marked K3 surfacesとそのperiod point

（[BHPV] p.309 を参照）

（浪川幸彦「K3曲面の周期の逆問題とケーラー性」(1980)も参照）

L をthe K3 lattice (K3格子) とする．

X をK3曲面，

　　　φ　:　 H^2(X, Z) → L

を，ひとつの isometry (格子としての同型) とするとき，

　　　　　　　対　(X, φ)

を marked K3 surface という．

marked K3 surface (X, φ) に対し，

nowhere vanishing holomorphic 2-form ω_X のφ_C image で張られるL_C の中の complex line　

φ_C ([ω_X])

が決まる．これを，marked K3 surface (X, φ) の period point (周期点) という．

このperiod pointは，K3曲面の周期領域 Ω に属する．

--------------------------------------------------

古典的な定式化との関係：

ある固定された（代数的とは限らない）K3曲面 X の変形族

　　　　　　　　　　d = (V, S, s_0, p, j)

のthe base S がcontractible の場合に，

周期写像　　　τ_d　：　S → P(X, C)

を，

　　　　　 τ_d(s) = j^* ( (i_s)^*^{-1} (H^{2,0}(V(s))))　

と定めた (→この記事 参照)．

このK3曲面 X は固定されているので，このP(X, C) は P(L_C) を同一視できる．

すると，各fiber (K3曲面) V(s) (s ∈S) のmarking としては，

　　　　　　　　　　　　　　　　j^* o (i_s)^*^{-1}

を考えていることになる．

ここで，

j : X → V は holomorphic embedding with j(X) = V(s_0)，

i_s は，V(s)からVへの包含写像であった．

------------------------------------------------------

重要な追記：

O(L)をLの自己isometry (automorphism) 全体の群とするとき，

X のmarkingφ は，O(L)の元をφに合成することにより，変わることになる．

したがって，O(L) は，周期領域 Ω に作用する．このとき，一般には，period point は移動する．

しかし，X上に，複素解析的同型写像（自己同型） r : X → X があるとする（例えば，PGLの元など．つまり，Xが「対称性」を持っている）ならば，

r^* : H^2(X, Z) → H^2(X, Z)

を考え，それをC上に拡張したものも同じ記号で書くとすると，

ω_X と r^*(ω_X) はともにX上の正則2形式だから複素数倍を除いて一意的なので，P(H^2(X, C))の中の同じ複素直線を定めることになる．

Lの自己同型φ o r^* oφ^{-1} でmarkingを替えると，

marked K3曲面 (X, φ)は，別のmarked K3曲面 (X, φo r^*)に替わる．

ところが，それぞれの周期点は，φ(ω_X)，φo r^*(ω_X) なので，同じになってしまう！！

これらは，もっと精密な周期 (the Burns-Rapoport period) を考えることにより識別される．

K3曲面の周期領域

X をK3曲面，

ω_x を，X上の至る所消えない正則2-形式とするとき，

ω_x ∧ ω_x　= 0，

ω_x ∧ \overline{ω_x} ＞0　（正の実数）

なので，K3格子 L に対し，

　　　　Ω＝｛λ∈P(L_C) | <λ,λ>＝0，　<λ,\overline{λ}> > 0 ｝

とおき，K3曲面の周期領域という．（複素20次元である）

実射影代数多様体の分類に関して

複素射影空間において，１つの実d次斉次多項式で定義される非特異（＝複素特異点を持たない）代数多様体（つまり，超曲面 hypersurfaces）に関し，次の同値関係がある．

(1) 実部がdiffeomorphic

(2) 非特異代数多様体が，複素共役の作用と可換なdiffeoによりdiffeomorphic

(3) 実部が実射影空間の中で (differentiablyに) isotopic (「real isotopic」)

(4) 非特異射影代数多様体が複素射影空間の中で（複素共役の作用に関し）equivariant isotopic

　◎次は明らかである：

　　　(4)⇒(3)⇒(1)

