Shafarevich著
Basic Algebraic Geometry 2
～ Schemes and Complex manifolds ～
実代数曲線に対しては，dividing (type I) という概念があり，dividing curvesに対して，そのcomplex orientationというものがあるが，実代数曲面に対しても，その概念が，Oleg Viro により拡張されている：
Complex orientations of real algebraic surfaces,
Topology of manifolds and varieties,
Advances of Soviet Math. 18 (1994), 261-284;
see also arXive: math.AG/0611396.
定義
real algebraic surface A がtype I_{abs}であるとは，
RAがmod 2 で 0 にhomologousなことである．
（このとき，Aは，bounding in complexification であるともいう．）
A がtype I_{rel} であるとは，
RAがmod 2 でhyperplane section にhomologousなことである．
上のどちらでもない場合に，Aは，type II であるという．
注意（上記論文の2.2節より）
real algebraic surface A がtype I_{abs}であるとき，すなわち，RAがmod 2 で 0 にhomologousなとき，RAで分岐するCAの２重被覆が存在する．これは，
H_1(CA; Z_2)=0のときには，同値なものを除いてuniqueである．
このとき，曲面RAの"complex orientation"が決まる．
注意（上記論文の4.2および4.3節より）
real algebraic surface A がtype I_{abs}のときには，spin structureを持つ．
type I_{rel} のときには，Aはorientableとは限らず，
（spin structureのanalogueである） Pin^- structure (→この記事 参照) を考えることができる．
（まだ編集中です）
コンパクト複素曲線 Aが real K3 surface (X, \varphi) with non-symplectic holomorphic involution $\tau$ of type (S, θ) における反シンプレクティック正則対合$\tau$の不動点集合（固定点曲線）である場合を考える．
このとき，Aがdividingであるかどうかは，
条件(S, θ)付対合付格子(H_2(X; Z), \varphi_*)の不変量
δ_{\varphi S}
によって決まることが判明している：
Theorem (Nikulin and Saito, Proc.LMS, 2007)
Let (X, \varphi) be a real K3 surface with non-symplectic holomorphic involution $\tau$ of type (S,\theta)
and A be the fixed point set of $\tau$ in X.
Assume that A is non-empty. Then,
(A, \varphi) is dividing if and only if δ_{\varphi S} = 0.
Proof
The main technique is a so-called Donaldson's trick
(see {D} or the book {DIK2000}).
We know the K3 surface $X$ is algebraic.
(See {Yoshi2004}, for example.)
We can take a hyperplane section class $h$ in $S$.
Since $\varphi_*(h) = -h$,
$h$ is contained in $S_- = L^{\tau} \cap L_{\varphi}$.
Moreover, $h$ is contained in the K\"ahler cone
$\mathcal{C}^+_X$ of $X$ (See {BHPV}).
Thus we see
$S_- \cap \mathcal{C}^+_X \neq \emptyset$.
Let $I$ be the complex structure of the K3 surface $X$ and
take a K\"ahler class $c$ of $(X,I)$
in $((L^{\tau} \cap L_{\varphi}) \otimes \br) \cap \mathcal{C}^+_X$.
Since $c_1(X)=0$, by the Calabi-Yau theorem
(see, for example, {Besse}, Theorem 11.15)
$0$ is the Ricci form of one and only one K\"ahler metric in the class $c$.
Thus we can take the unique K\"ahler form $P$ with zero Ricci form in the class $c$, where $c=[P]$.
Let $g$ be the K\"ahler metric whose K\"ahler form is $P$,
i.e., $P = g(I( ), )$.
By the uniqueness of the Ricci flat K\"ahler form,
we have $\tau^*P = P$ and $\varphi^*P = - P$.
Since $\tau$ is holomorphic on $(X,I)$, we have $\tau^*g = g$.
And, since $\varphi$ is anti-holomorphic on $(X,I)$,
we have $\varphi^*g = g$.
Now we can take a nowhere vanishing holomorphic $2$-form
$\omega_I$ on $(X,I)$
such that $\tau^* \omega_I = - \omega_I$ and $\varphi^*(\omega_I) = \overline{\omega_I}$.
