Nikulin; real polarized K3 surfaces, 2008

V.V. Nikulin;

On the connected components of moduli of real polarized K3 surfaces

Izvestiya: Mathematics 72:1 (2008), 91--111.

Abstract.

We complete the investigations in [11] on the classification of connected components of moduli of real polarized -surfaces.

In particular, we show that this classification is closely related to some classical problems in number theory:

the classification of binary indefinite lattices and the representation of integers as sums of two squares.

As an application, we use recent results in [13] to completely classify

real polarized -surfaces that are

deformations of real hyperelliptically polarized -surfaces.

This is important because

real hyperelliptically polarized -surfaces

can be constructed explicitly.

Mathematics Subject Classification: 14H45, 14J26, 14J28, 14P25

[11] Nikulin; Integral ・・・・　(1979).

[13] Nikulin and Saito; Real K3・・・・　Proc LMS 90 (2005)

Nikulinによる実・代数的・K3曲面の粗モジュライ空間に対する対応定理

基本文献：

V.V. Nikulin,
Integral symmetric bilinear forms and some of their applications,
Izv. Akad. Nauk SSSR Ser Mat.　43-1 (1979), 111--177.
English transl., Math. USSR Izv. 14-1 (1980), 103--167.

-------------------------------------------------------

Xが代数的K3曲面，

l (∈Pic(X) ⊂ H^2(X, Z)) が very ample (それにより複素射影空間に埋め込める)のとき，

　　　　　 組 (X, l）

を，偏極K3曲面 (polarized K3 surface) と（この論文では）呼ぶ．

さて，

-------------------------------------------------------

実数体上定義された(代数的) K3曲面 X_0 (⊂ P^N ) に対し，

h をそのhyperplane section のdivisor class (∈Pic(X_0) ⊂ H^2(X_0, Z) ) とすると，

h は (very ampleであるが) H^2(X_0, Z)の中でprimitiveとは限らない．そこで，

自然数 k を，h/k がH^2(X_0, Z)の中でprimitive であるように取り，

　　　　　　　　　　　n = (h/k)^2

とおく．

--------------------------------------------------

　　　　n は，偏極K3曲面 (X_0, h) の次数と呼ばれる．

　　　　K3曲面の性質から，n は偶数である．

　　　　また，h がvery ampleであることから，n >0 である．

　　　　h が既約曲線で代表されることと，Riemann-Rochの定理より，

　　　　N = dim |h| = (1/2)nk^2 + 1　　である．

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さて，the Hilbert scheme of P^N において，

「非特異K3曲面の全体」は，Zariski open subset である．

そのthe Zariski connected component で，K3曲面 X_0 を含むものを，

　　　　　　　　　　　　　　Н_0

とおく．すると，次の事実がある：

●この Н_0 は，「偏極K3曲面 (X, l） で，組 (H^2(X, Z), l) が組 (H^2(X_0, Z), h) に同型(isometric)なものの全体」である．（このことは，marked polarized K3 surfacesに対するglobal Torelli therem による）

●ところが，H^2(X, Z)の同型類が1つ(=the K3 lattice)であることから，

組 (H^2(X, Z), l)の同型類は，次数 n と自然数 k により決まる．（ここで，n と k は，(X_0, h) に対して上述のように決めたのと同様に，各偏極K3曲面(X, l) に対して決まる）

そこで，以後，

　　　　　　　　　　　Н_{n,k} ：= Н_0

とおく．

さて，　Н_{n,k}は，複素多様体(smooth)であることが知られているので，

Zariski connectedであることから，通常位相でも連結である．

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　　　以上のstatementの中の用語の定義や結果については，

　　　以下の参考文献を参照：

　　　[26]I.R. Shafarevich,

　　　 　　"Basic Algebraic Geometry". 　(Hilbert schemesについて)

　　　[22]I.I. Piateckii-Shapiro and I.R. Shafarevich,

　　　　 　A Torelli theorem for algebraic surfaces of type K3,

　　　　　 　Math. USSR Izvestija, 5-3 (1971) 547--588.

