「K3曲面のモジュライ空間について」 （向井茂 著）
http://eprints3.math.sci.hokudai.ac.jp/405/
代数幾何学ミニシンポジューム, 1989/12/21, 東京大学理学部
「数学のたのしみ」の「モジュライのたのしみ」特集号を見ていたら，
向井茂さんの解説があり，少しわかった
ことがありました．
P^3の中の非特異3次超曲面のモジュライ空間として，まず，
3次斉次多項式の係数の空間（複素数倍は同一視，特異なものは除く）がある．
さらに，それをPGLの作用で割った空間Mも考える．
後者Mは，控えめに，粗モジュライ空間と呼ばれる．
このように呼ばれる理由は，
この空間Mをbase spaceとするような普遍族(universal analytic family)が必ずしも作れないこと，だそうである．
つまり，複素多様体(total space)からM(base space)への全射固有正則submersionで，Mの各点のファイバーが，その点を代表する非特異3次超曲面（に複素解析的に同型）となっているような族が必ずしも作れないらしい．
なぜ作れないかと言うと，ある特殊な非特異3次超曲面Xが大きな対称性を持っている（＝それ自身に作用するようなPGLの元が沢山ある）のに，その近傍の非特異3次超曲面は，それ自身に作用するようなPGLの元が恒等変換のみしかなかったりする場合，その近傍上にうまくfamilyが作れないということである．
Xにはmarkingが何種類もあるのに，PGLの作用で割ったモジュライ空間Mにおいては，それらのmarkingをすべて同一視してしまっていることになる．それゆえ，その上には「現実のfamily」を作れない．
そこで，特殊な非特異3次超曲面Xのすべてのmarkingを区別するようなモジュライ空間を新たに考えると，
それは，non-Hausdorffな空間になってしまう，ということかも知れない．
それに対し，"Hilbert scheme"上には，普遍族が作れる．Hilbert schemeとはそういう重要な性質を持つものなのである．
非特異3次超曲面に対しては，最初に考えた「3次斉次多項式の係数の空間（複素数倍は同一視，特異なものは除く）」がHilbert scheme（を実現したもの）ということになる．
このような事情を知ると，「family」と「モジュライ空間」の重要な違いが見えてくる．
取りあえず対象の全体を捉えたらよいと思って，
PGLの作用の分を同一視してモジュライ空間を考えたりすると，
その空間上には，（繰り返しになるが）「現実のfamily」は必ずしも作れない，ということ．
familyのbase spaceになり得るようなモジュライ空間が，ある意味では，重要であるということ．
モジュライ空間上のfamilyが現実に存在するならば，
例えば，モジュライ空間が連結な複素多様体(smooth)である場合，モジュライ空間の各点を代表する多様体は，複素構造の変形で移り合うことがわかる．
また，非特異実4次曲面の場合，
coarse projective equivalence classes (Hibert schemeをPGLの作用で割ったもの)でなく，
(PGLの作用で割っていない)"rigid isotopic classification"の重要性もわかる．
amphichiralな実4次曲面とは，対称性を持っている特殊な対象ということになる．
そのようなことを踏まえ，marked K3 surfaces (および，marked polarized K3 surfaces )のモジュライ空間とその上のfamilyについて，いま一度，正確に読みとらなければならない．
しかし，さしづめ必要なのは，代数的K3曲面なので，polarized K3 surfaces の場合に限って，Piateckii-Shapiro, Shafarevich の２つの論文を見ること！
専門家に質問して，お答えいただいた結果：
Kollar の Rational curves on algebraic varieties の序章に，
ヒルベルトスキームについて書いてあるが，
ヒルベルトスキームの一般論しかかかれておらず、
特定のヒルベルトスキームの性質については言及されていない．
一般のスキームには実位相は入らない（例えば有限体上定義されたものなど）ので、
「連結」と書いてあれば，「Zariski 位相の意味で連結」であることがほとんどであろう， とのこと．
Real Algebraic Surfaces,
Lecture Notes in Math. 1392, Springer-Verlag, 1989.