We define the real $2$-forms $Q$ and $R$ on $X$ to be
$\omega_I = Q + \sqrt{-1}R$.
Then we have
$\tau^* Q = -Q, \tau^* R = -R, \varphi^* Q = Q and
\varphi^* R = -R.$
Moreover, we may asuume
$2(P\wedge P) = \omega_I \wedge \overline{\omega_I}$,
equivalently,
$Q \wedge Q = P \wedge P$.
We define the new complex structures $J$ and $K$ on $X$ by
$Q=g(J( ), ) and R=g(K( ), ).$
(Then $g$ is a hyperK\"ahler metric on $X$.
See {Huybrechts02}, Remark 2.4.)
By the above we can verify that
$\tau$ is anti-holomorphic and $\varphi$ is holomorphic for $(X,J)$.
We see $\omega_J := R + \sqrt{-1}P$ is
a nowhere vanishing holomorphic $2$-form on $(X,J)$.
We have $\varphi^*(\omega_J)= - \omega_J$, i.e.,
$\varphi$ is non-symplectic on the K3 surface $(X,J)$.
We get a new real K3 surface with a non-symplectic involution
$((X,J),\varphi,\tau)$.
Then the fixed point set $X(\br)$ of $\varphi$
is a complex 1-dimensional submanifold of $(X,J)$
(see {Nikulin81}, p.1424).
The fixed point set of $\tau$ in $X(\br)$ is $A(\br)$.
Thus we can apply {NikSaito2005}, Theorem 16
to the K3 surface $(X,J)$, the anti-holomorphic involution $\tau$ and the complex curve $X(\br)=:C$.
Thus we conclude that the following two conditions are equivalent.
(1) [X(\br)] ・ x \equiv 0 mod 2 for all x in L_\tau.
(2) [A(\br)] = 0 in H_1(A; Z/2Z).
The condition (1) is equivalent to $δ_{\varphi S} = 0$.
This completes the theorem. □
Remark
この証明でわかるのは，Xの複素構造を取り替えることにより，証明したい定理が，{NikSaito2005}のTheorem 16と等価となることである．
(Therem 16 については，後日述べます)
このTheorem 16を証明するときにキーとなったのは，
論文{Kharlamov75a}，{Kharlamov76}，{Mangolte97}であったことも想起したい．
References
{Besse}
A.L. Besse,
Einstein Manifolds,
Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), {\bf 10}, Springer-Verlag, 1987.
{BHPV}
W. Barth, Hulek, C. Peters, A. Van de Ven,
Compact Complex Surfaces,
Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), {\bf 4}, Springer-Verlag.
{DIK2000}
A. Degtyarev, I. Itenberg, V. Kharlamov,
Real Enriques Surfaces}
Lect. Notes in Math., {\bf 1746} (2000), 259 pp.
{D}
S.K. Donaldson,
Yang--Mills invariants of smooth four-manifolds,
Geometry of low-dimensional manifolds
(S.K. Donaldson, C.B. Thomas, eds.), Vol. 1.
Cambridge University Press, Cambridge (1990), 5--40.
{Huybrechts02}
Daniel Huybrechts,
Moduli spaces of hyperk\"ahler manifolds and mirror symmetry,
math.AG/0210219 v3.
{Kharlamov75a}
V.M. Kharlamov,
Additional congruences for the Euler characteristic of real
algebraic manifolds of even dimensions,
Funkt. Anal. Prilozhen.,{\bf 9} (1975), 51--60.
English transl. in Funct. Anal. Appl., {\bf 9} (1975), 134--141.
{Kharlamov76}
V.M. Kharlamov,
The topological types of nonsingular surfaces in
$\br\bp^3$ of degree four,
Funkt. Anal. Prilozhen.,{\bf 10} (1976), 55--68.
English transl. in Funct. Anal. Appl., {\bf 10} (1976), 295--305.
{Mangolte97}
F. Mangolte,
Cycles alg\'ebriques sur les surfaces {K}3 r\'eelles,
Math. Z., {\bf 225} (1997), 559--576.
