どんな手法も（偏微分の定義に反する）90度地点の物理量合成計算必須で注意 (メッシュ依存の元)

コツコツモデリングそして、計算してみたら、「大丈夫だった」　「駄目だった」　　

なんて評価術として超致命的ですが…

⇒　形が複雑だったり、アセンブリ構造だったりで、モデルリング難度高だと起こりがち

FEMも差分法も他も、（距離による）物理量合成を伴う（わざるを得ない）のが理由。直交格子なら

合成不要。https://ameblo.jp/jishii/entry-12077718817.html　直交では、物体面モデル化が難

物体面⇒全域に影響。　特に構造解析が難。　Xで偏微分を行う時、Y座標値は一定（変化してはいけない）　

その条件満たさぬデ-タ群で偏微分行う場合、

（偏微分に必須な）直角の地点の物理量が必須＆合成せねばならない　=　偏微分の宿命

90度の箇所の物量合成が混入した計算=純に支配式解く計算でない。　しかし、合成なしで偏微分は解けず

磁場は、静磁場は、粗悪メッシュで大体OK＆メッシュ依存性小＆補正の影響小

構造解析・流体解析は、分布鋭敏でメッシュ依存性大。特に流体の乱流は、

カオス・カオスでない　その中間的状態を解かねばならず、最難関か？　層流や低Re数はOK。　

昨今は、AI等のIT革新が話題。しかし、テンソル解く力学分野は、ブ-ム蚊帳の外な感。

革新は、CG分野まで到来済。グラデーション画は、物体面法線ベクトル(Gradient一階偏微分）で影を強弱

幾何の二階偏微分テンソルを解く力学分野が問題　メッシュ依存なき、安定手法確立なら革命思いますが。

補正的勾配合成必須=偏微分の宿命（直交格子でない場合）　FEMの場合、何が補正かいうと、（直交格子除き）XやYで直接偏微分不可

（X,Y)⇔(ξ,η)変則写像で変換ヤコビアンで補正的に計算。（直角でないが直角とみなす変則写像必須）図では、

https://ameblo.jp/jishii/entry-12230425993.html　　XYの偏微分を、ξηの偏微分から計算。　そこに

直角でないが直角とみなすトリック有り　（実は、XYでの純な直交座標での偏微分にならず）（合成度がメッシュ歪で変動）

直角=（合成値でない）元の値を使う計算に近い。　鋭角鈍角=合成度合いが強い値を使う計算。　

ξ-η↔XY（直交系への）偏微分の変換式は↓　ξ-η 変則な斜交系として自在な形に対応　一番マシな手法とは思いますが

（X,Y）⇒直交（ξ,η）の偏微分に転換。○に見えるがトリック　　完全・厳密な（XY）の偏微分にならず

直角に存在せぬ値から、直角位置の値を合成し、合成値を使い偏微分。  そうなってしまう＆それしか策なし

1) 「誤差なく写像補正計算を行う（直交メッシュなら誤差なし）」 「誤差なく偏微分を行う 」　両者一致せず

2）直角に近いメッシュで、補正が少なく済むモデルが有利。逆は逆

3）補正が少なく済むモデルの構築術と、変分原理などの理論は全く無関係

4）偏微分は（面積体積のような総和計算でなく）（90度直角向）勾配。計算にはメッシュ個々の品質が重要

5) 数学的に不完全なため、離散化計算独特の偏微分解法は、数学書に記載なし＆学校で教えられず

上記の５）も注意。不完全故数学書未記載な訳で、注意です　「完全＆完璧」思ってしまう罠に注意

また、ソルバ-開発者が用いるモデルは、粗悪モデルが多く、そこも注意。　良いモデルは解けて当然。

ソルバーのタフさ示すため、敢えて、怪しいモデルで大丈夫か試すルール、チュートリアル事例で、そのまま利用され注意

90°直角地点の物理量（勾配）合成でしか解けず=離散計算の偏微分の痛い弱点　それを、早期に知る必要あり思います

図示と共に示した）具体的な偏微分計算法はこちら↓（三角全域同一勾配な点を利用して計算）

FEM-四辺形１次要素の場合、節点間ｰ物理量分布が均等増分な前提で（四角形でも）三角形単位で勾配計算　⇒　偏微分とする

ξ-η↔X-Y　正規化とも呼びますが、数学上完全な写像変換となるのは、ξ-η直交のみで注意　

偏微分は、独立変数でのみ可（変数の独立性と呼ばれる）

離散計算は、偏微分対象外の変数データ使い、直交勾配たる偏微分を計算する（数学であり数学でない風な）変則で注意

ゲームのCGポリゴンは3角⇒4角主流で絵が綺麗になる一方、技術計算は3角主流で低評価化。

ゲームのCGポリゴン、離散科学技術計算　双方が要素分割を行います

前者は、表面のみサーフェス分割（中は空洞）。後者は、内部までソリッド分割。違いあり。