　　　[23]I.I. Piateckii-Shapiro and I.R. Shafarevich,

　　　　 　The arithmetic of K3 surfaces, (1973)

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（ここまでは，複素数体上のお話）

さて，P^N上の複素共役は，Н_{{n,k}にも作用する．

この作用に関する不動点であるような偏極K3曲面(X,l)は，

Xが実係数多項式で定義され，linear system |l|によるP^Nへの埋め込みは複素共役と可換になっている．

このような偏極K3曲面（偏極実K3曲面）の全体を，

　　　　　　　　　　　Н_{n,k}(R)

とおく．

Н_{n,k}(C)が連結であったのに対し，

Н_{n,k}(R) は，一般に，非連結である．

-----------------------------------------------------------

さて，PGL(N+1, R)は，Н_{n,k}(R)に作用する．そこで，

　　　　　　　　　Μ_{n,k}(R) = Н_{n,k}(R) / PGL(N+1, R)

とおく．

定義：

２つの偏極実K3曲面がΜ_{n,k}(R)の同じ連結成分に属するとき，これらは，coarsely projectively equivalent （粗射影的同値）であるという．

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重要な注意：

coarsely projectively equivalentな偏極実K3曲面は，適当なPGL(N+1, R)の作用を施すことにより，

P^Nにおいて，(differentiablyに) 複素共役に関しequivariant isotopicである．

ここで，そのisotopyの途中はすべてН_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面となっている．したがって，この意味で rigid isotopicである．

その理由は以下の通り：

coarsely projectively equivalentな偏極実K3曲面は，必要であれば適当なPGL(N+1, R)の元の作用を施すことにより，Н_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する．

ヒルベルトスキームの普遍性を使えば，Н_{n,k}(R)をbase spaceとする Н_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面たちの族が存在し，それは，P^Nへの埋め込みと複素共役の作用をこめて，differentiable fiber bundle （各fiberはН_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面）となっていることがわかるので，Н_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する偏極実K3曲面は，P^N において，(differentiablyに) P^Nの複素共役に関してequivariant isotopicであり，しかも，isotopyの途中はすべて，Н_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面である．

従って，coarsely projectively equivalentな偏極実K3曲面の「実部」は，適当にPGL(N+1, R)の作用を施すことにより，P^N(R)において(differentiablyに) rigid isotopicである．

Н_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する偏極実K3曲面(X, l）に対しては，により，その"associated polarized integral involution" (Example 3.1.2参照)

　　　　　　　　　　　 (H^2(X, Z), conj^*, l)

の同型類(isometry class)が一意的に定まる．

なぜならば，Н_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する２つの偏極実K3曲面(X_0, l_0), (X_1.l_1)に対し，X_0とX_2は，により，P^Nの中でequivariant isotopic であることから，複素共役と可換なP^N上のdiffeomorphismにより，X_0はX_1に写されるが，

このdiffeoは恒等写像を変形したものなので，X_0上に制限すると，X_0からX_1へのorientation preserving diffeoである．従って，H^2(X_1, Z)からH^2(X_0, Z)へのisometryを誘導する．これがconj^*と可換なことはよい．しかも，l_1をl_0に写す．

さらに，PGL(N+1, R)の元のP^Nへの作用は可逆線形変換なのでbiregularであるから，orientation preserving であり，明らかにconjと可換である．また，P^Nのhyperplaneを可逆線形変換で写してもhyperplaneである．

従って，

M_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する偏極実K3曲面(X, l）に対し，

その"associated polarized integral involution"

　　　　　　　　　　　 (H^2(X, Z), conj^*, l)

の同型類(isometry class)が一意的に定まることがわかる

coarsely projectively equivalentな偏極実K3曲面は，により，

「PGL(N+1, R)の作用を除いてP^N において differentiablyに，equivariant isotopic」 なので，

「複素共役の作用と可換なdiffeoによりdiffeomorphic」であることになる．

したがって，分岐曲線のdividingnessやcomplex orientationは，

coarsely projectively equivalence不変な性質である．

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上のNikulinの定式化におけるHilbert schemeの重要性は，その上にそのHilbert schemeの元である閉部分スキームをfiberとするfamilyが構成できるところにあるといえる．

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（以上　5/24/2009）

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さて，

ここで，l はprimitiveとは限らないが，kで割った l/k はprimitiveである．

そこで，

polarized integral involution

　　　　　　　　　　　　(H^2(X, Z), conj^*, l/k)

