一変数の近似基礎理論テイラー展開は、基礎いえば基礎なのか微妙な感 三角は全域同一勾配な点に注意

テイラー展開は、微分イメージの一変数Ｆ(X)の近似基礎。それは、2変数以上の多変数に応用可か？　そこが怪しく思います（直交メッシュなら〇ですが）

基礎として重視され ⇒ FEM等の応用へ道開けている筈（考えがち） 実際は、（データが直交せぬ状況の）多変数への応用が苦しく見えます。

下図緑要素 辺①④ ②③(四角) 辺①③(三角)斜め直線上の分布物理量 Fは、XやYで偏微分不可。Xの変化時、伴ってYも変化で×

（下図中央付近下）水平-垂直線上　F（X一定,Y）F（X,Y一定）のみ偏微分可。　F(X,G(X))のように・…

 YがXの関数=変数独立性喪失。Xの変化に追従してYたるG(X)が変化 ⇒ Y一定（定数）にならず＆偏微分不可　数学の限界か？

分布物理量Fとし、下図で　①にて、求めたい偏微分は、∂F/∂Xと∂F/∂Y　節点位置関係上X-Y直交系では求まらず、

なので　∂F/∂ξ　∂F/∂η　を求めて、ヤコビアンでX-Yに転換させる策が、離散計算で一般的。怪しい手法思うが

（粗悪メッシュでも）メッシュ増やせば精度UP。軽く考える人は多い。一変数-微分-折線グラフイメ-ジは、

メッシュ増やす⇒節点間距離縮まり⇒解像度UP＆精度UP　しかし多変数は、偏微分が厄介。簡単でなく注意。

メッシュ細かくても、Ｙ向に平行に並ばぬ点群で、偏微分せねばならぬ状況は変わらない＆改善しない。

Y向勾配計算は、η向勾配に、傾斜∂X/∂ηに応じたξ向勾配を足して実施（-∂X/∂η*∂F/∂ξを足す）（式は超難儀です↓）

∂X/∂ξ＝1　∂Y/∂ξ＝0の場合（下図 X-ξ 一致させた状況）　ヤコビアンの変換は
　∂F/∂X＝∂F/∂ξ=（②①の物理量Fの差）/①②の距離  (節点①②での例）軸に平行な点群で計算可。問題は、点群なき垂直向勾配 ∂F/∂Y
　∂F/∂Y＝（-∂X/∂η・∂F/∂ξ+∂F/∂η）/（∂Y/∂η）　　（こちらやや難　分母の∂Y/∂ηは、Ｙ向メッシュ幅（高さ）みたいなもの）
直角に対しηが傾斜大＝∂X/∂ηが大（ξ向補正量大）　∂Y/∂ηが小（Y向高さ減）　傾斜がダブルで効き神経質。なのでなるべく直角が〇　

節点間にて物理量が均等増分分布 ⇒（①②④ ①②③）三角域のY向勾配が、（強制的に）三角全域同一のY向勾配値となり、Y向勾配が、Y軸に平行でないデータ元に求まる模様。