　　　(4)⇒(2)⇒(1)

(5) rigid isotopic，すなわち，「real isotopicであってかつisotopyの途中の多様体がすべて実d次非特異射影代数多様体（の実部）ばかりからなる」　（Rokhlinが，論文 "Complex topological characteristics of real algebraic curves", Russian Math. Surveys (1978) の中で定義した概念である．）

　　このことは，実d次斉次多項式の係数空間/R-{0}　（複素特異点を持つものを除く）の中で同じ（弧状）連結成分に属することと同値である．（→とRokhlinの論文に書いてある）

　　　（証明は，小平邦彦「複素多様体論I」（岩波講座基礎数学）の複素解析族に関する議論を参照）

(6) rigid isotopy classes のうち，実射影的線型変換で移り合うものを同一視　(Kharlamovの論文参照)

-------------------------------

さて，「偏極（代数的）実K3曲面」に関しては，

(7) 不変量(n.k)を持つ偏極実K3曲面の大域的モジュライ空間M_{n,k}(R)（粗モジュライ空間）の中で同じ連結成分に属する　という同値関係(coarsely projectively equivalence)がある（Nikulin, 1979）．

CP^3の中の非特異実4次曲面に対しては，(6)と(7)は同値である．（理由は，Saint-Donatの結果により，不変量(n,k)=(4,1)なる偏極実K3曲面は，非特異実4次曲面であることによる）

(5)と(6)の差異を調べるには，実射影的線型変換で移り合うrigid isotopy classesと，そうでないものを区別するわけであるが，非特異実4次曲面に関しては，Kharlamovの仕事である．

Kharlamovは，まずNikulinの理論を用いて，非特異実4次曲面に関して(7)の連結成分の数え上げを行い，その各々について，個々に，その中にあるrigid isotopy classesを調べ，(5)を完成した．

非特異実6次曲線で分岐するCP^2の２重被覆に対しても，同様の考察をNikulinが行った．それゆえ，CP^2上の非特異実6次曲線のrigid isotopic classificationはNikulinが完成したとされる．

このように，現状では，rigid isotopic classificationについては，不変量(n.k)を持つ偏極実K3曲面の大域的モジュライ空間M_{n,k}(R)（粗モジュライ空間）の連結成分の数え上げが有効な方法である．一方，K3曲面と関わらない次数の超曲面のrigid isotopic classificationは困難．

射影空間のd次超曲面の場合，

(5)rigid isotopic ⇒(4)equivariant isotopic

が成り立つ（この記事 参照．この証明方法は，超曲面の場合のみならず，完全交差（complete intersection）の場合でも可能と予想される）

不変量(n.k)を持つ偏極実K3曲面の大域的モジュライ空間（粗モジュライ空間）M_{n,k}(R)とは，

不変量(n.k)を持つ偏極K3曲面たちからなるヒルベルトスキームH_{n,k} （これは連結な複素多様体）において，複素共役の作用の不動点となっているもの（偏極実K3曲面）の全体をH_{n,k}(R)とし，それを，PGL(N+!,R)の作用で割った空間である．

重要なことは，H_{n,k}がヒルベルトスキームであることから，この上にはすでに普遍族が存在することである．このことにより，

H_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する２つの偏極実K3曲面は，

（H_{n,k}(R)の中で結べるという意味での）rigid isotopicであることと，

P^Nにおいてequivariant isotopicであることが同時に言えることになる．

それに対し，上述のように，係数空間の同じ連結成分に属するという意味のrigid isoｔopicの場合，equivariantベクトル場を用いて，その上に族を構成し，equivariant isotopicであることを導かねばならない．（この記事 参照．）