をassociateさせることにより，次の重要な定理を得る：

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定理3.10.1

Μ_{n,k}(R)の連結成分は，

"polarized integral involution (偏極対合付き格子)" (L,φ, h)

(ここで，φは，lattice L上のformを保つhomomorphismであるようなinvolution，

h ∈L) で，L が even unimodular lattice of signature (3,19) (つまり，K3格子)，

φ(h)=-h, h はLの中でprimitive， t_(+) = 1， h^2 =n　であるものの同型類

と bijectiveに対応する．

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ここで，φのfixed part E_+ 上のsignatureを (t_(+), t_(-)) とする．

注意：

●nを固定したとき，

任意のkに対して，M_{n,k}(R)の連結成分は互いにbijectiveに対応することがわかる．

●実K3曲面(X, conj)に対し，H^{2,0}(X)は複素1次元であり，

Hodge structureへのanti-holomorphic involutionの作用を考える

（[54]Kharlamov, A generalized Petrovskii inequality. I, II, Funct. Anal. Appl. 8 (1974), 9 (1975) 参照）

ことにより，

　　　　　t_(+) = dimH^{2,0}(X) = 1

がわかる．

●定理3.4.3により，polarized integral involutions (L, φ, h) で(RSK3)

と h^2 =n を満たすものに対して，不変量

　　　　　　　　　　　(t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh})

の取り得る値がすべてわかる．

すなわち，すべてのgenera (同型類より少し広い同値類) を数え上げることができる．

そして，少しの例外を除いて，多くのgenus は，同型類と一致している．

Saint-Donat

A. Mayer:

Families of K3 surfaces,

Nagoya Math. J. 48, 1--17, 1972.

B. Saint-Donat;

Projective models of K3 surfaces,

Amer. J. Math. 96-4 602--639, 1974.

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川又p.181より　（再掲）

代数的K3曲面 X と，その上の豊富層 L の組　(X, L) は，

(|L|^2)=2d　となるとき，次数2dの偏極K3曲面という．

任意の正の数dに対し， 次数2dの偏極K3曲面が存在することが知られている．

例

(1) 非特異6次曲線で分岐するP^2の２重被覆　　　→　次数２のK3曲面

(2) P^3の中の非特異4次曲面　　　　　　　　　　　　　→　次数４のK3曲面

(3) P^4の中の3次超曲面と2次超曲面の滑らかな交わり→　次数６のK3曲面

(4) P^5の中の3つの2次超曲面の滑らかな交わり　　→　次数８のK3曲面

　　　（L としては，(1)は，O_{P^2}(1)の引き戻し，(2)～(4)は，O_X(1) を考える）

この「次数」は，

Shafarebichや，Pjateckii-Shaoiroの文献における，

代数的K3曲面の「次数」と同じとみなしてよいのか？

（つづく）

偏極K3曲面 （代数的K3曲面の場合）

川又p.181より

代数的K3曲面 X とその上の豊富層 L の組　(X, L)　は，

(|L|^2) = 2d

となるとき，

次数2dの偏極K3曲面という．

任意の正の数dに対し， 次数2dの偏極K3曲面が存在することが知られている．

例

(1) 非特異6次曲線で分岐するP^2の２重被覆　→　2次のK3曲面

(2) P^3の中の非特異4次曲面　→　4次のK3曲面

(3) P^4の中の3次超曲面と2次超曲面の滑らかな交わり　→　6次のK3曲面

(4) P^5の中の3つの2次超曲面の滑らかな交わり　→　8次のK3曲面

　　　（L としては，(1)は，O_{P^2}(1)の引き戻し，(2)～(4)は，O_X(1) を考える）

　　これらの逆問題を考えたのが，

　　Saint-Donat の論文．

注意

次数を固定したK3曲面たちは，それぞれ同型を除いて19次元の族をなす．

追記：

●Piateckii-Shapiro and Shafarevich や，Nikulinの論文では，

偏極K3曲面　とは，（射影空間に埋め込まれた）K3曲面と，そのhyperplane section (→very ample)の組，

と定義している．

●代数的とは限らぬK3曲面の場合は，その Kahler class を１つ固定したものを，偏極K3曲面と呼ぶ．

　　　　（こちら 参照）

The global Torelli theorem for K3 surfaces

参考文献：

[BHPV] 第8章 K3 surfaces and Enriques surfaces　(p.332)

