『１変数でしか使えぬ基礎たりえぬ応用利かぬ理論が、大学数学の基本として君臨』アチャ～な実体に注意

多変数のテーラー展開は、偏微分が出て来て、元になる点群に直交性必須　それを、判り良く紹介したかったのですが、意外に、

テーラー展開が難しく、（その限界を示す）簡単明解な説明は、今後の課題に…

時間）積分、行列式等の数学は完全思いますが、FEM等の離散計算の数学は問題。元来、独立変数で実施すべき偏微分を、

（直交線上にない）独立せぬ変数データ元に計算する変則（変数独立性満たさぬ、怪しい偏微分計算伴い、数学書は未記載）

近似基礎テーラー展開は、高校数学レベルの簡単な一変数限定　正しい正統的数学では、直交格子までが限界に見えます

『１変数限定（テンソルは解けず）応用利かぬ理論が数学の基本として君臨』　多大な社会損失か、数学の限界で仕方なしか？

微分（dX等で記述される）は計算できるが、幾何の偏微分（∂X）は計算できず。それが数学の限界思います。

テイラ-展開を、２変数以上に拡張すると、偏微分（例えば∂X ∂Y）が出現してしまう。直交格子でのみ一変数dXやdYに同じとみなせる

偏微分＝直交直角向勾配(複数成分) を直交せぬ点群元に計算＝数学的に正しい計算策がない（点群に平行な方向、微分勾配計算までは可能）

点群向き方向、微分勾配計算までは計算可　（直角でない斜め向のテイラー展開のみ可。実際それを計算）実用十分いう事も多く、大変微妙ですが

直交メッシュ以外、偏微分の定義通りの計算不可で注意　（直交格子以外だと、偏微分Y成分を、X成分使って計算…　変数独立性に反する）

直交メッシュなら、（座標軸に沿うテイラー展開での微分で）偏微分を定義通り計算可。

テクニックに頼ると偏微分でなくなる（定義逸脱） そこが勉強の限界な感。打破できるか？ 打破すると偏微分でなくなるパラドクスがあるか？

テンソル計算（力学全域に影響及び致命的）　グラデーション計算行う３Dポリゴンデザイン分野　そこらは、幾何偏微分解く理論不完全で注意

後者3Ｄグラデーション画は ⇒ 粗悪モデルだと勾配または法線ベクトルが乱れ画質悪化 ⇒ メッシュ増加 又は調整 で解消

前者テンソルは、２階偏微分必須。３Dグラデーション計算よりもシビア＆神経質で注意。　テンソルは、工学全域に関わり重大

（直交物理量の差の差の計算）二階偏微分必須で超難「テンソルは、(完全には)解けません」程度は、教科書に記述して欲しい。でないと…　

テイラー展開は、有用性-応用性ｰ拡張性ｰ融通性高いが故、数学における基本として重視されている（筈）　そう勘違ってしまう。

離散化では、幾何偏微分を、直角向でない、点の並び方向から計算せざるを得ず、テイラー展開で（直交勾配たる）偏微分は解けず

その解釈が妥当な筈。（アイソパラメトリック要素では、点並び向にテイラー展開を使うが、直交勾配に変換する変則技も利用）

「直交勾配への変換技まで、数学的に正しい」　思っている人が多いかも…　直角向でない斜め方向からの（回転写像含まぬ）変則変換技ですが…

テイラー展開=１変数限定理論。敢えて、2変数以上なら、（軸に平行な勾配成分）例えば ∂X ∂Y 計算必須。点群が軸に平行＆直交分布でないと厳密計算困難

それが出来てない）怪しい手法ながら、離散計算アプリは普及＆実用済。実は、理論云々は、後回し。製品化＆マーケット支配が先 ？

理論完全化を待っていては、又は、数学上厳密な範囲内に終始していては、実用到達せず＆成果得られず＆出遅れ間に合わず？　具体的には…

ξ-η⇔X-Y 離散計算に必須。上式はテーラ展開応用ともいえるが、ξ-η直交直角が上記等式必須成立条件。だと直交メッシュ限定

ξ-η直交せぬ変則系で自在形状に適応させる手法が離散計算理論。実はξ-η直角以外は正確な等式成立でない＆正しい数学でない

テイラー展開超える、使える理論打立てねばならない。が出来てない。微分は解ける＆偏微分は解けず。だと工学では欠陥

基礎として欠陥なテイラー展開が君臨せざる得ず＆対処策見出せずズルズル…　そこが数学の（超痛い）致命的限界！？