（2009/5/25修正）

-----------------------------------

dividing curves について

非特異実代数曲線の実部が全体（複素零点集合）を分離している(dividing)かどうかは，(2)で不変な性質である．(dividing であることを，type I ともいう)

dividingな実曲線（S^1に同相ないくつかの連結成分からなる）に，複素零点集合（複素曲線としての向きを持つ）のhalfから，その境界の向きとして導入される向き（連結成分全部について一斉に逆にすることは許す）を complex orientation と呼ぶが，この向きも(2)で不変である．

(2)あるいは(4)で不変な性質は，「complex topological characteristics」と呼ばれる．

（Rokhlinの上記の論文参照）

rigid isotopy and equivariant isotopy

[共立2001]石川・齋藤・福井「代数曲線と特異点」，共立出版，2001

から引用．一部，表現や記号を変更．

p.289　6.3節

整数 d (≧1)，整数 n (≧1) を固定する．

実係数(n+1)変数d次斉次多項式 (≠0) は，RP^n, CP^nの中に超曲面を定める．

実係数(n+1)変数d次斉次多項式 (≠0) の係数の空間/R^*　をRP^N とする．

すなわち，実射影空間 P(Sym^d R^(n+1)) をRP^N とするのである．次元 N は，d と n に依存して決まる．

●非特異d次超曲面 [f_0]，[f_1]　(∈ RP^N)　を結ぶ rigid isotopy とは，RP^N における[f_0]から[f_1]への連続pathで，そのpath上のすべての点がCP^nにおいて非特異（つまり，CP^nの中で定義する超曲面が特異点を持たない）なことである．また，rigid isotopy が存在するとき，非特異d次超曲面 [f_0]，[f_1]　(∈ RP^N)は，rigid isotopic であるという．

●非特異d次超曲面 [f_0]，[f_1] (∈ RP^N)　を結ぶ equivariant isotopy とは，連続写像 Φ : CP^n x [0, 1] → CP^n があって，Φ_t = Φ( , t) とおいたとき，

(1)Φ_t が複素共役と可換なCP^n上の同相写像

(2)Φ_0 = id，Φ_1 (C(f_0)) = C(f_1)

であることである．また，equivariant isotopyが存在するとき，非特異d次超曲面 [f_0]，[f_1] (∈ RP^N)は， equivariant isotopic であるという．