R. Silhol,
Moduli problems on real algebraic geometry,
Real Algebraic Geometry, Proceedings, Rennes 1991,
Lecture Notes in Math. 1524 (1992), 110--119.
R. Silhol,
Compactifications of moduli spaces in real algebraic geometry,
Invent. Math. 107 (1992), 151--202.
[BHPV] p.141
Theorem 2.10
X を (ケーラーとは限らぬ) compact complex surface とする．
p+q=2のとき，
the Dolbeaut group H^{p,q}(X)は，
(p,q)typeのd-closed formで代表される元からなるH^2(X,C)のthe subspaceと自然に同型である．
このようにして，自然な分解
H^2(X,C) = H^{2,0}(X) \oplus H^{1,1}(X) \oplus H^{0,2}(X)
を得る．（これも，the Hodge decomposition と呼ぶ）
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[BHPV] p.308
定義
X, X' を(ケーラーとは限らぬ) compact complex surfaces とする．
Z-modulesの同型 H^2(X,Z)→H^2(X',Z)は，次の条件を満たすとき，
Hodge-isometry と呼ぶ．
(1) cup product を保つ
(2) C-linear extension がthe Hodge decomposition を保つ．
さらに，X, X' を Kaehler compact surfaces とするとき，
Hodge-isometryがeffectiveであるとは，
positive coneをpositive coneに移し，かつ，
the sets of effective classes の間のa bijectionを誘導すること．
Burns and Rapoport,
On the Torelli problem for kählerian K-3 surfaces.
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure,
Sér. 4, 8 no. 2 (1975), p. 235-273 (NUMDAM から入手可能)
この論文は，algebraic とは限らないmarked K3曲面を考察しています．
[BHPV]も，この論文から，かなり引用しています．
p.236
Torelli theorem の証明をケーラーK3曲面に拡張するときの主たる困難は，ケーラーK3曲面のためのモジュライ空間がnon-Hausdorffなことにある．
この論文におけるモジュライの構成が，unpolarized surfaces に対しては重要である．
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（以下，以前の記事から引用）
まず，
○The polarized period domain for K3 surfaces (KΩ)^0 の定義：
[η]∈Ωに対し， C_[η] を，
Ｌ_{K3 R}において，ηに直交し （H^{1,1}_Rを考えていることになる），
<x,x> >0 を満たすxの全体とする．
（C_[η] は２つの連結成分からなる！）
Δ_[η] を， Ｌ_{K3}の自己交点数-2の元で，
ηに直交 (Picに属する) するもの全体（ルートの集合）とする．
Δ_[η] の各元δのＬ_{K3 R}における直交補空間(hyperplane)をh_δとする．
(KΩ)^0 ：= {([η]，κ) ∈ Ω x Ｌ_{K3 R} | κ ∈ C_[η] ＼ (∪h_δ) }
と定める．（C_[η]の連結成分両方を考えているので注意！）
これは，実20次元のreal analytic manifold．
●The Burns-Rapoport period domain for K3 surfaces \tilde{Ω}の定義：
(KΩ)^0において，([η]，κ) と ([η']，κ')を，
[η] = [η'] かつ κ と κ' がC_[η] ＼ (∪h_δ)の同じ連結成分に属するときに，
同一視した空間を，\tilde{Ω} と定める．
これは，non-Hausdorff "smooth" analyitc space of dim 20 である．
\tilde{Ω}からΩへの第１成分への射影はetale．
[η]∈Ωに対し，そのfiberは，C_[η] ＼ (∪h_δ)の連結成分の全体．
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(algebraicとは限らない) K3曲面 X に対し,
そのKaehler class κを１つ指定したものを polarized K3 surface と呼ぶ．
「周期」を，K3格子 L を用いて義された周期領域の中で考えるために，
marking を指定しておきます．（markingを区別する意味もあります．）
そして，それらの３対 (X, κ, α) を，
marked polarized K3 surface と呼びます．
このmarked polarized K3 surface (X, κ, α) に対し，
polarized period (∈ (KΩ)^0 ) を，次のように定義します：
([α_C(η)]，α_R(κ)) ∈ (KΩ)^0
次に，
(polarizationを指定しない)marked K3 surface (X,α) に対しては，
まず，Kaehler class κを１つ指定しおき，
上の ([α_C(η)]，α_R(κ)) を \tilde{Ω} にprojectしたものを考え，
これを，
marked K3 surface (X,α) のBurns-Rapoport period (∈\tilde{Ω})
と呼ぶ．
（Kaehler class κのとり方に依らない）
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参考文献：
金銅誠之「二次形式とK3曲面・Enriques曲面」，数学 42-4 1990.