金銅誠之　「二次形式とK3曲面・Enriques曲面」，数学　42-4 (1990)．　定理3.3 （Torelli型定理）

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記号の定義 （この記事 に書いたことを再掲）

XをK3曲面，ω_Xをa nowhere vanishing holomorphic 2-form on X とする．

　PicX = S_X = (ω_X)^⊥ ∩ H^2(X, Z)　 (Picard lattice)

　T_X = (S_X)^⊥ ∩ H^2(X, Z) 　　　　　　(超越lattice)

とおく．

　　　　　　Δ(X) = {δ∈S_X | δ^2 = -2 } 　　(Xの"ルート"たちの集合)

とおく．

　　　　　　　H^{1,1}(X)_R := 　H^{1,1}(X) ∩ H^2(X, R)

とおく．

　　　　　　　{ x ∈ H^{1,1}(X)_R | <x, x> > 0 }

は，２つの連結成分（cones）からなるが，XのKaehler classたちは，そのconvex subcone をなし，２つの連結成分の片方に含まれる．そちらを，

　　　　　　　　　　　　C_X

と表し，Xのthe positive cone と呼ぶ．　([BHPV], p.307を参照)

　　　　　Δ(X) =　Δ^+(X) ∪ -Δ^+(X) 　(disjoint union)，

　　　　　　　ここで，Δ^+(X) = { δ | δはeffective divisorで代表される }

という分解ができる．　([BHPV], p.311～p.312参照)

　　　　　　　C^+_X = {x ∈ C_X | <x, Δ^+(X)> ＞ 0 }

とおく．

これは，Xのthe Kaehler cone に一致する．([BHPV], p.312，Coro3.9参照)

Δ^+(X)の元で決まる鏡映 s_d (Picard-Lefschetz reflections) で生成される群を

W(X) とおくと，その基本領域 (⊂C_X) は，C^+_XのC_Xにおける閉包となっている．

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Theorem 11.1

(The global Torelli theorem for K3 surfaces，

Pｊateckii-Shapiro and Shafarevich,

Burns and Rapoport)

X, X' をK3 surfaces とし，effective　Hodge-isometry

φ：　H^2(X',Z) → H^2(X,Z)

つまり，φは，isometry H^2(X',Z)→H^2(X,Z)で，

● C-linear extension φ_C が Hodge分解を保ち，

　　　（これは，K3曲面の場合は，H^{2,0}(X') を H^{2,0}(X) に写すこと，すなわち，

　　　[ω_X'] を [ω_X] に写すことと同値である．）

　　　(ここまでなら，Hodge-isometry )

● φ_R が positive coneをpositive coneに移し，かつ，

　　　the sets of effective classesの間のa bijectionを誘導する．

　　　　（このことは，Prop.3.11 より，φ_R が

　　　　　X' のthe Kaehler cone を X のthe Kaehler cone に写すことと同値である！）

が存在するとする．

このとき，

φ= f^* となるbiholomophic map f : X → X'　が存在する．

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Corollary 11.2 (Weak Torelli theorem)