薄板の解析は、後者でもサーフェス分割ですが。　　世界的に、2000年の前半付近まで

科学技術計算は、QUAD・HEXの要素分割（適合格子）が盛んでした。今はTetraやTriangleに。

反対に、ゲ-ムやデザイン等のCGポリゴンは、最近10年位で、QUAD分割主流に。　

シェ-ディングは要素の(面外方向)法線と、光源との角度で明るさ加減(一階偏微分)四角が綺麗。

三角は、面の傾斜が変動⇒法線乱れ画質低下。CAEも同じです（二階偏微分必須で更にシビア）

昔は、非力な計算資源有効利用で、流体も構造も、(BFC)適合格子が普通。高評価だった記憶。

計算機性能UPの恩恵で盛上がる筈の昨今、技術計算の評価はどうか？。性能UPで、大規模化

モデリング技術向上は大してなされず、表面に凹凸がある雑なモデル増加（技術低下？）。

昔の方が合っていた？評価落とし、低迷なままな私の雑感。（じゃなく高評価？）　技術計算は、

直交の差の差のテンソル計算必須。その時、分母は、要素長Δx二乗が効き、超微妙＆シビア。

式どう見ても、三角は、直角近傍に点群がなく、(偏微分)計算(関数の合成)が超苦しくしか見えず。

故に昔は四角主流だった筈。四角は分布縞が綺麗。昔の主流、四角分割が○思います。

専門家は、「V＆Vすれば大丈夫」そんな感。世界的にも三角主流。結果、評価低迷と感じます。

高評価には、高精度なテンソル計算必須。現況では計算機能力が有効活用されない懸念。私は不満ですが。

時々調べていますが、「アレッ？（ハイエンド系なのに）三角に一本化？」　そんな製品もあり。

暫くすると四角に戻っている？。論文は、最近は円弧分割等は、四角分割増加な気配。

（三角では表面に凹凸発生。その対策？）他社品や動向調査は、ハードもソフトも、以前と

設計・方針が変更。暫く後また変更。経験上、そんなブレが見られる時、当事者が判ってなく

迷走が多い思います。直交の差の差が解けるモデルが精度良い計算に必須＆出来てない感。

世のモデラーは三角路線と、QUAD-HEX（強化)路線、混在。私は、専らQUAD-HEX。　専門家は、

昔はBFC(適合格子)だった著名有力者が、今はTetraだったり、概して専門家は、一貫せず、

(BEST志向の私の真逆か)　節操なく理念なく時流追う傾向。（正直私はあまり好きでない）

節操＆理念なく時流追う専門家の悪影響か、コンピュ-タ発展の割に、ソフトは発展せず低迷 思う私

CGデザイン分野は文系優勢。解析は理系。　モデル化は、四角が簡単＆（三角での）諸問題解決

そんな事も多い。文系がそれに気付き易く、理系は（理論に気をとられ）気付きにくい？

少し複雑だとモデルがボロボロ…　それは理系の定番？　昨今、文系出身の解析技術者増加。

そんな話も聞きます。アニメCGデザイン等、立体扱う分野は文系優勢。　人によるのでしょうが

（上手にモデル化できて）意外に、（理論に囚われない）文系が数値解析向かも。理論・理屈・常識

定石等は間違いも多く、間違い見破る眼力が欲しい。ない場合（絵が綺麗等の）直感が正しいか？

教科書は、短所・留意点の記載が甚だ不十分。盲目的に信用したり、都合良く解釈したり

それでは失敗の可能性あり思います。

粗いメッシュ分割だと、シュワルツの提灯的なものが多い気配

年明けまして、益々幾何の偏微分に拘る。　そんな私ですが…。

三角を並べる場合、要素長さの半分だけずらし並べると綺麗で、

三角で曲面分割すると、シュワルツの提灯的な、蛇腹的な傾向になり易い？

２次要素で、程度はマシになりますが、理想としては、下記で解決なのか？

・なるべく、周方向と、それに直交する長手向きでメッシュを切る

・並べる場合、要素長の半分だけずらして並べない。（下例の直角三角形なら可）

・周方向に、細かく分割する

・均等＆均質にメッシュを切る

金属製の曲り管の場合、鋳造品除き、冷間曲げは加工難。　現物も適当だったり　(図面と違い)

曲加工品は、現物が蛇腹状態かも。　故に曲り管＝いい加減なモデルでOKかも知れません。

一方、回転軸などの丸棒シャフト表面は、摺動面で仕上記号▽▽▽で超精密が普通。

接触で解く場合、隙間変動は×で、モデルも精密性必須な筈。

問題は、FEM等の離散計算で、メッシュ依存性が何故起こるのか？　　シュワルツ提灯も注意。

(凹凸でない)解析モデル表面が凸凹では、(メッシュ以前に)現物と違う形をモデル化している訳で

解も現実的でなく（現実と乖離も有り得る）、また、メッシュ次第でブレても仕方なし。

そんな事になると思います。