平行四辺形の場合、水平となす角をΘとし、cos（Θ）だけX成分（∂X）混ぜないと、∂Y求まらず
2変数（X,Y） 分布物理量F(X,Y) の場合、Yでの偏微分 ∂F/∂Y 求めるに、 『cos（Θ）だけ∂F/∂X混ぜねばならない』間違いなさそう。その確認を…
偏微分-変数独立性は、説明としては簡単だが、誰も知らぬ概念。知らないと、「別に問題なし」思う筈。 又、「それ一体何ですか？」 聞かれそうですが、
「X-Yにて、関係式 拘束条件あると×」 AIの解説は、分り良く優秀。変数独立でない場合、偏微分対象外の変数定数化が実現せず、偏微分計算不可。
ⅰ-下例で、①④の勾配は、（X成分,Y成分）で構成されるベクトル。X成分ゼロになるよう（足算でなく）引算して、∂F/∂Y計算（X成分ゼロ化）（ベクトル→スカラ-化）Yでの偏微分に…
ⅱ-三角域の勾配が、Y向の偏微分になること。 一次精度で、2点でなく3点で、∂F/∂Yを計算 （辺（線）でなく、面で勾配計算）
ⅲ-元来、直線2点結ぶ数式により、辺にてXY連動。F(X,Y)=F(X,aX+b)=F(X) 1変数函数化。変数のうち１変数だけ変化が実現せず（aX+b のa,bは、下図三角図 A,Bと異なる）
ⅰ-ⅱ-ⅲ で、（念入に）離散計算の嫌らしさ、偏微分の限界、数学の限界が判る筈。基本-基礎逸脱が実用には必須。
ⅰ X-Y合算は、偏微分計算では、やってはいけない。それを、知る人は僅か。殆どいない筈。偏微分自体、変数固定させ微分。程度しか学ばずで。
角度90度なら、cosΘ=ゼロ。∂F/∂Yは、Y単独で計算可。問題なし。
60度だと、cosΘ=0.5 ∂F/∂Yは、∂F/∂Xを、半分含む。そんな用語はないですが、変数独立度0.5 50%みたいな…
（座標での偏微分=大学数学で最重要思いますが、何故か）教科書未記載。 なので、学術で広く普及済-離散計算。それは、「正しい計算」 その認識が大半か？
FEMアイソパラメトリック要素-理論解説だと、(X,Y)⇔(ξ,η）ヤコビアンによる写像変換で処理。数学上（バッチリ）、正しく見えてしまう気がします。
変位u(x,y)=ax+by+cxy+d とすると、アイソパラメトリック要素の形状函数と同じいう
前回ブログｰコメント欄に記載内容そのままですが、正四角形で4頂点が、±1にある場合 変位u(x,y)=ax+by+cxy+d 、とすると、
それは、アイソパラメトリック要素の変位式（座標±１正四角領域内）と同じになる模様。
座標（x,y）
変位（u,v） 
点1(x,y)=(-1,-1)の変位 u1=-a-b+c+d
点2(x,y)=(+1,-1)の変位 u2=+a-b-c+d
点3(x,y)=(+1,+1)の変位 u3=+a+b+c+d
点4(x,y)=(-1,+1)の変位 u4=-a+b-c+d 次式で、簡単に、a,b,c,d が求まります。【超絶な天才技みたいな…】
d=(+u1+u2+u3+u4)/4
a=(-u1+u2+u3-u4)/4
b=(-u1-u2+u3+u4)/4
c=(+u1-u2+u3-u4)/4 （±１の領域内）正四角形内の変位（X成分）は、以下の（x,y）の函数となる
u(x,y)=ax+by+cxy+d=u1(1-x)(1-y)+u2(1+x)(1-y)+u3(1+x)(1+y)+u4(1-x)(1+y)
変位Y成分 vも同一処理でOK。各点の変位(u1～u4)元にする変位-分布函数になり、アイソパラメトリック要素形状函数（ξ-η）に一致
アイソパラメトリック要素は、(x,y)でなく 要素系(ξ,η)で表現。正四角以外の形も適応化にするため、(x,y)直交系に写像変換。仮に、
要素が平行四辺形だと、（下図）①➃ ②③は、直交系の世界では、Y座標のみでなくX座標も変化⇒多変数の一変数だけ変化が実現せず （斜交系なら一変数だけ変化が実現＆偏微分可）
直交の世界に変換要 ⇒ 怪しい写像＆怪しい数学に。上図は、水平向は◎。Y向偏微分は、①近傍：①②④ ➃近傍：①③➃ 三角域の変位勾配が∂u/∂y （2点でなく1次精度で3点で偏微分）