X, X' をK3 surfaces とし，Hodge-isometry H^2(X',Z) → H^2(X,Z)，

すなわち，isometry H^2(X',Z)→H^2(X,Z)で，

C-linear extension が Hodge分解を保つ，

が存在すれば，X, X' は複素解析的に同型である．

Proposition 11.3

X をK3曲面とする．X上の自己同型で，H^2(X,Z)上identityであるものは，

それ自身，identtityである．

Colollary 11.4

Theorem 11.1 において，φ= f^* となるbiholomophic map f は一意的である．

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コメント：

Theorem 11.1 (The global Torelli theorem) よりわかること：

(X_1, ψ_1), (X_2, ψ_2) を２つのmarked K3曲面とする．

　（つまり，

　ψ_1： H^2(X_1, Z) → L，

　ψ_2： H^2(X_2, Z) → L を isometry とする）

このとき，

(i) (ψ_1)_C ([ω_{X_1}]) = (ψ_2)_C ([ω_{X_2}])　　(周期が同じ)．

(ii) (ψ_1)_R (X_1 のKaehler cone) = (ψ_2)_R (X_2 のKaehler cone)．

ならば，

(ψ_2)^{-1} o ψ_1 = f^*

すなわち，

ψ_1 = ψ_2 o f^*

となる複素解析的同型写像　f : X_2 → X_1

が存在する，

すなわち，marked K3曲面として，

(X_1, ψ_1), (X_2, ψ_2) がisomorphicであることになる！

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以前の記事 で述べたように，

K3曲面 X 上の複素解析的同型写像（自己同型） r : X → X があるとき，

r^* : H^2(X, Z) → H^2(X, Z) を考え，

Lの自己同型 φ o r^* oφ^{-1} により，(X, φ)のmarkingを替えると，

marked K3 surface (X, φ) は，別のmarked K3 surface (X, φo r^*) に変化する．

ところが，これらに対し，（従来の）「周期」を考えると，

　　　φ([ω_X])　=　φo r^*([ω_X])　　（同じ）

となってしまうのでした．

そこで，marked K3 surfacesを区別するために，

上の定理11.1のeffective Hodge isometryの考えに基づいて改良された周期が，

the Burns-Rapoport period
です．

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以下は，

Shimada氏によるK3曲面の研究 より（勝手に）引用させていただきます（Shimadaさんに感謝）

こちらの原稿によると，

定義：

標準束が自明となる，滑らか，完備な代数曲面は，その不正則数が０であるとき，Ｋ３曲面と呼ばれる．（これは，スキームで「代数曲面」であるものたちの中でK3曲面とは何か？という定義ですね）

Ｋ３曲面はアーベル多様体とはちがって，もはや代数群としての構造をもちません．それだけに複雑かつ微妙な幾何学的構造をもっています．

複素Ｋ３曲面

複素Ｋ３曲面の理論でもっとも重要なのは，次の　（弱）トレリ型定理です．

定理

２つの複素Ｋ３曲面が与えられたとする．

両者の整数係数２次コホモロジー群のあいだに，

交叉形式を保ち（isometry），かつ周期を周期に移す同型が存在するならば，

２つの複素Ｋ３曲面は（複素解析的に）同型である．

したがって，周期が与えられればそこからもとのＫ３曲面の幾何学的構造を再構成することが原理的には可能です．近年の計算機の著しい発達により，この再構成が理論の上だけでなく実際に可能となってきました．

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2009年8月12日のShimadaさんの講演より

ADE特異点を持つ6次曲線で分岐するP^2の２重被覆の多くの例．

Picard群のランクが20であるようなK3曲面を，（非特異K3曲面であっても）　singular K3曲面という．

ある種のK3曲面の特徴づけが，数論でも使える用語で述べられた場合，

その性質をもって，その種のK3曲面の「数論的バージョン」の定義する．

　　証明の道具・・・・「class field theory」など（？）

任意の有限アーベル群を与えて，それを被覆変換群とするP^2のエタール被覆．

（2009/8/15 追加）

族 ～ モジュライ空間 ～ K3曲面の周期

（2009/5/16 修正）

●ヒルベルトスキームの意義は，すべての対象を含み，大域的であるという意味の普遍性だけでなく，

「族」のbase spaceとなりうるという点が重要なのであった．ヒルベルトスキーム上には「族」が作れるわけである．

しかし，ヒルベルトスキームは，「ある固定された射影空間 P^n に埋め込まれたK3曲面の集まり」のように，代数的K3曲面に対してしか考えられない．

●次に，K3曲面の場合は，「周期」　がある．

大域的なトレリ型定理は，（適切に定義された）周期が(marked) K3曲面の複素解析的同型類を決めること（周期写像の単射性）を主張している．

●ある固定された射影空間 P^n に埋め込まれたmarked polarized K3 surfacesを考える場合は，

Piateckii-Shapiro and Shafarevichの論文(1971)のように，

周期としては，holomorphic 2-forms のなす複素直線を考えるだけでよい．

その周期の領域は，19次元の周期領域 Ω(l) である．

polarization を固定している場合は，この周期を考えるだけで，effective classes がeffective classes に移されるというアイデアが，Piateckii-Shapiro and Shafarevichの論文(1971)に述べられている．

