基本文献：
V.V. Nikulin,
Integral symmetric bilinear forms and some of their applications,
Izv. Akad. Nauk SSSR Ser Mat. 43-1 (1979), 111--177.
English transl., Math. USSR Izv. 14-1 (1980), 103--167.
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Xが代数的K3曲面，
l (∈Pic(X) ⊂ H^2(X, Z)) が very ample (それにより複素射影空間に埋め込める)のとき，
組 (X, l）
を，偏極K3曲面 (polarized K3 surface) と（この論文では）呼ぶ．
さて，
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実数体上定義された(代数的) K3曲面 X_0 (⊂ P^N ) に対し，
h をそのhyperplane section のdivisor class (∈Pic(X_0) ⊂ H^2(X_0, Z) ) とすると，
h は (very ampleであるが) H^2(X_0, Z)の中でprimitiveとは限らない．そこで，
自然数 k を，h/k がH^2(X_0, Z)の中でprimitive であるように取り，
n = (h/k)^2
とおく．
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n は，偏極K3曲面 (X_0, h) の次数と呼ばれる．
K3曲面の性質から，n は偶数である．
また，h がvery ampleであることから，n >0 である．
h が既約曲線で代表されることと，Riemann-Rochの定理より，
N = dim |h| = (1/2)nk^2 + 1 である．
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さて，the Hilbert scheme of P^N において，
「非特異K3曲面の全体」は，Zariski open subset である．
そのthe Zariski connected component で，K3曲面 X_0 を含むものを，
Н_0
とおく．すると，次の事実がある：
●この Н_0 は，「偏極K3曲面 (X, l） で，組 (H^2(X, Z), l) が組 (H^2(X_0, Z), h) に同型(isometric)なものの全体」である．（このことは，marked polarized K3 surfacesに対するglobal Torelli therem による）
●ところが，H^2(X, Z)の同型類が1つ(=the K3 lattice)であることから，
組 (H^2(X, Z), l)の同型類は，次数 n と自然数 k により決まる．（ここで，n と k は，(X_0, h) に対して上述のように決めたのと同様に，各偏極K3曲面(X, l) に対して決まる）
そこで，以後，
Н_{n,k} ：= Н_0
とおく．
さて， Н_{n,k}は，複素多様体(smooth)であることが知られているので，
Zariski connectedであることから，通常位相でも連結である．
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以上のstatementの中の用語の定義や結果については，
以下の参考文献を参照：
[26]I.R. Shafarevich,
"Basic Algebraic Geometry". (Hilbert schemesについて)
[22]I.I. Piateckii-Shapiro and I.R. Shafarevich,
A Torelli theorem for algebraic surfaces of type K3,
Math. USSR Izvestija, 5-3 (1971) 547--588.
[23]I.I. Piateckii-Shapiro and I.R. Shafarevich,
The arithmetic of K3 surfaces, (1973)
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（ここまでは，複素数体上のお話）
さて，P^N上の複素共役は，Н_{{n,k}にも作用する．
この作用に関する不動点であるような偏極K3曲面(X,l)は，
Xが実係数多項式で定義され，linear system |l|によるP^Nへの埋め込みは複素共役と可換になっている．
このような偏極K3曲面（偏極実K3曲面）の全体を，
Н_{n,k}(R)
とおく．
Н_{n,k}(C)が連結であったのに対し，
Н_{n,k}(R) は，一般に，非連結である．
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さて，PGL(N+1, R)は，Н_{n,k}(R)に作用する．そこで，
Μ_{n,k}(R) = Н_{n,k}(R) / PGL(N+1, R)
とおく．
定義：
２つの偏極実K3曲面がΜ_{n,k}(R)の同じ連結成分に属するとき，これらは，coarsely projectively equivalent （粗射影的同値）であるという．
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重要な注意：
coarsely projectively equivalentな偏極実K3曲面は，適当なPGL(N+1, R)の作用を施すことにより，
P^Nにおいて，(differentiablyに) 複素共役に関しequivariant isotopicである．
ここで，そのisotopyの途中はすべてН_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面となっている．したがって，この意味で rigid isotopicである．
その理由は以下の通り：
coarsely projectively equivalentな偏極実K3曲面は，必要であれば適当なPGL(N+1, R)の元の作用を施すことにより，Н_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する．