近い点が優先され、①近傍は、対角③未使用 ④近傍は、対角②未使用（影響ゼロ）。①近傍は、①② ①➃の3点による2個の勾配の合成
数式上、ヤコビアンによる写像変換で、綺麗に処理。数式こそ素晴らしい ⇒ 罠 かも ξ-η は、上右図でなく（更に上図）直交系風に描画され、大丈夫思いがち。理工全域での最大問題。
斜交⇔直交 「正しく転換可」思う人が多い。（出来る風な数学が盛ん）偏微分までは出来ず 出来る思う勘違い注意 X-Y 組合せ禁止 （減）加算合成禁止 偏微分変数独立性注意
2方向以上の勾配組わせ、Y向勾配たる∂y計算可だが（三角面で勾配計算イメージ）、その場合、∂yは、∂x含む計算になる⇒変数独立性喪失。（直交格子以外はそれを実施）
三角は、全域で一つの物理量勾配となる⇒（四角と違い）全域同一勾配故、直交箇所に点なしで直交勾配計算可。三角の変な特性利用して計算。2方向以上の勾配組わせで、変な事に…
偏微分まで考えるならば、u=ax+by+cxy+d も、アイソパラメトリック要素の形状函数同様、対座標軸、4辺平行必須な模様。例で、①（0,0） ①②がX軸に平行でない場合
y=0 での偏微分 ∂u/∂x たる a が、定義通り求まるか問題。2点の 変位差/距離 でなく（上図）①②③3点で計算された三角域の X向勾配が、y=0 での ∂u/∂x a いう事に…
厄介な偏微分。上手に処理しているのは、構造解析だと（曲げねじり）多彩な変化に対応。薄い要素もOK。アイソパラメトリック要素思います。直交格子以外は、数学上不完全。
論文では、FEM等、特に連続体系は、数学上完全扱いだったり、完全-完璧に見えてしまう罠がある思います。実用への対応不完全性は問題。
計算学-誤差理論は、（ク-ラン数）過大積分幅による誤差 収束条件満たさぬ計算が招く誤差 座標の偏微分要因（三角一次要素-粗悪メッシュでの誤差）等想定できてない
粗悪メッシュ要因は、誤差理論-離散化誤差でない筈。（シュワルツ提灯は三角の勾配としては数学上◎だが筒（円筒）勾配にならず） 理論の想定外が多い。
（どう考えても）誤差の種類が少な過ぎるような計算学の誤差理論。 また、数学の分野は、座標による直交縛り逃れた（妙な）数学が盛ん。
教科書に従うと（特に力学分野では）逆に間違う （力学分野では使えず＆機能せず＆実用に到達せず）紛らわしい理論が多いと思います。
（直交性気にしない風な）妙な理論を扱う場合、注意点・警告記載すべきが、やってない。教科書改善すべきが放置？
数学の授業で学ぶ 偏微分計算法 変数固定して定数とみなし微分 ⇒ 函数を偏微分する点では正しい 『偏微分の定義である』と学ぶような…
（ダイヤモンドカット面のようになる）3Dグラデーション画 FEM（形状）函数 等 （函数の元は、メッシュ座標XY組合せ=偏微分の変数独立性に反する ヤコビアンでの変換は、ξ-η直交だと◎ですが…）
座標軸に平行でない辺にて、yはxの一次式。辺にて、2変数が１変数函数化 u(x,y) ⇒u(x,Ax+B)⇒ u(x) （１変数函数になるものを）変数固定＆定数とし微分 ⇒ 正しい偏微分でない
例えば、三角形は、2辺影響し合うので、三角域の物理量分布を函数化＆変数固定＆微分 ⇒ 偏微分としては×。面の物理量分布勾配になり、それも（形状）函数の偏微分ではあるが ⇒
⇒（座標軸に平行な）線（辺）で行うべき計算を、面で計算せざるを得ず ⇒ 物理量分布の正しい偏微分にならず。結局 変数固定して微分で偏微分 ⇒ 正しいと言えぬ微妙な感
変数固定して微分すれば偏微分 数式が合っていれば正しい。離散計算の場合、直交メッシュ以外では、正しい数式（形状函数）が組上がらず。
偏微分-変数独立性 理解者-重視者 増えて欲しいですが、何故か学校で教えられず、更に念押し説明
①学校で学ばない 偏微分=多変数（函数）の、1変数だけ変化させた微分 X Yでの偏微分は、数学最難関。そんな一番大事な事が、 教えられず-学べず-情報発信なし
②基本基礎が最難関-基礎足りえず 辺に沿い移動（変化） ⇒ 直交格子以外 X-Y 双方座標値変化 ⇒ 1変数だけ変化にならず偏微分× ⇒ テイラｰ展開元にした応用性喪失
