テンソルは、直交の差の差で計6成分。超シビアで、完全直交でないと厳密に解けずか？
直交無視で幾何偏微分が、厳密に解ける理論・理屈は、教科書見ても、見当たらない思うのですが･･･
恐らくですが、偏微分（∂ｘや∂ｙ）は、完全直交でないと、誤差なく厳密に解けない可能性大思います。
歪んだ、直交性ない格子・メッシュでどうかいうと、CG分野は、（一階偏微分）法線向きで、
影を強弱加減してシェ-ディング・レイレ-シングを実施しますが、三角メッシュでは表面に、
シュワルツ提灯 的な凹凸が発生し易い。法線（一階偏微分すら）向きが乱れ画質悪化か？
凹凸が発生したモデルを工学計算に用いると、致命的な筈。 実際は…
教科書やSNSや講習資料等、表面に凹凸ありの粗悪モデル氾濫。
困った事態が現実。 三角メッシュ凹凸はぶれやすく、CGなら表面仕上りが粗悪化
四角の方が凹凸は発生しずらく、なので…
CG分野は、画質向上で、昨今は、四角メッシュが主流化。
工学の場合、必要計算はテンソル。 法線で影付けを行うCGより難。
２次元の場合 ２成分の2つの組合せ 2×2=4成分 XY=YX 1個キャンセル
3次元 の場合 ３成分の2つの組合せ 3×3=9成分 XY=YX XZ=ZX YZ=ZY 3個キャンセル
実解析モデルは、直交性なし。偏微分計算は、直交との差を補うべく、変則的写像変換必須。
直交なきデータ元に直交（偏微分）計算せねばならない。工学におけるパラドクス的難題に対し
多く理論派は、その壁を突破できずと思います。（平易な問題限定） （大人になるとタダの人になる一因）
https://ameblo.jp/jishii/entry-12230425993.html
静磁場等、分布緩慢な緩い問題は十分OK。 伝熱等のテンソル解かない問題もOK。流体は
層流は低Re数はギリギリセーフ。それ以外の、流体（乱流）や構造計算は、なかなか難。
離散計算の評価が向上しない、一番の原因は、解が直交性（メッシュ品質）に左右される点と思います。 現実は、
低迷原因＝PR不足・教育不足 そんな意見が多く、『啓蒙教育頑張りましょう』 そんな路線。それで大丈夫か？
どんな手法も（偏微分の定義に反する）90度地点の物理量合成計算必須で注意 (メッシュ依存の元)
コツコツモデリングそして、計算してみたら、「大丈夫だった」 「駄目だった」
なんて評価術として超致命的ですが…
⇒ 形が複雑だったり、アセンブリ構造だったりで、モデルリング難度高だと起こりがち
FEMも差分法も他も、（距離による）物理量合成を伴う（わざるを得ない）のが理由。直交格子なら
合成不要。https://ameblo.jp/jishii/entry-12077718817.html 直交では、物体面モデル化が難
物体面⇒全域に影響。 特に構造解析が難。 Xで偏微分を行う時、Y座標値は一定（変化してはいけない）
その条件満たさぬデ-タ群で偏微分行う場合、
（偏微分に必須な）直角の地点の物理量が必須＆合成せねばならない = 偏微分の宿命
90度の箇所の物量合成が混入した計算=純に支配式解く計算でない。 しかし、合成なしで偏微分は解けず
磁場は、静磁場は、粗悪メッシュで大体OK＆メッシュ依存性小＆補正の影響小
構造解析・流体解析は、分布鋭敏でメッシュ依存性大。特に流体の乱流は、
カオス・カオスでない その中間的状態を解かねばならず、最難関か？ 層流や低Re数はOK。
昨今は、AI等のIT革新が話題。しかし、テンソル解く力学分野は、ブ-ム蚊帳の外な感。
革新は、CG分野まで到来済。グラデーション画は、物体面法線ベクトル(Gradient一階偏微分）で影を強弱
幾何の二階偏微分テンソルを解く力学分野が問題 メッシュ依存なき、安定手法確立なら革命思いますが。
補正的勾配合成必須=偏微分の宿命（直交格子でない場合） FEMの場合、何が補正かいうと、（直交格子除き）XやYで直接偏微分不可
（X,Y)⇔(ξ,η)変則写像で変換ヤコビアンで補正的に計算。（直角でないが直角とみなす変則写像必須）図では、
https://ameblo.jp/jishii/entry-12230425993.html XYの偏微分を、ξηの偏微分から計算。 そこに
直角でないが直角とみなすトリック有り （実は、XYでの純な直交座標での偏微分にならず）（合成度がメッシュ歪で変動）
直角=（合成値でない）元の値を使う計算に近い。 鋭角鈍角=合成度合いが強い値を使う計算。
ξ-η↔XY（直交系への）偏微分の変換式は↓ ξ-η 変則な斜交系として自在な形に対応 一番マシな手法とは思いますが
（X,Y）⇒直交（ξ,η）の偏微分に転換。○に見えるがトリック 完全・厳密な（XY）の偏微分にならず
直角に存在せぬ値から、直角位置の値を合成し、合成値を使い偏微分。 そうなってしまう＆それしか策なし
1) 「誤差なく写像補正計算を行う（直交メッシュなら誤差なし）」 「誤差なく偏微分を行う 」 両者一致せず