{Nikulin81}
V.V. Nikulin,
Factor groups of the automorphism groups of
hyperbolic forms by the subgroups generated by 2-reflections,
Algebraic-geometric applications,
Current Problems in Math., Vsesoyuz. Inst. Nauch. i Tekhn. Informatsii, Moscow,
{\bf 18} (1981), 3--114.
English transl. in J. Soviet Math., {\bf 22} (1983), 1401--1476.
{NikSaito2005}
V.V. Nikulin and S. Saito,
Real K3 surfaces with non-symplectic involutions and applications,
Proc. LMS 2005..
{Yoshi2004}
Ken-Ichi Yoshikawa,
K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion,
and automorphic forms on the moduli space,
Invent. Math. {\bf 156-1} (2004), 53--117.
Definition (dividing curves)
A を possibly disconnected non-singular compact complex curve with an anti-holomorphic involution φ とする．
A(R) を A における φ の不動点集合とする．(これは，S^1のdisjoint union)
このとき，(A, φ) (あるいは簡単に，A(R)) が dividing (あるいは，type I)
であるとは，
[A(R)] = 0 in H_1(A ; Z_2)
が成り立つことである．
つまり，A(R)が空集合であるか，または，
空でないとすれば，Aのある連結成分 A_i に対しては，その実部A_i(R) （＝A_i における φ の不動点集合）が空でないわけだが，そのようなすべてのA_i に対して，A_i から A_i(R) を除いたものが非連結，つまり，A_i(R)が A_i をdivideする，ということである．
もっと詳しく言うと，Aの連結成分 A_i は，そこに φ を制限できるものと，φによって，別の連結成分に移るものがあるが，後者の場合は，明らかに不動点集合A_i(R)は空であり，前者の場合は，実部 A_i(R) が空でないこともありうる．
A(R)がdividingであるとは，実部 A_i(R) が空でないようなすべての連結成分 A_i に対して，A_i から A_i(R) を除いたものが非連結，つまり，A_i(R) が A_i をdivideする，ということである．（下図参照）
A(R)が空でなくdividingな場合に，A_i(R) が空でないようなすべてのA_i に対して，差集合A_i - A_i(R) は，φによって移り合う丁度２つの連結成分(A_i)_+，(A_i)_-からなり，A_i(R)はそれらの境界になっていることがわかる．（下図参照） 従って， A_i(R)には，(A_i)_+ （あるいは，(A_i)_-）の境界としての向きを導入できる．この向きは，A_i(R)の各連結成分の向きを一斉に逆にすることを除いて一意的に決まる．このようにして決まるA(R)の向きをcomplex orientation と呼ぶ．
dividingnessおよび，complex orientation は，Rokhlinにより導入された概念である.
M-curveはdividingであることが知られている．しかし，曲線A がM-curveでなくても，つまり，A(R)の連結成分数が最大に達していなくても，A(R)がAをdivideする，ということはあり得る．（下図参照）
このように，M-curveでないがdividingである例は多い．
RP^2上の非特異実代数曲線の場合，dividing curvesのisotopy typesに対しては，M-curvesに対する合同式(Rokhlinの合同式)よりも緩やかな合同式（Arnol'dの合同式）が成り立つことが知られている．
まず，簡単のため，連結なコンパクト複素曲線に対して述べます．
定義（dividing curve, complex orientation）
連結なコンパクト複素曲線（リーマン面）A 上に反正則対合 T （これは，向きを逆にする）があるとき，その不動点集合（実部） RA := FixT は連結とは限らず，空集合または有限個のS^1のdisjoint union となる．
それらのS^1の数は，g(A)+1 以下である （Harnackの不等式） ことが初等的に証明できる．
特に，最大数 g(A)+1 であるとき，(A,T)は，M-curveであると呼ばれる．
M-curveの場合，A - RA は非連結，もっと詳しくは，T で写り合う２つの連結成分からなる．
しかし，M-curveでない場合も，A - RA が非連結となることがある．
このような(A,T)は，dividing curve （あるいは，curve of type I ）呼ばれる．
（RA が A をdivideしていることに注意）．
この場合，A - RA は，T で写り合う２つの連結成分からなる．
このとき，A - RA のそれぞれの連結成分（A^+ と A＾- とする）は，A のopen subset なので，複素曲線 A と同じ向きを持つ．A^+ と A＾- のAにおける閉包もそれぞれ同じ記号で書くことにすると，RA は，A^+ ， A＾- それぞれの境界となっている．したがって，RA には，境界としての向きが誘導される．この向きは，A^+ ， A＾-，いずれから誘導されるかによって異なるが，連結成分（～S^1）の向きを一斉に逆にすることを除いて，一意的に定まる．
これを，dividing curve RA の the complex orientation と呼ぶ．
dividingでない場合は，このような標準的な向きはない．
参考文献：
V.A. Rokhlin,
Complex orientations of real algebraic curves,
Funkts. Anal. Prilozhen. 8-4 (1974), 71--75.