[BHPV] 第8章 K3 surfaces and Enriques surfaces (p.312あたり)
XをK3曲面，ω_Xをa nowhere vanishing holomorphic 2-form on X とする．
PicX = S_X = (ω_X)^⊥ ∩ H^2(X, Z) (Picard lattice)
T_X = (S_X)^⊥ ∩ H^2(X, Z) (超越lattice)
とおく．
Δ(X) = {δ∈S_X | δ^2 = -2 } (Xの"ルート"たちの集合)
とおく．
H^{1,1}(X)_R := H^{1,1}(X) ∩ H^2(X, R)
とおく．
{ x ∈ H^{1,1}(X)_R | <x, x> > 0 }
は，２つの連結成分（cones）からなるが，XのKaehler classたちは，そのconvex subcone をなし，２つの連結成分の片方に含まれる．そちらを，
C_X
と表し，Xのthe positive cone と呼ぶ． ([BHPV], p.307を参照)
Δ(X) = Δ^+(X) ∪ -Δ^+(X) (disjoint union)，
ここで，Δ^+(X) = { δ | δはeffective divisorで代表される }
という分解ができる． ([BHPV], p.311～p.312参照)
C^+_X = {x ∈ C_X | <x, Δ^+(X)> ＞ 0 }
とおく．
これは，Xのthe Kaehler cone に一致する．([BHPV], p.312，Coro3.9参照)
Δ^+(X)の元で決まる鏡映 s_d (Picard-Lefschetz reflections) で生成される群を
W(X) とおくと，その基本領域 (⊂C_X) は，C^+_XのC_Xにおける閉包となっている．
(2009/6/3修正)
K3曲面Xにmarkingを付けて考える意義は，
まずは，
ひとつの標準的なK3格子 L （のR上やC上の係数拡大）の中で周期を考えるため
（そうしないと，各々のH^2(X,C)の中でバラバラに考えることになってしまう）
という，単に便宜的な理由と，
K3曲面上の自己同型を区別して考えるという意味がある．
自己同型を多く持つような対称性の高いK3曲面は，
多くのmarkingを持つので，それらを区別できる，という意義．
このことは，モジュライ空間の上に族を構成するときに重要．
一方，偏極(polarization)（元をつける）を付けて考える場合は，
markingして，ひとつの標準的なK3格子 L （のR上やC上の係数拡大）の中で周期を考えるのみならず，偏極も区別することになる．（marked polarized K3 surfaces）
(代数的とは限らぬ) marked (polarized) K3 surfaces の周期および周期領域については，
Ken-Ichi Yoshiikawa;
K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion, and automorphic forms on the moduli space,
Invent. Math. 156 (2004), 53--117.
