複素射影空間において，１つの実d次斉次多項式で定義される非特異（＝複素特異点を持たない）代数多様体（つまり，超曲面 hypersurfaces）に関し，次の同値関係がある．
(1) 実部がdiffeomorphic
(2) 非特異代数多様体が，複素共役の作用と可換なdiffeoによりdiffeomorphic
(3) 実部が実射影空間の中で (differentiablyに) isotopic (「real isotopic」)
(4) 非特異射影代数多様体が複素射影空間の中で（複素共役の作用に関し）equivariant isotopic
◎次は明らかである：
(4)⇒(3)⇒(1)
(4)⇒(2)⇒(1)
(5) rigid isotopic，すなわち，「real isotopicであってかつisotopyの途中の多様体がすべて実d次非特異射影代数多様体（の実部）ばかりからなる」 （Rokhlinが，論文 "Complex topological characteristics of real algebraic curves", Russian Math. Surveys (1978) の中で定義した概念である．）
このことは，実d次斉次多項式の係数空間/R-{0} （複素特異点を持つものを除く）の中で同じ（弧状）連結成分に属することと同値である．（→とRokhlinの論文に書いてある）
（証明は，小平邦彦「複素多様体論I」（岩波講座基礎数学）の複素解析族に関する議論を参照）
(6) rigid isotopy classes のうち，実射影的線型変換で移り合うものを同一視 (Kharlamovの論文参照)
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さて，「偏極（代数的）実K3曲面」に関しては，
(7) 不変量(n.k)を持つ偏極実K3曲面の大域的モジュライ空間M_{n,k}(R)（粗モジュライ空間）の中で同じ連結成分に属する という同値関係(coarsely projectively equivalence)がある（Nikulin, 1979）．
CP^3の中の非特異実4次曲面に対しては，(6)と(7)は同値である．（理由は，Saint-Donatの結果により，不変量(n,k)=(4,1)なる偏極実K3曲面は，非特異実4次曲面であることによる）
(5)と(6)の差異を調べるには，実射影的線型変換で移り合うrigid isotopy classesと，そうでないものを区別するわけであるが，非特異実4次曲面に関しては，Kharlamovの仕事である．
Kharlamovは，まずNikulinの理論を用いて，非特異実4次曲面に関して(7)の連結成分の数え上げを行い，その各々について，個々に，その中にあるrigid isotopy classesを調べ，(5)を完成した．
非特異実6次曲線で分岐するCP^2の２重被覆に対しても，同様の考察をNikulinが行った．それゆえ，CP^2上の非特異実6次曲線のrigid isotopic classificationはNikulinが完成したとされる．
このように，現状では，rigid isotopic classificationについては，不変量(n.k)を持つ偏極実K3曲面の大域的モジュライ空間M_{n,k}(R)（粗モジュライ空間）の連結成分の数え上げが有効な方法である．一方，K3曲面と関わらない次数の超曲面のrigid isotopic classificationは困難．
射影空間のd次超曲面の場合，
(5)rigid isotopic ⇒(4)equivariant isotopic
が成り立つ（この記事 参照．この証明方法は，超曲面の場合のみならず，完全交差（complete intersection）の場合でも可能と予想される）
不変量(n.k)を持つ偏極実K3曲面の大域的モジュライ空間（粗モジュライ空間）M_{n,k}(R)とは，
不変量(n.k)を持つ偏極K3曲面たちからなるヒルベルトスキームH_{n,k} （これは連結な複素多様体）において，複素共役の作用の不動点となっているもの（偏極実K3曲面）の全体をH_{n,k}(R)とし，それを，PGL(N+!,R)の作用で割った空間である．
重要なことは，H_{n,k}がヒルベルトスキームであることから，この上にはすでに普遍族が存在することである．このことにより，
H_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する２つの偏極実K3曲面は，
（H_{n,k}(R)の中で結べるという意味での）rigid isotopicであることと，
P^Nにおいてequivariant isotopicであることが同時に言えることになる．
それに対し，上述のように，係数空間の同じ連結成分に属するという意味のrigid isoｔopicの場合，equivariantベクトル場を用いて，その上に族を構成し，equivariant isotopicであることを導かねばならない．（この記事 参照．）
（2009/5/25修正）
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dividing curves について
非特異実代数曲線の実部が全体（複素零点集合）を分離している(dividing)かどうかは，(2)で不変な性質である．(dividing であることを，type I ともいう)
dividingな実曲線（S^1に同相ないくつかの連結成分からなる）に，複素零点集合（複素曲線としての向きを持つ）のhalfから，その境界の向きとして導入される向き（連結成分全部について一斉に逆にすることは許す）を complex orientation と呼ぶが，この向きも(2)で不変である．
(2)あるいは(4)で不変な性質は，「complex topological characteristics」と呼ばれる．
（Rokhlinの上記の論文参照）