③連続体-離散計算を（数学上）完全視しがち 偏微分不完全でも論文に記載されぬ事が多い（特別扱い？ 計算分野はそんなもの？）①に示すよう、理論の限界学ばず、完璧と考えがち
上記①②③、今のままだと（気にせずOKッ）騙してる風で… （X,Y）（XY,Z） 座標空間上の関数Fの2節点を接続すると、簡単な数式に従い、Xの変化に対し、YやZも（線に沿って）追従変化
⇒ 多変数関数 F(X,Y) F(X,Y,Z)は ⇒ F(X,AX+B) F(X,AX+B,CX+D) 1変数関数化 （Xの変化に対し、YやZが追従変化）
⇒ 多変数のうち、1変数だけ変化させる事が困難化 ⇒ 偏微分計算不可に陥る（A=0等除く）
⇒ 基礎たる偏微分が駄目だと、数学が、幾多の座標関わる領域（分野）で、応用性-実用性喪失
前々回ブログ-シュワルツ提灯-3Dグラデ-ション画は１階偏微分 磁場-温度-速度-圧力-応力歪場等 場の計算は、座標での2階偏微分必須 量子力学でも要。
座標での偏微分関わる問題は、重要-深刻だが…数学-物理-計算情報学-プログラミング等、どこかで学ぶべきが学ばず。
又、数学は、やたら難解＆数式に着目するよう誘導。座標関わる問題は、数式上◎でも注意。数式-座標 対応が重要な筈。
（私の場合）座標(X,Y,Z)を変数とする数学は、大学2年まで。3年で学んだのは、直角直交 重視せぬ変な数学。数学の、欠陥-弱点、隠すため体系組まれている？ そう考えると、辻褄合うようなヤバイ感…
微分-偏微分 共に微小変数変化に対する物理量勾配。離散計算において、直交格子だと、（実装されたテクニック未使用化）各手法（差分法もFEMも、偏微分は）微分定義通りの計算に…
一階偏微分を、差分法は、（偏微分対象点の前後の点で計算）2メッシュ（2*ΔX）、FEMは、（辺で計算）1メッシュ（ΔX）で計算。差はありますが、直交なら偏微分-微分-同一計算
直交せぬ場合、偏微分は、微分と非なる勾配合成計算。テクニックに頼っても、X-Y連動した（一変数）函数を偏微分では、定義通りの変数独立計算実現せず
（上図-右）数学的完全性求めるなら、偏微分の定義満たす場所に節点デ-タ要 ⇒ だと直交格子限定 形状再現が難 それが数学の痛い限界
「座標での偏微分」解けぬ概念元に理論構築。「工学の理論体系自体、欠陥抱えている」 基礎が基礎でしかなく、基本基礎逸脱が実用に必須。だと一体、何のための勉強なのか？
連続体近似の離散計算分野主流は、デローニ三角メッシュ。正しく計算している風で、
X-Y-Z連動させれば⇒節点存在せずで直交箇所の値が出る⇒それで偏微分計算 斜め向-水平向-勾配合算で偏微分 正三角で、変数独立度 COS(60°)=0.5 みたいな。実は正しい数学でない。
正三角で、角度60度斜交座標系で偏微分可。90度デカルト系に変換すると、X-Y組合せ要＆変数独立性喪失＆三角（域）の勾配が偏微分になってしまう（一次精度で2点でなく3点で勾配計算）
数式上は◎に見える。論文等での利用時、FEMのような連続体近似計算の場合、数学上不完全な近似とは記載されず（特別扱い？）正しい数学と認識しがち。
教科書は、図少なく数式氾濫。（図-幾何から目そらさせ？）数式に着目させ騙してる風にも見える 座標での偏微分に関しては「数式操作できればOK」でもなく注意。
座標での偏微分は、（一見簡単そうだが）一変数のみ変化させる条件が厳しく要注意。 （元から一変数で）微分は簡単。座標での偏微分は超難。
理工数学最大の問題-難関-罠-落し穴思いますが、『落し穴ありと教えられず』『重視されず』 偏微分は、（重要なのに）何故か情報も殆ど出てなく注意。
偏微分-変数独立性 次第に理解されつあるか？ じゃなく離散計算は、数学上完全視されか？ 座標での偏微分さえ解ければ、基礎⇒応用実用 （解けているよう見えて）
数学上完全なのは四角-直方まで。 自在形状では不完全。また、論文で離散計算利用時、偏微分-不完全性に対し、説明-注釈ない事が多く、数学上完全視されがち
『超賢い離散計算アプリ開発者が上手くやってる筈。なので大丈夫』 思うと×。ちゃんとやっていても、数学上の限界は超えられず注意。