-----------------------------------------------

7.3節

定理7.3.4

非特異d次超曲面 [f_0]，[f_1] (∈ RP^N)が，

rigid isotopic ならば equivariant isotopic である．

------------------------------------------------

この定理の石川先生による証明が[共立2001]に与えられています．

　●この記事 も参照．

Hilbert schemes of K3 surfaces in P^N

Hilbert scheme of P^N for Hilbert polynomial P

について学びました．

しかし，我々は，今，

「族」たちの集まりであるモジュライ空間を必要としていなくて，

「P^N のclosed subscheme」たちの集まりであるモジュライ空間を調べたいので，

「base space S = Spec C (１点) である族」だけを考えるだけでよい．

（これは，fiberが1つしかないから，当然それに対するHilbert polynomial が１つだけ決まる）

P をpolynomialとする．Hilb^P_{P^N}とは"universal scheme"であったので，

"universal scheme"の定義（過去記事参照）により，

先ほどの「族」の全体　Φ(Spec C)　は，

M(Spec C, Hilb^P_{P^N})　と bijectiveに対応する．

そして，

morphismによるSpec C (１点) の像は，Hilb^P_{P^N})の閉点になっているはずなので，

M(Spec C, Hilb^P_{P^N})　=　Hilb^P_{P^N})の閉点全体

とみなせる．

以上により，

（「族」ではなく）「P^N のclosed subschemeでHilbert polynomial がPであるもの」

たちのモジュライ空間は，

(体C上のprojective schemeである) Hilb^P_{P^N}) の閉点全体

ということになる．

そこで，

「Hilb^P_{P^N}) の閉点全体」　が重要になってくる．

さて，Hartshorneの定理により,

(体C上のprojective scheme) Hilb^P_{P^N}) は，

Zariski-connected なのであった．

このとき，

「Hilb^P_{P^N}) の閉点全体」は，"実位相"で連結なのでしょうか？

この疑問の意味：

まず，Hilb^P_{P^N})は，C上のprojective schemeなので，

ある「大きな複素射影空間（スキームとして)」の閉部分スキームである．

その複素射影空間「自体」は，閉点全体の集合．（A^nとC^n の関係と同じ！）

さて，「Hilb^P_{P^N})の閉点全体」は，

「大きな複素射影空間（スキームとして）」の閉点全体とHilb^P_{P^N})との交わり，

すなわち，

「その複素射影空間自体」とHilb^P_{P^N})との交わりである．

（なぜなら，いま，Hilb^P_{P^N})のある1点がZariski閉集合（閉点）だとすれば，

それは，「大きな複素射影空間（スキームとして）」のある閉集合とHilb^P_{P^N})の交わりである．Hilb^P_{P^N})は「大きな複素射影空間（スキームとして）」の閉集合なので，さきほどの１点は，，「大きな複素射影空間（スキームとして）」の閉集合でもある．逆に，「大きな複素射影空間（スキームとして）」の閉点でHilb^P_{P^N})に含まれるものは，あきらかに，Hilb^P_{P^N})の閉点である．）

よって，特に，

「Hilb^P_{P^N})の閉点全体」は，「その大きな複素射影空間自体」に含まれるわけであるが，

「その複素射影空間自体」には，実位相があるので，

この実位相の部分位相（これも実位相と呼ぶ？）で，

「Hilb^P_{P^N})の閉点全体」は連結なのでしょうか？

ということを問題にしているのですが，どうなのでしょうか？

まず，

スキームとしてZariski-connectedならば，その閉点全体もZariski-connected？

そのことと，smoothであることがわかれば，実位相でも連結のはず・・・・

------------------------------------------------------

さて，そもそも，「Ｋ３曲面たちの大域的moduli空間」が知りたいのでした．

Piateckii-Shapiro and Shafarevich,

A Torelli theorem for algebraic surfaces of type K3,

Math. USSR Izvestija, 5-3 (1971) 547--588.

に書いてある事実に基づいて，考えていく．

まず，「不変量(n ,k)を持つ代数的K3曲面」は，射影空間P_C^N の閉部分スキーム．

では，それら(不変量(n ,k)を持つ代数的K3曲面)を特徴づけるHilbert polynomial P とは何なのでしょう？？

（2次元であること，そして，(n ,k)から決まるK3曲面の定義多項式のdegreeについての情報などが，Hilbert polynomial Pの決定に関わってくるはずですが・・・・）

（2009/7/13 少々書き直しました）

The Hilbert scheme

p.109

4.4 The Hilbert scheme

ようやく，基本的な存在定理について述べることができる

S を体 k 上のschemeとする．

まず，

P^Nのclosed subschemesの family (with base S) は，

　　　　P^N x_k S

(with natural projection morphism X → S)

の closed subscheme とみなせることを思い出そう．

-----------

polynomial P ∈ Q[T] を１つ与える．

functor "Ψ^P" で，scheme S を，

集合 Ψ^P(S)　=　

{ baseがSであるようなP^Nのclosed subschemesのflat familiesで，

fibersのHilbert polynomialがPであるものの全体 }

に写すものを考える．

(定理3より，

flat familyは，fibersのHilbert polynomialがconstantであることに注意)

morphism f : S' → S に対して，

Ψ^P(f) を，・・・・(see p.109)・・・・・　と定める．

----------------------------------------------------

定理 F.

There exists a universal scheme Hilb^P_{P^N} for the functor Ψ^P.

It is a projective scheme over k,

called the Hilbert scheme of P^N (with Hilbert polynomial P).