の§1 「1.2 K3 surfaces」からの定式化に従うのが良い．
（原論文をばらばらに参照すると，歴史的経緯で，記号・用語がまちまちなので混乱する）
この論文に沿って，重要な記号を以下のとおりまとめてみます：
The period domain for K3 surfaces Ω
(この定義は以前の記事 のとおり)
The polarized period domain for K3 surfaces (KΩ)^0 の定義：
[η]∈Ωに対し， C_[η] を，
Ｌ_{K3 R}において，ηに直交し （H^{1,1}_Rを考えていることになる），
<x,x> >0 を満たすxの全体とする．
（C_[η] は２つの連結成分からなる！）
Δ_[η] を， Ｌ_{K3}の自己交点数-2の元で，
ηに直交 (Picに属する) するもの全体（ルートの集合）とする．
Δ_[η] の各元δのＬ_{K3 R}における直交補空間(hyperplane)をh_δとする．
(KΩ)^0 ：= {([η]，κ) ∈ Ω x Ｌ_{K3 R} | κ ∈ C_[η] ＼ (∪h_δ) }
と定める．（C_[η]の連結成分両方を考えているので注意）
これは，実20次元のreal analytic manifold である．
●The Burns-Rapoport period domain for K3 surfaces \tilde{Ω}の定義：
(KΩ)^0において，([η]，κ) と ([η']，κ')を，
[η] = [η'] かつ κ と κ' がC_[η] ＼ (∪h_δ)の同じ連結成分に属するときに，
同一視した空間を，\tilde{Ω} と定める．
これは，ある要請（→あとで説明）を満たすために考え出された空間であり，
non-Hausdorff になってしまっている．詳しくは，
non-Hausdorff "smooth" analyitc space of dim 20 である．
\tilde{Ω}からΩへの第１成分への射影はetale．
[η]∈Ωに対し，そのfiberは，C_[η] ＼ (∪h_δ)の連結成分の全体．
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さて，まず，marked K3 surface (X,α) に対しては，
（ηをX上のa nowhere vanishing holomorphic 2-form とし，）
以前の記事で述べたように，
[α_C(η)] （∈Ω）
period point と呼びます．
(algebraicとは限らない) K3曲面 X に対し,そのKaehler class κを１つ指定したものをpolarized K3 surface と呼びます．
「周期」を，K3格子 L を用いて義された周期領域の中で考えるために，
marking を指定しておきます．（markingを区別する意味もあります．）
そして，それらの３対 (X, κ, α) を，
marked polarized K3 surface と呼びます．
このmarked polarized K3 surface (X, κ, α) に対し，
polarized period (∈ (KΩ)^0 ) を，次のように定義します：
([α_C(η)]，α_R(κ)) ∈ (KΩ)^0
次に，(polarizationを指定しない)marked K3 surface (X,α) に対しては，
まずκを１つ指定してから，
上の ([α_C(η)]，α_R(κ)) を\tilde{Ω} にprojectし，
これを，marked K3 surfaces (X,α) の
Burns-Rapoport period (∈\tilde{Ω}) と呼びます．
これは，κの取り方に依らずに決まります．
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定理1.1
The Burns-Rapoport period domain \tilde{Ω} 上には，
a universal marked family of K3 surfaces が存在する！！
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続いて，2-elementary K3 surfaces of type M のモジュライ空間について，
述べられています．
（ここで，M は primitive 2-elementary hyperbolic sublattice of L_{K3}）
M を固定したモジュライ空間なので，我々が知りたいモジュライ空間です．
ただし，ここには，具体例として，
●非特異6次曲線で分岐するP^2の２重被覆や，
●非特異(4,4)次曲線で分岐するP^1 x P^1 の２重被覆，などは含まれますが，
非特異４次曲面は，この範疇には入りません．
[BHPV],p.334 に，
markedK3曲面の，non-Hausdorffなbase space を持つ解析族の例がある．
Atiyah (1958) の例：
4次曲面の族
x^2(x^2 - 2) + y^2(y^2 - 2) + z^2(z^2 - 2) = 2t^2， （t ∈ C， |t|<ε）
を考える．
σ-processで特異点を解消する．
得られた族（K3曲面の族）に対して，２種類のmarkingを考える．
その2つのmarked familiesからモジュライ空間Mへのmorphimsを考えると，
Cの原点では異なる値を取り，0<|t|<εでは一致している．
したがって，その異なる値を分離するような，Mの中の互いに交わらない開集合がとれないことになる．したがって，Mはnon-Hausdorffでなければならない．
・・・・という論法．
(2009年６月１０日修正)