参考文献：
[BHPV] 第8章 K3 surfaces and Enriques surfaces (p.332)
金銅誠之 「二次形式とK3曲面・Enriques曲面」，数学 42-4 (1990)． 定理3.3 （Torelli型定理）
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記号の定義 （この記事 に書いたことを再掲）
XをK3曲面，ω_Xをa nowhere vanishing holomorphic 2-form on X とする．
PicX = S_X = (ω_X)^⊥ ∩ H^2(X, Z) (Picard lattice)
T_X = (S_X)^⊥ ∩ H^2(X, Z) (超越lattice)
とおく．
Δ(X) = {δ∈S_X | δ^2 = -2 } (Xの"ルート"たちの集合)
とおく．
H^{1,1}(X)_R := H^{1,1}(X) ∩ H^2(X, R)
とおく．
{ x ∈ H^{1,1}(X)_R | <x, x> > 0 }
は，２つの連結成分（cones）からなるが，XのKaehler classたちは，そのconvex subcone をなし，２つの連結成分の片方に含まれる．そちらを，
C_X
と表し，Xのthe positive cone と呼ぶ． ([BHPV], p.307を参照)
Δ(X) = Δ^+(X) ∪ -Δ^+(X) (disjoint union)，
ここで，Δ^+(X) = { δ | δはeffective divisorで代表される }
という分解ができる． ([BHPV], p.311～p.312参照)
C^+_X = {x ∈ C_X | <x, Δ^+(X)> ＞ 0 }
とおく．
これは，Xのthe Kaehler cone に一致する．([BHPV], p.312，Coro3.9参照)
Δ^+(X)の元で決まる鏡映 s_d (Picard-Lefschetz reflections) で生成される群を
W(X) とおくと，その基本領域 (⊂C_X) は，C^+_XのC_Xにおける閉包となっている．
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Theorem 11.1
(The global Torelli theorem for K3 surfaces，
Pｊateckii-Shapiro and Shafarevich,
Burns and Rapoport)
X, X' をK3 surfaces とし，effective Hodge-isometry
φ： H^2(X',Z) → H^2(X,Z)
つまり，φは，isometry H^2(X',Z)→H^2(X,Z)で，
● C-linear extension φ_C が Hodge分解を保ち，
（これは，K3曲面の場合は，H^{2,0}(X') を H^{2,0}(X) に写すこと，すなわち，
[ω_X'] を [ω_X] に写すことと同値である．）
(ここまでなら，Hodge-isometry )
● φ_R が positive coneをpositive coneに移し，かつ，
the sets of effective classesの間のa bijectionを誘導する．
（このことは，Prop.3.11 より，φ_R が
X' のthe Kaehler cone を X のthe Kaehler cone に写すことと同値である！）
が存在するとする．
このとき，
φ= f^* となるbiholomophic map f : X → X' が存在する．
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Corollary 11.2 (Weak Torelli theorem)
X, X' をK3 surfaces とし，Hodge-isometry H^2(X',Z) → H^2(X,Z)，
すなわち，isometry H^2(X',Z)→H^2(X,Z)で，
C-linear extension が Hodge分解を保つ，
が存在すれば，X, X' は複素解析的に同型である．
Proposition 11.3
X をK3曲面とする．X上の自己同型で，H^2(X,Z)上identityであるものは，
それ自身，identtityである．
Colollary 11.4
Theorem 11.1 において，φ= f^* となるbiholomophic map f は一意的である．
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コメント：
Theorem 11.1 (The global Torelli theorem) よりわかること：
(X_1, ψ_1), (X_2, ψ_2) を２つのmarked K3曲面とする．
（つまり，
ψ_1： H^2(X_1, Z) → L，
ψ_2： H^2(X_2, Z) → L を isometry とする）
このとき，
(i) (ψ_1)_C ([ω_{X_1}]) = (ψ_2)_C ([ω_{X_2}]) (周期が同じ)．
(ii) (ψ_1)_R (X_1 のKaehler cone) = (ψ_2)_R (X_2 のKaehler cone)．
ならば，
(ψ_2)^{-1} o ψ_1 = f^*
すなわち，
ψ_1 = ψ_2 o f^*
となる複素解析的同型写像 f : X_2 → X_1
が存在する，
すなわち，marked K3曲面として，
(X_1, ψ_1), (X_2, ψ_2) がisomorphicであることになる！
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以前の記事 で述べたように，
K3曲面 X 上の複素解析的同型写像（自己同型） r : X → X があるとき，
r^* : H^2(X, Z) → H^2(X, Z) を考え，
Lの自己同型 φ o r^* oφ^{-1} により，(X, φ)のmarkingを替えると，
marked K3 surface (X, φ) は，別のmarked K3 surface (X, φo r^*) に変化する．
ところが，これらに対し，（従来の）「周期」を考えると，
φ([ω_X]) = φo r^*([ω_X]) （同じ）
となってしまうのでした．
そこで，marked K3 surfacesを区別するために，
上の定理11.1のeffective Hodge isometryの考えに基づいて改良された周期が，
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以下は，
Shimada氏によるK3曲面の研究 より（勝手に）引用させていただきます（Shimadaさんに感謝）
こちらの原稿によると，
定義：
標準束が自明となる，滑らか，完備な代数曲面は，その不正則数が０であるとき，Ｋ３曲面と呼ばれる．（これは，スキームで「代数曲面」であるものたちの中でK3曲面とは何か？という定義ですね）
Ｋ３曲面はアーベル多様体とはちがって，もはや代数群としての構造をもちません．それだけに複雑かつ微妙な幾何学的構造をもっています．
複素Ｋ３曲面
複素Ｋ３曲面の理論でもっとも重要なのは，次の （弱）トレリ型定理です．
定理
２つの複素Ｋ３曲面が与えられたとする．
両者の整数係数２次コホモロジー群のあいだに，
交叉形式を保ち（isometry），かつ周期を周期に移す同型が存在するならば，
２つの複素Ｋ３曲面は（複素解析的に）同型である．
したがって，周期が与えられればそこからもとのＫ３曲面の幾何学的構造を再構成することが原理的には可能です．近年の計算機の著しい発達により，この再構成が理論の上だけでなく実際に可能となってきました．
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2009年8月12日のShimadaさんの講演より
ADE特異点を持つ6次曲線で分岐するP^2の２重被覆の多くの例．
Picard群のランクが20であるようなK3曲面を，（非特異K3曲面であっても） singular K3曲面という．
ある種のK3曲面の特徴づけが，数論でも使える用語で述べられた場合，
その性質をもって，その種のK3曲面の「数論的バージョン」の定義する．
証明の道具・・・・「class field theory」など（？）
任意の有限アーベル群を与えて，それを被覆変換群とするP^2のエタール被覆．
（2009/8/15 追加）