2）直角に近いメッシュで、補正が少なく済むモデルが有利。逆は逆
3）補正が少なく済むモデルの構築術と、変分原理などの理論は全く無関係
4）偏微分は（面積体積のような総和計算でなく）（90度直角向）勾配。計算にはメッシュ個々の品質が重要
5) 数学的に不完全なため、離散化計算独特の偏微分解法は、数学書に記載なし＆学校で教えられず
上記の５）も注意。不完全故数学書未記載な訳で、注意です 「完全＆完璧」思ってしまう罠に注意
また、ソルバ-開発者が用いるモデルは、粗悪モデルが多く、そこも注意。 良いモデルは解けて当然。
ソルバーのタフさ示すため、敢えて、怪しいモデルで大丈夫か試すルール、チュートリアル事例で、そのまま利用され注意
90°直角地点の物理量（勾配）合成でしか解けず=離散計算の偏微分の痛い弱点 それを、早期に知る必要あり思います
図示と共に示した）具体的な偏微分計算法はこちら↓（三角全域同一勾配な点を利用して計算）
FEM-四辺形１次要素の場合、節点間ｰ物理量分布が均等増分な前提で（四角形でも）三角形単位で勾配計算 ⇒ 偏微分とする
ξ-η↔X-Y 正規化とも呼びますが、数学上完全な写像変換となるのは、ξ-η直交のみで注意
偏微分は、独立変数でのみ可（変数の独立性と呼ばれる）
離散計算は、偏微分対象外の変数データ使い、直交勾配たる偏微分を計算する（数学であり数学でない風な）変則で注意
ゲームのCGポリゴンは3角⇒4角主流で絵が綺麗になる一方、技術計算は3角主流で低評価化。
ゲームのCGポリゴン、離散科学技術計算 双方が要素分割を行います
前者は、表面のみサーフェス分割（中は空洞）。後者は、内部までソリッド分割。違いあり。
薄板の解析は、後者でもサーフェス分割ですが。 世界的に、2000年の前半付近まで
科学技術計算は、QUAD・HEXの要素分割（適合格子）が盛んでした。今はTetraやTriangleに。
反対に、ゲ-ムやデザイン等のCGポリゴンは、最近10年位で、QUAD分割主流に。
シェ-ディングは要素の(面外方向)法線と、光源との角度で明るさ加減(一階偏微分)四角が綺麗。
三角は、面の傾斜が変動⇒法線乱れ画質低下。CAEも同じです（二階偏微分必須で更にシビア）
昔は、非力な計算資源有効利用で、流体も構造も、(BFC)適合格子が普通。高評価だった記憶。
計算機性能UPの恩恵で盛上がる筈の昨今、技術計算の評価はどうか？。性能UPで、大規模化
モデリング技術向上は大してなされず、表面に凹凸がある雑なモデル増加（技術低下？）。
昔の方が合っていた？評価落とし、低迷なままな私の雑感。（じゃなく高評価？） 技術計算は、
直交の差の差のテンソル計算必須。その時、分母は、要素長Δx二乗が効き、超微妙＆シビア。
式どう見ても、三角は、直角近傍に点群がなく、(偏微分)計算(関数の合成)が超苦しくしか見えず。
故に昔は四角主流だった筈。四角は分布縞が綺麗。昔の主流、四角分割が○思います。
専門家は、「V＆Vすれば大丈夫」そんな感。世界的にも三角主流。結果、評価低迷と感じます。
高評価には、高精度なテンソル計算必須。現況では計算機能力が有効活用されない懸念。私は不満ですが。
時々調べていますが、「アレッ？（ハイエンド系なのに）三角に一本化？」 そんな製品もあり。
暫くすると四角に戻っている？。論文は、最近は円弧分割等は、四角分割増加な気配。
（三角では表面に凹凸発生。その対策？）他社品や動向調査は、ハードもソフトも、以前と
設計・方針が変更。暫く後また変更。経験上、そんなブレが見られる時、当事者が判ってなく
迷走が多い思います。直交の差の差が解けるモデルが精度良い計算に必須＆出来てない感。
世のモデラーは三角路線と、QUAD-HEX（強化)路線、混在。私は、専らQUAD-HEX。 専門家は、
昔はBFC(適合格子)だった著名有力者が、今はTetraだったり、概して専門家は、一貫せず、
(BEST志向の私の真逆か) 節操なく理念なく時流追う傾向。（正直私はあまり好きでない）
節操＆理念なく時流追う専門家の悪影響か、コンピュ-タ発展の割に、ソフトは発展せず低迷 思う私
CGデザイン分野は文系優勢。解析は理系。 モデル化は、四角が簡単＆（三角での）諸問題解決
そんな事も多い。文系がそれに気付き易く、理系は（理論に気をとられ）気付きにくい？
少し複雑だとモデルがボロボロ… それは理系の定番？ 昨今、文系出身の解析技術者増加。
そんな話も聞きます。アニメCGデザイン等、立体扱う分野は文系優勢。 人によるのでしょうが
（上手にモデル化できて）意外に、（理論に囚われない）文系が数値解析向かも。理論・理屈・常識
定石等は間違いも多く、間違い見破る眼力が欲しい。ない場合（絵が綺麗等の）直感が正しいか？
教科書は、短所・留意点の記載が甚だ不十分。盲目的に信用したり、都合良く解釈したり
それでは失敗の可能性あり思います。