= Funct. Anal. Appl. 8 (1974), 331--334.
V.A. Rokhlin,
Complex topological characteristics of real algebraic curves,
Usp. Math. Nauk, 33--5 (1978), 77--89.
= Russ. Math. Surveys, 33--5 (1978), 85--98.
●曲線に対するdividing (type I）の概念を高次元化させた概念が，Viroにより導入されている．
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その他の参考文献：
N.M. Mishachev,
Complex orientations of plane M-curves of odd degree,
Funkt. Anal. Prilozhen. 9-4 (1975), 77--78.
= Funct. Anal. Appl. 9 (1975), 342--343.
V.I. Zvonilov,
Complex topological characteristics of real algebraic curves on surfaces,
Funct. Anal. Appl. 16 (1982), 202--203.
V.I. Zvonilov,
Complex orientations of real algebraic curves with singularities,
Soviet Math. Dokl. 27-1 (1983), 14--17.
V.I. Zvonilov,
Complex topological invariants of real algebraic curves on a hyperboloid and on an ellipsoid,
St. Petersburg Math. J. 3-5 (1992), 1023--1042.
G. Mikhalkin,
The complex separation of real surfaces and extensions of Rokhlin congruence,
Invent. Math. 118 (1994), 197--222.
Hilbert scheme については，
●Shafarevich
"Basic Algebraic Geometry" 第2巻
（この本は３巻からなり，
第２巻はグロタンディークのスキーム理論の解説から始まる）
●I.I. Piateckii-Shapiro, I.R. Shafarevich,
A Torelli theorem for algebraic surfaces of type K3
には Hilbert scheme についての記述があります．
●I.I. Piateckii-Shapiro, I.R. Shafarevich,
The arithmetic of K3 surfaces,
Proc. Steklov Inst. Math., 132 (1973), 45--57.
も，詳しくないが必要なことが書いてあります．（§1の部分）
●Harris
"Algebraic Geometry ", Springer
も参照． より詳しくは，挙げてある参考文献を参照．
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Hilbert schemeの存在を仮定して，性質のみを理解するなら，
●Mumford, Fogarty, Kirwan著
"Geometric Invariant Theory (Third Enlarged Edition)"
Chapter 0 5. Resume of some results of Grothendiek
に手短かな解説があります．
Hilbert schemeについての詳しい解説が，
●Kollar著
"Rational Curves on Algebraic Varieties", Chap.1
にあります．
●Fantechi, Gottsche, Illusie, Kleiman, Nitsure, Vistoli 著
"Fundamental Algebraic Geometry Grothendieck's FGA Explained",
AMS， Chap.5
は，Hilbert schemeの構成に当てられています．
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(以上は，2008年末に，二人の先生に教えて頂いた情報）
base space が complex space である場合の family の定義を確認しておきます．
この記事 でも述べました．
参考文献： [BHPV], p.35
A family of compact complex manifolds χ=(X, p, S) とは，
(i) X, S はconnected complex spaces
(ii) surjective proper holomorphic map p : X → S which is flat
(i.e., O_{X,x} is a flat O_{S,p(x)}-module for all x ∈X )
and whose fibers are all connected complex manifolds.