-----------------------------------------------------------

---------------------------------------------

定理(p.110) (proved by Hartshorne 1964/65)

与えられたHilbert polynomial P に対し，

the Hilbert scheme Hilb^P_{P^N} はconnectedである

----------------------------------------------

（つづく）

Flat families

p.105

4.3 Flat families

与えられたHilbert polynomial を持つ P^N のcloled subscheme X たちの族

を考えていこう．

まず，いつ，irreducible base を持つ族のすべてのschemesが同じHilbert polynomial を持つだろうか？

baseがirreducibleであるような族のすべてのschemesが同じHilbert polynomialを持つとは限らないということが，いくつかの例によってわかる．(see p.105)

familyのfibersのHilbert polynomialがconstantであるための条件が，

「familyが"flat"である」という条件なのである！

p.106

定義

ring A 上のmodule M がflatであるとは・・・・・(see p.106)．

a family f : X → S (ここで，X, Sはschemes)がflatであるとは，

任意のx ∈ X に対してO_x がO_f(x)-moduleとしてflatなことである．

(このとき，「f がflat morphismである」とか，「Xが flat over S」ともいう)

p.107

connected base S を持つP^Nのclosed subschemesのflat familyにおいて，fibers の Hilbert polynomial はconstantであるか？

この主張は，S が 1-dim regular local ring のSpecの場合に示せばよい．

さらに，S はirreducibleでnormalと仮定してよい．

さらに，S の任意の閉点および生成点上のfibersに対して，Hilbert polynomial が一致することを示せばよい．

結局，A = O_s とおけば，Spec A の閉点および生成点上のfibersに対して，Hilbert polynomial が等しいことを示せばよい．

ところで，P^Nのclosed subschemesの base Spec A 上のfamilyとは，

P^N_Aのclosed subscheme のことである．

なぜなら，canonical morphism P^N_A → Spec A があるので，

どんなclosed subscheme X ⊂ P^N_A に対しても，morphism X → Spec A が定義できるので，X をSpec A 上のfamilyとみなせる．

定理 3.

A をある代数的閉体上の曲線のnonsingular point でのthe local ring とする．

X ⊂ P^N_A を closed subscheme で morphism X → Spec A が flat なものとする．このとき，Spec A の閉点と生成点でのXのfibersは，同じHilbert polynomialを持つ．

（Danilovによる証明がp.107～紹介されている）

The Hilbert polynomial

p.101

4.2 The Hilbert polynomial

4節の残りは，closed subvarieties や，projective space P^Nのsubschemes といった重要なobjectsに対するuniversal schemeを考えていく．

subvavarietiesをいくつかのclassesに分けることは，自然なことである．

例えば，線型部分空間の場合は，「次元 r 」によって，classesに分けられる．

そこで，projective schemes に対しても，同様な「discrete invariants」を導入して，自然なuniversal schemes を得たい．

それが，いわゆる，Hilbert polynomials である．

p.102

P^Nの各subscheme X に対して，

X上で線型独立な r 次形式（P^Nの斉次座標で）の数を　a_r(X)　(r=0,1,2,・・・　) とおく．（もっと形式的な定義はp.102を見よ）

この数は，embedding X ⊂ P^N に依存することに注意．（→「次数」と似ている！）

-----------------------------------------

定理 1.

a polynomial P_X(T) ∈ Q(T)が存在し，

十分大きいすべての整数 r に対して

　　　　　a_r(X) = P_X(r)

である．

（十分大きいすべてのrに対して，

１つのpolynomial P_X(T) が a_r(X)の値を決めている）

----------------------------------------------

定義

このP_X(T)は，Xに対してuniqueであるので，

これを，the Hilbert polynomial of X と呼ぶ

----------------------------------------------

定理 2.

