「数学のたのしみ」の「モジュライのたのしみ」特集号を見ていたら，
向井茂さんの解説があり，少しわかった
ことがありました．
P^3の中の非特異3次超曲面のモジュライ空間として，まず，
3次斉次多項式の係数の空間（複素数倍は同一視，特異なものは除く）がある．
さらに，それをPGLの作用で割った空間Mも考える．
後者Mは，控えめに，粗モジュライ空間と呼ばれる．
このように呼ばれる理由は，
この空間Mをbase spaceとするような普遍族(universal analytic family)が必ずしも作れないこと，だそうである．
つまり，複素多様体(total space)からM(base space)への全射固有正則submersionで，Mの各点のファイバーが，その点を代表する非特異3次超曲面（に複素解析的に同型）となっているような族が必ずしも作れないらしい．
なぜ作れないかと言うと，ある特殊な非特異3次超曲面Xが大きな対称性を持っている（＝それ自身に作用するようなPGLの元が沢山ある）のに，その近傍の非特異3次超曲面は，それ自身に作用するようなPGLの元が恒等変換のみしかなかったりする場合，その近傍上にうまくfamilyが作れないということである．
Xにはmarkingが何種類もあるのに，PGLの作用で割ったモジュライ空間Mにおいては，それらのmarkingをすべて同一視してしまっていることになる．それゆえ，その上には「現実のfamily」を作れない．
そこで，特殊な非特異3次超曲面Xのすべてのmarkingを区別するようなモジュライ空間を新たに考えると，
それは，non-Hausdorffな空間になってしまう，ということかも知れない．
それに対し，"Hilbert scheme"上には，普遍族が作れる．Hilbert schemeとはそういう重要な性質を持つものなのである．
非特異3次超曲面に対しては，最初に考えた「3次斉次多項式の係数の空間（複素数倍は同一視，特異なものは除く）」がHilbert scheme（を実現したもの）ということになる．
このような事情を知ると，「family」と「モジュライ空間」の重要な違いが見えてくる．
取りあえず対象の全体を捉えたらよいと思って，
PGLの作用の分を同一視してモジュライ空間を考えたりすると，
その空間上には，（繰り返しになるが）「現実のfamily」は必ずしも作れない，ということ．
familyのbase spaceになり得るようなモジュライ空間が，ある意味では，重要であるということ．
モジュライ空間上のfamilyが現実に存在するならば，
例えば，モジュライ空間が連結な複素多様体(smooth)である場合，モジュライ空間の各点を代表する多様体は，複素構造の変形で移り合うことがわかる．
また，非特異実4次曲面の場合，
coarse projective equivalence classes (Hibert schemeをPGLの作用で割ったもの)でなく，
(PGLの作用で割っていない)"rigid isotopic classification"の重要性もわかる．
amphichiralな実4次曲面とは，対称性を持っている特殊な対象ということになる．
そのようなことを踏まえ，marked K3 surfaces (および，marked polarized K3 surfaces )のモジュライ空間とその上のfamilyについて，いま一度，正確に読みとらなければならない．
しかし，さしづめ必要なのは，代数的K3曲面なので，polarized K3 surfaces の場合に限って，Piateckii-Shapiro, Shafarevich の２つの論文を見ること！