このとき，S を，the base space of the familyχ と呼ぶ．
X と S がsmoothのとき，smooth family と呼ぶ．
このとき，flatness により，
pは，いたるところmaximal rank (holomorphic submersion)となる．
Ehresmannの定理により，smooth family は，differentiablyにはlocally trivial である．（つまり，differentiablyに，fiber bundle．）
参考文献：
上野健爾著「代数幾何」 （岩波書店，2005）
p.95
位相空間とその上の可換環の層の組を ringed space という．
ringed space (X, O_X) からringed space (Y, O_Y) への射は，
連続写像 f : X → Y と，Y上の環の層としての準同型θ: O_Y → f_*(O_X)
の組 (f, θ) を意味する．
p.546
C^n の通常の位相（Zariski位相ではない）に関する開集合U上の正則関数のなす層を，スキームの構造層と区別するために，O_U^{an} と書く．
I^{an} をＵ上の解析的連接的イデアル層とするとき，
Y := Supp (O_U^{an} / I^{an}) は，Uの閉集合である．
(Y, O_U^{an} / I^{an}) を，
解析的連接的イデアル層 I^{an} が定める解析空間と呼ぶ．
底空間 Y を U の解析的集合(analytic subset)と呼ぶこともある．
ringed space (M, O_M) は，
各 i に対して， C^{n_i} の開集合 U_i とその上の解析的連接的イデアル層 I^{an}_i が存在し，解析空間 (Y, O_U_i^{an} / I^{an}_i) が
(V_i, O_M|V_i) とringed spaces として同型であるように
M の開被覆 { V_i } をとることができるとき，
複素解析空間 (complex (analytic) space) と呼ぶ．
（●解析空間を張り合わせたものが，複素解析空間！！）
複素解析空間の射は，局所環つき空間としての射と定義する．
射影空間は，
（１）同次元のアフィン空間の貼り合わせからも得られるし，
（２）１次元高いアフィン空間から原点を除いたものの商空間としても，得られる．
（１）の意味では，代数的スキームの一種である．
（２）の意味を一般化した概念が，「射影的スキーム」である．
～ ～ ～
川又著「代数多様体論」
p.45より
定義
スキーム X は，射影空間への閉部分スキームとしての埋め込み X ⊂ P^n が存在するとき，射影的スキームであるという．
このとき，X は代数的スキームになる．
特に，X が代数多様体になるときには，射影的多様体であるという．
制限O_{P^n}(1) \otimes_O_{P^n} O_X を O_X(1) と表すことにする．
スキーム X 上の可逆層 L は，
閉部分スキームとしてのある埋め込み X ⊂ P^n が存在して，
O_X(1) と同型となるとき，非常に豊富(very ample)であるという．
また，適当な正の数mが存在して，L のｍ回テンサーが非常に豊富になるとき，
豊富(ample)であるという．
射影的多様体と豊富な可逆層の組を，偏極多様体と呼ぶ．
川又 p.9 より
複素n変数多項式環 C[x_1, ・・・ x_n]のイデアルの共通零点集合を，C^n の代数的閉部分集合という．代数的閉部分集合を閉集合とするC^nの位相をザリスキー位相という．
これに対して，C^nのふつうの位相を実位相という．ザリスキー位相は実位相より弱い．
○実位相で連結ならば，ザリスキー位相で連結．
○ザリスキー位相で連結であっても，実位相で連結とは限らないので，ザリスキー連結成分は，実位相では非連結である可能性もある．
命題1.2.9
Ｃ＾ｎはザリスキー位相に関してコンパクト．
そして，n>0である限り，ハウスドルフではない．実際，空でない開集合は必ず交わる．
p.13
（アフィンスキームとしての）アフィン空間 A^n を，次のように定義する．
これは，「局所環」付き空間である．
まず，点集合としては，A^n は，多項式環 C[x_1, ・・・ x_n]の素イデアル全体のなす集合である．
C^n は， C[x_1, ・・・ x_n]の極大イデアル全体のなす集合と同一視できたので，
