（2009/5/16 修正）
●ヒルベルトスキームの意義は，すべての対象を含み，大域的であるという意味の普遍性だけでなく，
「族」のbase spaceとなりうるという点が重要なのであった．ヒルベルトスキーム上には「族」が作れるわけである．
しかし，ヒルベルトスキームは，「ある固定された射影空間 P^n に埋め込まれたK3曲面の集まり」のように，代数的K3曲面に対してしか考えられない．
●次に，K3曲面の場合は，「周期」 がある．
大域的なトレリ型定理は，（適切に定義された）周期が(marked) K3曲面の複素解析的同型類を決めること（周期写像の単射性）を主張している．
●ある固定された射影空間 P^n に埋め込まれたmarked polarized K3 surfacesを考える場合は，
Piateckii-Shapiro and Shafarevichの論文(1971)のように，
周期としては，holomorphic 2-forms のなす複素直線を考えるだけでよい．
その周期の領域は，19次元の周期領域 Ω(l) である．
polarization を固定している場合は，この周期を考えるだけで，effective classes がeffective classes に移されるというアイデアが，Piateckii-Shapiro and Shafarevichの論文(1971)に述べられている．
また，ヒルベルトスキームが使えるので，族も構成できる．
●（代数的とは限らない）markedK3曲面の場合，
周期は，([α_C(η)]，α_R(κ)) を\tilde{Ω}にprojectしたところのBurns-Rapoport周期を用いる．
この周期は，holomorphic 2-formだけでなく，Kaehler cone の情報も含んでいる．なぜなら，
「代数的とは限らないmarked K3曲面に対するThe global Torelli theorem」
のstatementからわかるように，unpolarized な marked K3曲面 X に対しては，holomorphic 2-formのH^2(X, Z)における直交補空間であるところのPicard格子 Pic(X) だけでなく，その中のeffective classes の集合が重要なのである．別の言い方をすれば，Kaehler coneが重要．
この要請を満たすため，\tilde{Ω} は，non-Hausdorffな解析空間となってしまっている．
しかし，このような空間を考えないと，その上に族がうまく構成できない．
（註） effective divisorで代表されるルート (自己交点数-2のclass)の全体をΔ^+(X)と書き，
「Δ^+(X)の元における鏡映」で生成される群を W(X) とすると，その基本領域 C(X) (⊂ Xのpositive cone) は，
C(X) = {x ∈ Posi(X) | <x,Δ^+(X)> >0 }
であり，X の Kaehler cone と呼ばれるのだった．
この辺の議論の詳細（定理の証明など）については，[BHPV]参照．
～ ～ ～
歴史的に先に得られた「局所トレリ型定理」のほうは，
倉西族（普遍な族）のbase spaceから周期領域への周期写像が，
局所的複素解析的同型写像（よって局所的に全単射）であることを主張している．