『大変痛いッ！』　判り良く書籍に書いて欲しい感。限界ある理論を根幹に据えねばならぬ。それしか策なしか？　仕方なしか？

数学的に正しく偏微分できるのは、直交メッシュのみ 数学バッチリできても幾何の偏微分は解けず

毎度似たブログ内容。まぁ、更に判り良く、図を改良。洗練させれば、理解促進　（逆に、ゴチャゴチャ風＆判り難い？　毎回試行錯誤）

何を、理解願うのか？　数学で可能な範囲超えて、テクニックで誤魔化す風。離散計算独特の偏微分計算　それを理解願いたいのですが。　　

難解な専門書より、超理解できる事を狙ってますが。　偏微分の定義上、元のデータ節点群が駄目だと、その計算は、テクニックで補えぬ筈

本来は偏微分不可。無理に偏微分（節点間で物理量は均等増分など、前提条件と共に三角形単位で三角の勾配求めるイメージ）

（本来不要な、緩い拘束かかってる風）仮定前提条件必須で注意。仮定前提条件なし⇒直交箇所にデータなく解けず。直交格子のみ解ける。

コンピュータ計算故、大体解ければ〇。伝熱 静磁場 低Re数 等は粗悪メッシュで十分〇。数学的に完全なら、コツコツモデル化不要。

大規模真っ黒メッシュで皆解決になりCAE技術者不要化ですが、そうは行かぬ現実に注意。（メッシュレス計算も一部のみ）

直交メッシュ除き）何らか条件付けて、（直交せぬ箇所から）直交箇所（上図●や●）のデータを合成。そうしないと解けず。

それで求めたものは（上図：三角勾配）偏微分なのか？　頂点①が直角なら偏微分。直角でない場合は、偏微分にならぬ筈ですが、

計算分野では、偏微分とみなし、ヤコビアンの変換等式成立とする。本当は、角度①が直角でない場合、写像変換等式不成立な筈

節点間物理量均等増分前提で（直交せぬ箇所から）直角位置物理量求めて変換等式成立⇒偏微分といえるか怪しい

数学の限界超えた事をしないと、自在な形状領域にて偏微分できず。幾何の偏微分を扱う分野は、要注意思います。

数学的に正しく（余計的な仮定前提制約条件なしで）偏微分できるのは、節点並びが直交してる場合のみ思います。

頂点①が直角でなく、ξ-η直交せぬ場合、局所⇔全体系 変換式成立せず。（離散計算分野は、それは記載せぬルールで注意）

ですので、『もっと数学ができれば…』　離散計算に関して、正しいような、正しくないような感。 　

グラデーション（Gradient計算）行う3Dデザインも同じ。数学達者が、ガンガン３Dデザインできる訳でなし。

幾何偏微分が、良好に解けるモデル化必須。その技術は（数学的に）未確立。意外に、数学達者は、モデリング苦手だったりします。

『数学ができれば…』工学計算だと直交格子ならば、その見解は正しい思います。幾何の偏微分に関して、意外に数学に限界あり

全般、応用性に富む数学が展開されている風（装いに過ぎずか？）。工学分野の数式や理論は、素晴らしく見えるが、その実態は、

（際どい怪しい前提条件伴う）テクニックなしでは、実用応用に到達できず。

上図のようなテクニック的なものに頼ると、直角位置の物理量求める平均処理が混入。（偏微分に近いものを計算してはいますが）偏微分の定義逸脱で注意

直交メッシュだと、処理が諸々キャンセル化（テクニック未使用となり）差分法もFEMも、どの手法も同一処理内容＆結果になるのですが…

本ページ記載内容 と メッシュ直交せぬ状況で起こるシュワルツ提灯現象　は、大学1-2年で教えられるべき＆学ぶべき、数学の（超）基本基礎と感じます

基本基礎踏まえ、実用上有用な数学が、展開されているのか？　直交メッシュ以外の離散計算は、数学として確立できてなく注意思います。

数学基本踏外した手法故、FEM等の離散化法は、数学書に記載なし（数学書記載の正統的近似基礎理論）テイラー展開は、直交格子限定＆実用応用に到達できず　

（工学計算は近似であり、不完全でOKではありますが）　離散化理論の不完全さに注意＆実用応用まで到達できぬ基礎に注意

偏微分は、微分同様の方法で計算せねばならない それしか策なし そこが痛い弱点に思いますが…