C^n ⊂A^n
である！！
A^nの位相，A^n上の環の層O_Xを，p.13のように定める．
後でわかるように，
A^n = SpecC[x_1, ・・・ x_n]
である．
A^nの点pは，多項式環 C[x_1, ・・・ x_n]の素イデアルであるが，{p}が閉集合であるとき，pは閉点であるという．閉点は，C[x_1, ・・・ x_n]の極大イデアルに対応するので，C^n は，A^n の閉点全体の集合と同一視される．
これに対し，A^n＼C^n は，「１点ではないようなA^nの代数的閉部分多様体」たちの生成点（一般点）全体の集合と同一視される．
点p ∈ X=A^nでの茎O_{X, p} は，局所化 C[x_1, ・・・ x_n]_p と一致する．
-------------------------
p.14
（後で定義する）「スキーム」の局所モデルが，「アフィンスキーム」である．
アフィンスキームの理論は，可換環論と同値．
定義1.3.1
アフィンスキーム Spec A の定義．
p.18
定義1.3.6
アフォンスキームの閉部分スキームとは・・・．
閉部分スキームの一般点（生成点）とは・・・．
アフィンスキーム Spec A において，{p} が閉集合であるとき，pは閉点であるという．これは，p がAの極大イデアルであることに対応する．
p.19
定義1.3.9
環 (C-algebra) A が 基礎体C上有限生成な場合，SpecA を
代数的アフィンスキーム(affine algebraic scheme)という．
-------------------------------------------
のちに，代数的アフィンスキームを張り合わせて「代数的スキーム」を作るのであるが，その位相もザリスキー位相という．(p.11 下から5行目)
p.21
「ザリスキー位相での開集合は巨大であり，空集合以外は，ほとんど空間全体になってしまうので，アフィン開集合を貼り合わせて代数多様体をつくるとき，ほとんどが「糊しろ」になる．」
p.21
定義1.4.1
スキームの定義．
閉部分スキームの定義．
p.23
定義1.4.3
スキームの射 f : X → S があるとき，射 f あるいは，組(X, f) を S-スキーム という．
定義1.4.4
Spec C-スキームのことを略して C-スキームとも呼ぶ．
代数的アフィンスキーム Spec A は，自然な環準同型 C → A によって，C-スキームの構造をもつ．
C-スキーム X は，その有限個の開集合U_1，・・・，U_m で覆われ，
各構造射が代数的アフィンスキームと同型になるとき，
代数的スキーム(algebraic scheme)であるという．
代数的スキームの射は，Spec C上のもののみを考える．
○代数的スキームの閉部分集合の減少列は無限には続かない．
p.24
X, Y が代数的スキームの場合，
fiber product X x_{Spec C } Y を 直積 と呼んで，X x Y で表す．
このスキームの直積「X x Y」の位相は，XとYの位相空間としての直積位相よりも強い．
例1.4.8
スキームA^1とA^1の「直積」はスキームA^2であるが，スキームA^2においては，対角線は閉部分集合であるのに，スキームA^1とA^1の「位相空間の直積位相」では閉集合にならない．（位相空間の直積位相は不都合ということになる）
定義1.4.9
S-スキーム X に対して，対角線射がX から X x_S X のある閉部分スキームへの同型射になっているとき，
XはS上分離的(separated)であるという．
注意
○定義1.4.9を，特に，代数的スキームに適用すると， (Spec C上)分離的であるとは・・（後日記入）・・・ということになる．
○Spec C-スキーム X がSpec C上分離的であるとき，X のアフィン開集合のU_1，U_2 の交わりはアフィンスキームである．
○S上分離的なスキームでは，分離されるべきものが分離されているといえる．
注意1.4.11より：
川又の本でのスキームは，グロタンディークのEGAでは，preschemeと言われ，分離的スキームこそがスキームと呼ばれていた．
しかし，K3曲面の変形理論などの場面では，分離的でないスキームも現れて重要であるので，この呼称の変更は概念の適正化といえる，とのこと．
（2009/4/3 修正・追加）