また，ヒルベルトスキームが使えるので，族も構成できる．

●（代数的とは限らない）markedK3曲面の場合，

周期は，([α_C(η)]，α_R(κ))　を\tilde{Ω}にprojectしたところのBurns-Rapoport周期を用いる．

この周期は，holomorphic 2-formだけでなく，Kaehler cone の情報も含んでいる．なぜなら，

「代数的とは限らないmarked K3曲面に対するThe global Torelli theorem」

のstatementからわかるように，unpolarized な marked K3曲面 X に対しては，holomorphic 2-formのH^2(X, Z)における直交補空間であるところのPicard格子 Pic(X) だけでなく，その中のeffective classes の集合が重要なのである．別の言い方をすれば，Kaehler coneが重要．

この要請を満たすため，\tilde{Ω} は，non-Hausdorffな解析空間となってしまっている．

しかし，このような空間を考えないと，その上に族がうまく構成できない．

（註）　effective divisorで代表されるルート (自己交点数-2のclass)の全体をΔ^+(X)と書き，

「Δ^+(X)の元における鏡映」で生成される群を W(X) とすると，その基本領域 C(X) (⊂ Xのpositive cone) は，

　　C(X) = {x ∈ Posi(X) | <x,Δ^+(X)> >0 }

であり，X の Kaehler cone と呼ばれるのだった．

この辺の議論の詳細（定理の証明など）については，[BHPV]参照．

～　～　～

歴史的に先に得られた「局所トレリ型定理」のほうは，

倉西族（普遍な族）のbase spaceから周期領域への周期写像が，

局所的複素解析的同型写像（よって局所的に全単射）であることを主張している．

実4次曲面のrigid isotopy classes

非特異実4次曲面のrigid isotopy classesは　１６９個　とわかっている．

（V.M. Kharlamov, Classification of nonsingular surfaces of degree 4 in RP^3 with respect to rigid isotopies, Funct Anal Appl. 18 (1984)）

これには，まず，

Nikulinによる，

「偏極対合付きK3格子の同型類と，実K3曲面のモジュライ空間の連結成分（粗射影的同値類=coarsely projectively equivalence class）とのbijectiveな対応定理」を用いて，

n=4の場合に，

偏極対合付きK3格子の同型類の同型類が１３４　(see [共立2001, p.268])（私の計算では・・・１３５以上・・・・後日，計算し直しておきます）であることを数え上げる．

偏極対合付き格子の種 (genus，これは，同型類より弱い同値類である）は，Nikulinの研究によれば，有限個の不変量の組で表すことができ，その取り得る値のすべてを数え上げることができる．得られた各組は，偏極対合付き格子の種を表しているわけだが，実は，一部の例外を除いて，種は同型類と一致しているのである．
だから，例外的な種について，その中に同型類がいくつあるか，個々に調べれば，すべての同型類を得ることができる．その結果が，134 (or 135?) 個　ということである．

Nikulinの定理により，

「偏極対合付きK3格子の同型類と粗射影的同値類=coarsely projectively equivalence classは，bijectiveに対応」するが，

この粗射影的同値類とは，ある固定された「次数」の偏極実K3曲面のモジュライ空間の連結成分のことである．

このモジュライ空間は，ヒルベルトスキームのある部分集合を，PGL(N+1,R)の作用で割った空間である．

（4次曲面は，次数4のK3曲面，　6次曲線で分岐するCP^2の2重被覆は，次数2のK3曲面である．ほかの例は，Nikulinの論文参照．）

しかし，次数4の場合，この粗射影的同値類は，

実係数4変数4次斉次多項式の係数空間

　　　　　　　　RP^N ＼ D_R

を，実射影線型変換群 PGL(4) の作用で割った空間の連結成分

のことである！！

よって，(RP^N ＼ D_R)/PGL(4) の連結成分が，

n=4に対する偏極対合付き格子の同型類と対応する．

だから，まずは，(RP^N ＼ D_R)/PGL(4) の連結成分の全体が，

偏極対合付き格子の同型類の全体という形で，

不変量の値の組を用いて，explicitに判明するのである．

次に，Hilbert 第16問題では，Rokhlinにより導入された「rigid isotopy」という概念がある．rigid isotopy classes は，実4次曲面の場合，PGL(4)で割る前の，係数空間 RP^N ＼ D_R の連結成分である．