ヒルベルトスキームの普遍性を使えば，Н_{n,k}(R)をbase spaceとする Н_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面たちの族が存在し，それは，P^Nへの埋め込みと複素共役の作用をこめて，differentiable fiber bundle （各fiberはН_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面）となっていることがわかるので，Н_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する偏極実K3曲面は，P^N において，(differentiablyに) P^Nの複素共役に関してequivariant isotopicであり，しかも，isotopyの途中はすべて，Н_{n,k}(R)に属する偏極実K3曲面である．
従って，coarsely projectively equivalentな偏極実K3曲面の「実部」は，適当にPGL(N+1, R)の作用を施すことにより，P^N(R)において(differentiablyに) rigid isotopicである．
Н_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する偏極実K3曲面(X, l）に対しては，により，その"associated polarized integral involution" (Example 3.1.2参照)
(H^2(X, Z), conj^*, l)
の同型類(isometry class)が一意的に定まる．
なぜならば，Н_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する２つの偏極実K3曲面(X_0, l_0), (X_1.l_1)に対し，X_0とX_2は，により，P^Nの中でequivariant isotopic であることから，複素共役と可換なP^N上のdiffeomorphismにより，X_0はX_1に写されるが，
このdiffeoは恒等写像を変形したものなので，X_0上に制限すると，X_0からX_1へのorientation preserving diffeoである．従って，H^2(X_1, Z)からH^2(X_0, Z)へのisometryを誘導する．これがconj^*と可換なことはよい．しかも，l_1をl_0に写す．
さらに，PGL(N+1, R)の元のP^Nへの作用は可逆線形変換なのでbiregularであるから，orientation preserving であり，明らかにconjと可換である．また，P^Nのhyperplaneを可逆線形変換で写してもhyperplaneである．
従って，
M_{n,k}(R)の同じ連結成分に属する偏極実K3曲面(X, l）に対し，
その"associated polarized integral involution"
(H^2(X, Z), conj^*, l)
の同型類(isometry class)が一意的に定まることがわかる
coarsely projectively equivalentな偏極実K3曲面は，により，
「PGL(N+1, R)の作用を除いてP^N において differentiablyに，equivariant isotopic」 なので，
「複素共役の作用と可換なdiffeoによりdiffeomorphic」であることになる．
したがって，分岐曲線のdividingnessやcomplex orientationは，
coarsely projectively equivalence不変な性質である．
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上のNikulinの定式化におけるHilbert schemeの重要性は，その上にそのHilbert schemeの元である閉部分スキームをfiberとするfamilyが構成できるところにあるといえる．
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（以上 5/24/2009）
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さて，
ここで，l はprimitiveとは限らないが，kで割った l/k はprimitiveである．
そこで，
polarized integral involution
(H^2(X, Z), conj^*, l/k)
をassociateさせることにより，次の重要な定理を得る：
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定理3.10.1
Μ_{n,k}(R)の連結成分は，
"polarized integral involution (偏極対合付き格子)" (L,φ, h)
(ここで，φは，lattice L上のformを保つhomomorphismであるようなinvolution，
h ∈L) で，L が even unimodular lattice of signature (3,19) (つまり，K3格子)，
φ(h)=-h, h はLの中でprimitive， t_(+) = 1， h^2 =n であるものの同型類
と bijectiveに対応する．
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ここで，φのfixed part E_+ 上のsignatureを (t_(+), t_(-)) とする．
注意：
●nを固定したとき，
任意のkに対して，M_{n,k}(R)の連結成分は互いにbijectiveに対応することがわかる．
●実K3曲面(X, conj)に対し，H^{2,0}(X)は複素1次元であり，
Hodge structureへのanti-holomorphic involutionの作用を考える
（[54]Kharlamov, A generalized Petrovskii inequality. I, II, Funct. Anal. Appl. 8 (1974), 9 (1975) 参照）
ことにより，
t_(+) = dimH^{2,0}(X) = 1
がわかる．
●定理3.4.3により，polarized integral involutions (L, φ, h) で(RSK3)
と h^2 =n を満たすものに対して，不変量
(t_(-), a, δ_h, δ_φ, δ_{φh})
の取り得る値がすべてわかる．
すなわち，すべてのgenera (同型類より少し広い同値類) を数え上げることができる．
そして，少しの例外を除いて，多くのgenus は，同型類と一致している．