p.105
4.3 Flat families
与えられたHilbert polynomial を持つ P^N のcloled subscheme X たちの族
を考えていこう．
まず，いつ，irreducible base を持つ族のすべてのschemesが同じHilbert polynomial を持つだろうか？
baseがirreducibleであるような族のすべてのschemesが同じHilbert polynomialを持つとは限らないということが，いくつかの例によってわかる．(see p.105)
familyのfibersのHilbert polynomialがconstantであるための条件が，
「familyが"flat"である」という条件なのである！
p.106
定義
ring A 上のmodule M がflatであるとは・・・・・(see p.106)．
a family f : X → S (ここで，X, Sはschemes)がflatであるとは，
任意のx ∈ X に対してO_x がO_f(x)-moduleとしてflatなことである．
(このとき，「f がflat morphismである」とか，「Xが flat over S」ともいう)
p.107
connected base S を持つP^Nのclosed subschemesのflat familyにおいて，fibers の Hilbert polynomial はconstantであるか？
この主張は，S が 1-dim regular local ring のSpecの場合に示せばよい．
さらに，S はirreducibleでnormalと仮定してよい．
さらに，S の任意の閉点および生成点上のfibersに対して，Hilbert polynomial が一致することを示せばよい．
結局，A = O_s とおけば，Spec A の閉点および生成点上のfibersに対して，Hilbert polynomial が等しいことを示せばよい．
ところで，P^Nのclosed subschemesの base Spec A 上のfamilyとは，
P^N_Aのclosed subscheme のことである．
なぜなら，canonical morphism P^N_A → Spec A があるので，
どんなclosed subscheme X ⊂ P^N_A に対しても，morphism X → Spec A が定義できるので，X をSpec A 上のfamilyとみなせる．
定理 3.
A をある代数的閉体上の曲線のnonsingular point でのthe local ring とする．
X ⊂ P^N_A を closed subscheme で morphism X → Spec A が flat なものとする．このとき，Spec A の閉点と生成点でのXのfibersは，同じHilbert polynomialを持つ．
（Danilovによる証明がp.107～紹介されている）