記のように多少端折ってもかなり面倒な感じになりますが、図に長さや比を書き込んでいけばかなりすっきりとした感じになります。

なお、右上の部分を補わずに、最初に述べた線対称を利用して三角形ＣＬＨの面積を求めてもよいでしょう（こちらの方がはるかに楽になります。ただ、今年の灘中の１日目の最後の問題がそうでしたが、不自然に欠けているところがあればそれを補って考えるということは大切なことなので、この問題では遠回りになりますが、あえてその解法を選択しました）。

式だけ書いておくので、その意味を考えてみましょう。

　１０×１０×１/２×（５－３）/（３＋５）

 

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数の性質（分数）の問題　灘中学校２０２６年算数１日目第２問

　Ａは５０以上８０以下の整数で、Ｂは整数です。Ｂ÷Ａを小数で表すと０．０６１・・・となります。このとき、Ａ＝[①　]、Ｂ＝[②　]です。

 

今から３０年弱前の神戸女学院中学部の問題（神戸女学院中学部１９９８年算数２日目第３問）の劣化版という感じの問題です。

神戸女学院の問題と異なり、答えを１つだけ求めればよいから、本格的な処理をする必要はないでしょう。

上限チェックと下限チェックを行うとＢがすぐに確定するので、あとは大雑把に見当をつけてＡを求めるだけです。

詳しくは、灘中学校２０２６年算数１日目第２問の解答・解説で。

因みに、上の神戸女学院の問題と下のジュニア数学オリンピック（JJMO)の問題が灘中志望者向けの灘中対策演習問題の中に入っています。

 

 

 

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平面図形の問題（斜めの正方形の処理）　灘中学校２０２６年算数１日目第９問

　右の図で、四角形ＡＢＣＤは長方形、四角形ＤＥＦＧは正方形です。点Ｆは対角線ＢＤ上にあり、点Ｇは辺ＢＣ上にあります。このとき、ＧＣの長さは[①　]cmです。また、辺ＡＤと辺ＥＦが交わる点をＨとすると、ＡＨの長さは[②　]cmです。

　　　

 

斜めの正方形の処理（最難関中の受験生であれば常識レベルです）をしっかりマスターしていれば簡単に解けます。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

斜めの正方形を水平な正方形の中に埋め込み、直角三角形の合同・相似とピラミッド相似を利用するだけです。

詳しくは、下記ページで。

　灘中学校２０２６年算数１日目第９問（問題）

　灘中学校２０２６年算数１日目第９問（解答・解説）

 

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比と割合の文章題（商売）　愛光中学校２０２６年算数第２問

　ある商品を１個５６０円で何個か仕入れ、仕入れ値の４０％の利益を見込んで定価を付けました。１日目は定価で売ったところ、７６個売れ残りました。そこで、２日目は定価からいくらか値引きして売ったところ、すべて売れました。その結果、利益は最初の見込みより１４８９６円少なくなりました。
（１）２日目の売値は定価の何％引きでしたか。
（２）１日目の終了時点での売り上げから仕入れ値の総額をひくと１５６８０円です。このとき、１日目に売れた商品は何個でしたか。

 

売買算の基本問題です。

（１）は、見込み利益が減った理由が７６個の値引きにあることに着目するだけです。

（２）は、計算の面で差がつく問題です。

１日目の総利益がどうなるか見抜ければ、１日目の１個あたりの利益で割ることにより簡単に答えを求めることができます。

１日目や２日目の総売り上げを求めるようなことをすると面倒なことになります。

詳しくは、下記ページで。

　愛光中学校２０２６年算数第２問（問題）

　愛光中学校２０２６年算数第２問（解答・解説）

 

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