しかし，上で述べたように，Nikulinの結果を用いて，，(RP^N ＼ D_R)/PGL(4) の連結成分のほうを先に知るので，rigid isotopic classes を知るためには，

PGL(4)の作用で同一視されてしまうような RP^N ＼ D_R の連結成分がどれであるかを調べなければならない．

PGL(4)の連結成分は２個（１つは，恒等写像を含む連結成分，もう１つは，超平面に関する鏡映を含む連結成分）なので，

RP^N ＼ D_R の各連結成分は，鏡映によって，別の連結成分に移るか，あるいは，それ自身に移る（この場合は，PGL(4)の作用で閉じているということ）．

後者のような連結成分(rigid isotopy class) は amphichiral であると呼ばれる．

従って，(RP^N ＼ D_R)/PGL(4) の各連結成分は，rigid isotopy classes を，１個，あるいは，２個含む．

Kharlamovは，RP^N ＼ D_R の各連結成分に対して，amphichiralであるかそうでないかを個々に調べ，RP^N \setiminus D_R の連結成分の数が169個であると結論したのである．

参考文献

●Rokhlin; Complex topological characteristic of ・・・・・ (1978)

●Kharlamov; Isotopy types of ・・・・ (1978)

●Kharlamov, Classification of nonsingular surfaces of degree 4 in RP^3 with respect to rigid isotopies, ・・・・(1984)

●[共立2001]　石川・齋藤・福井；　「代数曲線と特異点」　第II部　「実代数幾何学と特異点」　--ヒルベルト第16問題とその周辺--　特異点の数理４，共立出版，2001．

(2009/5/25 修正しました)

対合付き格子の同型類の数え上げ （n=4）

●n=4の偏極対合付き格子の同型類

（＝非特異実４次曲面の粗射影的同値類）　の全体を，不変量の組を用いて，explicitに，すべて挙げることができます．

過去の私のノートには，「種」の数え上げをしてあります．

それによると，１３５個の「種」があります．

同型類との違いの部分をチェックしなければなりません！

●ところが，非特異実（４，４）次曲線で分岐するP^1 x P^1 の２重被覆なるK3曲面に対しても，同じ不変量 n=4 となるのです！！

しかし，n=4の偏極対合付き格子の同型類のうち，

非特異実（４，４）次曲線で分岐するP^1 x P^1 の２重被覆では実現されない同型類があるのです．これは面白いです．

そこで，非特異実（４，４）次曲線で分岐するP^1 x P^1 の２重被覆の分類にうまく対応するような格子の同型類の分類をするために，

階数２の対合付き格子による偏極(lattice-polarization)付き対合付き格子（＝条件付き対合付き格子）の分類を考えます．

しかし，それでもなお，通常のP^1 x P^1の実構造(hyperboloid)に関する非特異実（４，４）次曲線で分岐するP^1 x P^1 の２重被覆では実現されず，別の実構造(ねじれた実構造)で実現されるような例外的な同型類が存在することがわかっています (Nikulin and Saito, LMS, 2005)．

Geometrie des surfaces K3: modules et periodes

参考文献：

[Asterisque126]Séminaire Palaiseau,

Géométrie des surfaces K3: modules et périodes,

(K3曲面の幾何：　モジュライと周期)

Astérisque 126, Soc. Math. France (1985).

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ExposeIV.

K3曲面の基本的性質

ExposeV.

K3曲面に対する局所トレリ定理

ExposeVI.

K3曲面が単連結であること

ExposeVII

K3曲面の周期についての準備　(By Beauville)

ExposeVIII

Kummer曲面に対するトレリ定理　(By Beauville)

ExposeIX

K3曲面に対する（大域的）トレリ定理　－証明の完了－　　(By Beauville)

ExposeX

周期写像の全射性　(By Beauville)

ExposeXI

Betti数が偶数であるコンパクト複素曲面のstandard metric

ExposeXII

すべてのK3曲面はケーラーである

ExposeXIII

モジュライ空間の応用

ExposeXIV

RP^3の中の実4次代数曲面の位相型　(By Risler)

　この章は，局所トレリ定理を用いたKharlamovの論文：

　　The topological types of nonsingular surfaces in RP^3 of degree four,

　　 Funct. Anal. Appl. 10 (1976)

