今回は、日本数学オリンピック２００６年予選第６問を取り上げ、解説します。
簡単な問題ではありませんが、最難関中学校の受験生や算数オリンピックにチャレンジする子であれば、解けるようにしておくべき問題です。
すべての場合の数（２×２×２×２×２×２×２×２×２＝５１２通り）から同じ色のみからなる２×２の正方形ができる場合の数を引いて求めます（余事象の利用）。
赤いマスの２×２の正方形と青いマスの２×２の正方形が同時にできることはありえませんね。
また、赤と青は条件的に同じだから、赤いマスの２×２の正方形ができる場合の数を考え、それを２倍すれば同じ色のみからなる２×２の正方形ができる場合の数が求められますね（条件の対等性の利用）。
赤いマスの２×２の正方形（以下、Ｓとします）は四隅にできます（上の図の左上のものが一例）。
黄色の部分は２×２×２×２×２＝３２通りあり、どの四隅にできるかで４通りあるから、Ｓができる場合は全部で３２×４＝１２８通りありそうですが、この中には、（あ）四隅のうち４か所にＳができる場合が４回カウントされ、（い）四隅のうち３か所にＳができる場合が３回カウントされ、（う）四隅のうち２か所にＳができる場合が２回カウントされてしまっているので、それぞれの場合において、３回分、２回分、１回分取り除く必要があります。
（あ）の場合
９マスすべてが赤入りの場合（１通りありますね）だから、１×３＝３通り取り除くことになります。
（い）の場合
四隅のうち１か所だけ青色の場合（４通りありますね）だから、４×２＝８通り取り除く必要があります。
（う）の場合
Ｓが斜めに２つ並ぶ場合とＳが隣に２つ並ぶ場合があります。
前者は、四隅のうち最も離れた２か所だけが青色の場合（２通りありますね）ですね。
後者は、２×３（３×２）の赤色の長方形が元の正方形の１つの辺のところにできる場合（４通りありますね）で、図の黄緑色のマスが赤色の場合、２つの水色のマスは青色に確定し、黄緑色のマスが青色の場合は、２つの水色のマスは何色でもよく２×２＝４通りあり、（１＋４）×４＝２０通りあります。
したがって、（２＋２０）×１＝２２通り取り除く必要があります。
（あ）、（い）、（う）より、Ｓができる場合は全部で
１２８－（３＋８＋２２）
＝９５通り
あり、同じ色のみからなる２×２の正方形ができる場合は
９５×２
＝１９０通り
あります。
したがって、求める場合は全部で
５１２－１９０
＝３２２通り
あります。
なお、上の解説で重複してカウントされてしまっていますと書いてありますが、実際は、わざと重複してカウントして、その後、ダブってカウントされた分を取り除くという手法で解いています。
この手法は、中学入試、高校入試、大学入試、数学オリンピックなどで使える応用性の高いものなので、しっかりマスターしておきましょう。
東京大学２０２３年理科数学第２問・文科数学第３問、日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２０２３年予選第３問、灘高等学校２０２２年数学第４問などに取り組んでみるとよいでしょう。
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