The Hilbert polynomial P_X of a nonsingular variety X の次数(degree)は，

X の次元(dimension)と一致する．

もしXの次元(dimension)が n で次数(degree)が d ならば，

P_Xのthe leading term は，　(d/n!)T^n　　である．

----------------------------------------------

universal schemes (続き)

(前記事から続く)

今，すべてのobjectsとschemesが，ある代数的閉体k上で定義されているとする．

個々のobject ξ，すなわち，a "family" ξ→Spec k を考えると，

ξはΦ(Spec k)の元だから，X がuniversal schemeであるとき，

ξに対応するM(Spec k, X)の元(morphism)がある．

ここで，M(Spec k, X)は，Xの閉点全体の集合とみなせる．

よって，object ξは，Xのある閉点を定め，さらに，

すべてのobjectsは，up to equivalenceで，Xの閉点全体の集合と１対１に対応することがわかる．

universal schemes

Shafarevich著 「Basic Algebraic Geometry 第2巻」 より

--------------------------------------

p.96

4. Classification of geometric objects and universal schemes

4.1 Schemes and Functors

p97の「We now formulate the definition ・・・」から，「定義」が始まる．

定義：

スキーム X が，あるタイプのobjectsに対する universal なスキームであるとは，

任意のスキーム S (→ある制限がつくかも知れない)

（Sは固定する．Sはfamilyたちのbase spaceである）

に対して，

われわれのタイプのobjectsのalgebraic families（族！） Y → S 全体の集合

（→適当な同値関係を入れる）

Φ(S)　から，

morphisms S → X 全体の集合

M(S, X)　への

１対１対応（bijection）

　　　　　f_S : Φ(S) → M(S, X)

が存在することである．

--------------------------------------

注意

・S は，objectsからなる族Y → S（小さな族かも知れない）のbase space (パラメーター空間)．もちろん，Y → S の各ファイバーはobject．　族Y → S は，無駄のないパラメーター付けとは限らない．例えば，自明な族かも知れない．

・どんな族Y → Sも，あるmorphism S → Xに対応するということは，X が，われわれのタイプのすべてのobjectsを含むモジュライ空間であることを意味する．

・族Y → Sに対して，morphism S → X が「ただ１つ定まる」ということは，Xがobjectsを無駄なくパラメータ付けていることを意味する．（同じobjectsがXの中の異なる場所に含まれていたりしない．）

・１対１対応（ここでは，単射かつ全射という意味）であるということは，

"異なる"族 Y → S および Y' → S は，異なるmorphisms m および m' : S → X に対応するので，Xが，異なるobjectsを識別している（→モジュライ空間として当然要求される性質）パラメーター空間であることになる．

そして，

任意のmorphism S → Xは，algebraic family Y → Sに起因することを主張している．つまり，S上にfamilyが作れることになる．

（特に，Xの中の任意の点は，われわれのタイプのあるobjectに対応する．）

特に重要なのは，S = X とした場合である．

id: X → X に対応するような，

われわれのタイプのobjectsのX上のfamilyが存在するのである

-------------------------------------

さらに，対応 f_S : Φ(S) → M(S, X) は，

p.97の可換図式を満たすものとする．

（morphism S → S' に対する自然性）

以上が，universal scheme の定義．

------------------------------------------------------------

圏論では，

scheme S に対し，集合Φ(S)，

morphism φに対し，map Φ(φ) : Φ(S') → Φ(S) が対応するoperation

が　functor であるとは，・・・(see p.97)・・・・を満たすことである．

特に，上のunversal schemeの定義においては，

「Φ」はfunctoｒとなっている．

X をa schemeとし，Ψ_X(S)=M(S, X)をthe set of all morphisms S → X とし，

morphism φ : S → S' に対し，Ψ_X(φ)を・・・(see p.98)・・・・と定める．

すると，X がuniversal schemeであれば，ΦはΨ_Xと同型となる．

（圏論的に言えば，Φは "representable functor" ）

universal schemeの存在は必ずしも保証されない．

しかし，存在すれば一意的である．

universal scheme X が存在するとき，Φ(X)とM(X ,X) の１対１対応において，

1_X ∈ M(X, X)に対応するΦ(X)の元 ε_X を the universal family over X

という