　の紹介．これ以前の章で，複素数上の場合に，局所トレリ定理（ExposeV.など・・・）について，複素幾何の専門家が解説済みなので，それを引用しているところが良い．

次のExpose以降は，私には，あまり関係ない．

書評 Tropical Algebraic Geometry

「数学」2009年4月号，西納武男さんによる，

Itenberg Mikhalkin Shustin 著

"Tropical Algebraic Geometry" (Birkhauser, 2007) の書評．

本書は2004年10月に行われたoberwolfachでのTropical Algebraic Geometryのセミナー（大学院生対象の勉強会）の講義をもとに書かれている．

トロピカル幾何を理解するために必要な予備知識は元々多くない．

トロピカル幾何の手法よりもそれ以前からあったpatchworkingの考え方の解説が多くの部分を占める．

　　トロピカル幾何という命名はMikhalkinとSturmfelsによる(2002)

　　トロピカル幾何の２つの流れ　Mikhalkin・・・幾何的　　Sturmfels・・・組合せ論的

根幹にあるのは，Viroのpatchworking

　　この本では，グレブナ基底を主な道具とする組合せ論的アプローチには一切言及されていない．

第１章　Mikhalkinによるトロピカル幾何入門

　　　主に超曲面について

　　　アメーバ，非アルキメデス的アメーバの定義，トロピカル代数，

　　　トロピカル多項式の「零点」としてトロピカル超曲面

　　　より一般のトロピカル多様体の定義

　　　本書では，１次元，すなわち，トロピカル曲線の定義のみ与えているが，この内容を発展させて，

　　　高次元の場合の定義が可能で，現在あるトロピカル多様体の定義のなかでは最も広いクラスの対象を扱える．

第２章　本書の中心，Shustinによる執筆

　　　トロピカル幾何とpatchworkingの関係

　　　複素数体上のトーリック幾何，　トーリック多様体の実部について

　　　Viroによる代数超曲面のpatchworking

　　　　　これは，実平面代数曲線の構成に有効であり，任意次元の超曲面に対し機能する．

　　　　　Viroにより，30年近くも前に考え出された（Viroのglueing method, in Springer Lecture Notes）

　　　　　M-curvesのpatchworkingによる再構成

　　　ruled surfaces上の概複素曲線の構成 (by Itenberg and Shustin)

　　　　　ここでは，元々のViroのpatchworkingの方法の他に，

　　　　　微分幾何的な張り合わせの議論を加えることで，それまで扱えなかった状況にpatchworkingを適用

　　　特異超曲面の構成・・・・基本的なアイデアは同じ

　　　2.5節 「Mikhalkinの対応定理」・・・patchworkingのアイデアを用いて証明された．

　　　この定理の応用で特に重要なのは，Weschinger invariantの計算．

　　　Welschinger invariant

　　　・・・実曲線に適当に符号を付けて数えるもの．定義に用いたパラメータに関して不変になる．

　　　その符号のつけ方は，トロピカル曲線のデータから読み取れる．

　　　つまり，トロピカル幾何を用いて，Welschinger invariantの計算が可能になる．

第３章　Itenbergによる執筆　　（この章の記述の方が初等的かつ詳細）

　　　Mikhalkinの論文(2005)の主要部の抄録．

　　　主な結果は，対応定理（定理3.6）とMikhalkinのアルゴリズム（定理3.7）．

　　　対応定理（定理3.6）

　　　　　トーリック曲面上の代数曲線と，R^2の中のトロピカル曲線の間の正確な対応．

　　　　　（トロピカル曲線は，一定の条件を満たすグラフ状の図形である．）

　　　Mikhalkinのアルゴリズム（定理3.7）

　　　　　R^2のトロピカル曲線の数を，対応するNewton多角形の中のlattice pathを数えること

　　　　　によって与える．証明は初等的であり，２ページ弱．

　　　上の２つの定理により，

　　　トーリック曲面内の，　（条件（ホモロジー類，種数，nodeの数など）を固定した）代数曲線の数が，

　　　lattice path の勘定により計算できるので，

　　　Gromov-Witten invariant の具体的計算（曲線の数の数え上げ）に興味を持つ研究者に関心持たれる．

　　　3.7節は，Welschinger invariant のトロピカル幾何による計算．