非特異実4次曲面のrigid isotopy classesは １６９個 とわかっている．
（V.M. Kharlamov, Classification of nonsingular surfaces of degree 4 in RP^3 with respect to rigid isotopies, Funct Anal Appl. 18 (1984)）
これには，まず，
Nikulinによる，
「偏極対合付きK3格子の同型類と，実K3曲面のモジュライ空間の連結成分（粗射影的同値類=coarsely projectively equivalence class）とのbijectiveな対応定理」を用いて，
n=4の場合に，
偏極対合付きK3格子の同型類の同型類が１３４ (see [共立2001, p.268])（私の計算では・・・１３５以上・・・・後日，計算し直しておきます）であることを数え上げる．
偏極対合付き格子の種 (genus，これは，同型類より弱い同値類である）は，Nikulinの研究によれば，有限個の不変量の組で表すことができ，その取り得る値のすべてを数え上げることができる．得られた各組は，偏極対合付き格子の種を表しているわけだが，実は，一部の例外を除いて，種は同型類と一致しているのである．
だから，例外的な種について，その中に同型類がいくつあるか，個々に調べれば，すべての同型類を得ることができる．その結果が，134 (or 135?) 個 ということである．
Nikulinの定理により，
「偏極対合付きK3格子の同型類と粗射影的同値類=coarsely projectively equivalence classは，bijectiveに対応」するが，
この粗射影的同値類とは，ある固定された「次数」の偏極実K3曲面のモジュライ空間の連結成分のことである．
このモジュライ空間は，ヒルベルトスキームのある部分集合を，PGL(N+1,R)の作用で割った空間である．
（4次曲面は，次数4のK3曲面， 6次曲線で分岐するCP^2の2重被覆は，次数2のK3曲面である．ほかの例は，Nikulinの論文参照．）
しかし，次数4の場合，この粗射影的同値類は，
実係数4変数4次斉次多項式の係数空間
RP^N ＼ D_R
を，実射影線型変換群 PGL(4) の作用で割った空間の連結成分
のことである！！
よって，(RP^N ＼ D_R)/PGL(4) の連結成分が，
n=4に対する偏極対合付き格子の同型類と対応する．
だから，まずは，(RP^N ＼ D_R)/PGL(4) の連結成分の全体が，
偏極対合付き格子の同型類の全体という形で，
不変量の値の組を用いて，explicitに判明するのである．
次に，Hilbert 第16問題では，Rokhlinにより導入された「rigid isotopy」という概念がある．rigid isotopy classes は，実4次曲面の場合，PGL(4)で割る前の，係数空間 RP^N ＼ D_R の連結成分である．
しかし，上で述べたように，Nikulinの結果を用いて，，(RP^N ＼ D_R)/PGL(4) の連結成分のほうを先に知るので，rigid isotopic classes を知るためには，
PGL(4)の作用で同一視されてしまうような RP^N ＼ D_R の連結成分がどれであるかを調べなければならない．
PGL(4)の連結成分は２個（１つは，恒等写像を含む連結成分，もう１つは，超平面に関する鏡映を含む連結成分）なので，
RP^N ＼ D_R の各連結成分は，鏡映によって，別の連結成分に移るか，あるいは，それ自身に移る（この場合は，PGL(4)の作用で閉じているということ）．
後者のような連結成分(rigid isotopy class) は amphichiral であると呼ばれる．
従って，(RP^N ＼ D_R)/PGL(4) の各連結成分は，rigid isotopy classes を，１個，あるいは，２個含む．
Kharlamovは，RP^N ＼ D_R の各連結成分に対して，amphichiralであるかそうでないかを個々に調べ，RP^N \setiminus D_R の連結成分の数が169個であると結論したのである．
参考文献
●Rokhlin; Complex topological characteristic of ・・・・・ (1978)
●Kharlamov; Isotopy types of ・・・・ (1978)
●Kharlamov, Classification of nonsingular surfaces of degree 4 in RP^3 with respect to rigid isotopies, ・・・・(1984)
●[共立2001] 石川・齋藤・福井； 「代数曲線と特異点」 第II部 「実代数幾何学と特異点」 --ヒルベルト第16問題とその周辺-- 特異点の数理４，共立出版，2001．
(2009/5/25 修正しました)