Y向勾配が、X（ξ）向勾配の影響を受けるが、偏微分として〇か？　

三角全域Y向勾配が同一勾配になるので、Y軸に平行な点群なしで、Y向偏微分が求まる。（三角域では勾配は同一値＆分布持たず）

節点①は△①②④で、②は△①②③で、Y向勾配を計算 ⇒ 節点①②の間は、（全域同一値でない）Y向勾配分布を形成できる。

三角は、全域が同一勾配（勾配が分布しない）なので、Y向勾配が、Y軸に平行でないデータ（斜交系）から求まる。

それって、良い事か？　逆か？　例えば、下図②-④のような長辺にて物理量が均等増分＝曲げのような（勾配）ピークを計算可か？

三角形の場合、節点間にて物理量が均等増分だと、勾配は、三角内全域同一化。割切った近似になり、斜交系から直交勾配偏微分計算可に…

ウ～ム。果たしてそれで良いのか？　　コンピュータ計算故、不完全＆大体で〇だったりしますが。推進する場合、

数学上怪しい 又は 割切った近似もある事を、十分理解説明しておかないと、経営　顧客　（募集）人員　投資筋(株主)　等々に対し、

嘘付いてる裏切り行為になりかねぬ危険性を感じます。そんな、心配懸念・短所弱点マイナス面も、教科書に書いて置くべきような…

離散計算は、幾何の偏微分の厄介さが致命的思います。それは本来、専門家が指摘すべき重要事項な筈。　何かと昨今、次代の技術は…

EV等の環境対応技術 AI等　短所弱点懸念が強調されず、短所不透明的なまま普及する傾向。離散計算分野は、大手も参入できず、狙い目ですが、偏微分注意。

平行四辺形例だと、直交2方向の片方の偏微分しか計算できず 斜交座標系だと2方向計算可

まだまだ念押しの説明を…　平行四辺形が、一番判り良い気がします。下図で、実施したいのは、X-Y座標での偏微分ですが、

X向偏微分は、①-②　③-④　で可　　

Y向偏微分は、②-③　①ｰ④は、Ｘ座標値変化（平行四辺形）→（X一定定数いう）偏微分ル-ル満たせず → Yで偏微分不可

②-③ ①ｰ④にて、ξ座標値は変化せず一定で、η向偏微分は計算可。問題は、η向偏微分 ∂F/∂η を、Ｙ向偏微分に転換可能か？ 

例えば　物理量Fとして、上図の場合、

∂F/∂ξ≒(②のF値-①のF値）/①②の距離　　③④でも計算可　  ∂F/∂X も、計算可

∂F/∂η≒(③のF値-②のF値）/②③の距離　　④①でも計算可　  ∂F/∂Y は、計算不可

物理量Ｆの場合、２変数(ξ,η)→(X,Y)ヤコビアンでの写像変換式は以下。　数式上、ξ-ηでの偏微分は、X-Yの偏微分に転換可能

ヤコビアンで変換。その処理内容追うと、上図AやB地点の値を、距離による平均計算で求めてY向勾配計算。（ξ向η向2つの勾配を加算）

例えば、構造解析で、曲げ発生時、均等増分分布にならず、AやB地点の正確な値が求まらず、苦しい思いますが、

層流（低Re数）や静磁場等、分布緩慢な問題解くにはOKでしょうが…

勾配ベクトル足し合せて、直交偏微分。なので、Y向勾配にX向勾配が含まれ変数独立性喪失

斜交系勾配足し合わせて、直交勾配（偏微分）計算。めでたしめでたしか？　足すと、足して得た結果に、足した側（の勾配）が含まれる訳で…

一方の勾配が、他方の勾配に、影響与えてしまう問題発生。本来、勾配は独立すべきが、離散計算の超痛い問題。

FEM四角形（アイソパラメトリック）要素だと、頂点+2点 計3点で頂点毎に偏微分。その四角形アイソパラメトリック要素離散化理論自体苦しいか？

アイソパラメトリック要素は　一応、物理量分布（変化）捉える一番妥当でマシな要素な筈。それでも、偏微分計算に関して随分怪しさあり

例えば、具体的に起こる問題は何か？　その例は、FEMだと簡単。要素単位の（勾配）偏微分計算で、計算される節点での勾配が、隣の要素と一致せず

（メッシュが直交せぬ場合）上記問題が発生。下図の節点●にて、黄緑要素で計算されるY向偏微分　黄色要素で計算されるY向偏微分　一致せねばならないが…　

偏微分は、変数分だけ成分がある軸に沿った辺（線）が持つ物理量勾配値。1次精度は、2点の物理量差/距離で計算。2次精度は中間点加え3点で計算。それが一番正確。

Yでの偏微分=Y軸に平行な線が持つ物理量の勾配（スカラー）　軸に沿った勾配を、線でなく、要素で計算する策が怪しい？

軸に平行な線上に、勾配計算（2点の物理量差/距離）の元になる節点がなく、軸に平行な線上から外れた節点で、要素単位で計算せざるを得ず。

・直交メッシュ以外で、幾何の偏微分を、正確に解くのは、かなり難しい

・離散計算は、要素の辺両端や、節点の前後上下等、節点並びの斜交座標系で勾配を求め、偏微分を解いており、直交系では解いていない

・独立変数で解くべき偏微分を、独立せぬ変数元に解くしかなく、斜交系勾配足してヤコビアンで直交勾配合成。怪しい技に頼らざるを得ず

・離散計算手法は変則＆数学の基本逸脱。故に、（離散計算分野以外の）工学諸分野にて扱われず。理工・情報処理分野で扱いがない

・離散計算書籍は、折線グラフイメージ・微分イメージの記述が多い。幾何偏微分の難しさは未記載

・勉強の末、「粗悪メッシュでも気にせずOK。大丈夫ッ」思ってしまいがち。そんな事例が沢山掲載される傾向

・近似基礎テイラー展開は、１変数微分イメージ。２変数以上の幾何偏微分応用は直交前提。応用まで完全到達できぬ基礎に見えるが…

等々、幾何の偏微分は罠多く注意思います。近似基礎テ-ラ-展開は、点の並びの方向で使える基礎理論。

偏微分に必要な向きに、点群ない場合対応難（致命的）。大学で学ぶ（基本的正統的）数学は、直交前提で制約大。応用性＆有用性＆実用性低い？

高い融通性適応性があり、FEM等普及済。その背景数学は、変則で基本逸脱。変則でないと実用にならず。

基本基礎逸脱故、解はブレがち＆長年解消できず今に至る。

（直交で変数独立）制限付で基礎成立。直交性崩れた状況への対応は、細工テクニック必須？　細工等行うと純な勾配偏微分でなくなるパラドクス

工学分野で、数学の有用性＆実用性は低い？　概して、理論屋は低評価。神童も大人になるとタダの人。原因は幾何の偏微分？