偏微分計算法は、微分計算法に同じ。それしか策なし。そこが数学の痛い弱点思います。数学の限界かも知れません。

（幾何の）偏微分は、「変数を固定させた微分」としか学ばず　「変数固定して微分すれば○　それが偏微分、簡単」　てこと？　

数学を色々勉強しても、偏微分に関する基本情報は、そんなには得られぬ感。重要なのに何故か数学書にて情報少ない印象。

変数の独立性いう、超厳しい制約必須だが、変数固定して微分いう　簡単な説明で御仕舞。何だか気楽＆軽い印象。大丈夫か？

幾何の偏微分＝簡単　そんなイメージ先行な感。　現実は…

微分より制約厳しく難儀だが、微分同一手法でしか（数学的に正しく）計算できず大変。それを御理解頂くのが難

昨今普及済の…　「FEM差分法等の、離散手法で（簡単に）対応できる」　思われている感。ウ～ム。

FEM等の偏微分計算法は、数学書に記載なし　数学勉強しても学べず ← 数学基本逸脱した変則である事が理由思います

（純な数学では直交格子前提（限定）理論しか学べず　直交格子以外の離散計算=基本逸脱で数学でない ！？）

節点が直交せぬ場合（節点並び向きの）変則斜交系から直交系への転換（ヤコビアンによる（変則）写像変換）で計算いう

苦しい策に見えます。コンピュータ計算故、不完全でＯＫでもあるのですが…　直交格子だと下図イメ-ジ。微分=偏微分=簡単

（直交格子以外は）本来計算できぬものを、無理矢理計算しており、正しい数学でない可能性…

数学上正しく解けるのは直交格子まで？

偏微分は、ある点と、そこからXやY向に、軸に平行に、微小移動した所にある2点で、物理量差/距離 で計算

（微分計算法に同じ）　下図右図にて、X向勾配は1-2で計算可。　Y向に平行には、点が存在せず（1-4が×）　

下図にて、灰色箇所の物理量を、節点間にて均等増分前提で求めて、（節点①における）勾配偏微分を計算　

ξ向-η向　勾配２つ足合わせY向勾配合成に同じ　　　それはOKか？　FEMアイソパラトリック要素理論では、

要素頂点全てに（四辺形なら4点）下図頂点①における勾配計算処理を実施 ⇒ 要素全域の勾配分布を求めます

三角の勾配計算イメージで、物理量勾配たる偏微分計算。↑の該当式は、ヤコビアンでのξ-η⇒X-Y写像変換式↓　

（①の角度）ξ-ηが直角＆直交なら、上式は数学的に◎＆問題なし。直角でない場合、斜交系で怪しい風に…　て事を、見破る必要性

本来は、（見破る必要なきよう、アフォでも判るよう）判り良く、離散計算の書籍に記載すべき事項思います。

FEM等離散計算の普及状況考えると、数学書や情報学書籍にも記載すべき超重要事項思いますが…

シュワルツ提灯は、軸に沿う勾配が正確に求まらぬ実例。（Z軸向きに、勾配なしが〇だが勾配発生）

現象は、形状再現性の悪化。原因は、偏微分が関わる思います

構成節点が、偏微分計算に適した箇所に存在せず、ダイヤモンドカット面風に、傾斜発生

軸に平行に節点が存在せず、偏微分の必須条件満たせず。勾配が正しく求まらずか。

XY面でのメッシュは正多角形。メッシュ増やす→円に近くなり高精度化。一方（Z向）勾配傾斜は解消難

コンピュータグラフィックスで、画質に関わる事項　（グラデーション gradient）

（上図-右図は三角メッシュだが面は傾斜なしでOK？ブレ易い？）

下図）粗いメッシュは、如何にも怪しい風＆駄目そう。それは粗いので仕方なし。

メッシュ細かいと、大丈夫かいうと…　細かいと、直線部は、外観目視で真っ直ぐでも、数値的には真っ直ぐでない

たいした問題でないと考えるべきか？　　コンピュータグラフィックス（グラデーション gradient）分野は、

メッシュ増やせば大体解決か？　力学は、（直交物理量差の更に差の計算）テンソル解かねばならず、もっとシビアか？

直線で囲まれた、面の角度（勾配）を、数学的に正しく計算しているともいえる。それは、偏微分計算として正しいか？　

（偏微分の条件を満たす箇所に）『データが存在せず、偏微分を計算できない』　それが正解か？　

Z軸向に平行に点が並んでいれば、〇なのでしょうが　ウ～ム