平行四辺形例だと、直交2方向の片方の偏微分しか計算できず 斜交座標系だと2方向計算可

まだまだ念押しの説明を…　平行四辺形が、一番判り良い気がします。下図で、実施したいのは、X-Y座標での偏微分ですが、

X向偏微分は、①-②　③-④　で可　　

Y向偏微分は、②-③　①ｰ④は、Ｘ座標値変化（平行四辺形）→（X一定定数いう）偏微分ル-ル満たせず → Yで偏微分不可

②-③ ①ｰ④にて、ξ座標値は変化せず一定で、η向偏微分は計算可。問題は、η向偏微分 ∂F/∂η を、Ｙ向偏微分に転換可能か？ 

例えば　物理量Fとして、上図の場合、

∂F/∂ξ≒(②のF値-①のF値）/①②の距離　　③④でも計算可　  ∂F/∂X も、計算可

∂F/∂η≒(③のF値-②のF値）/②③の距離　　④①でも計算可　  ∂F/∂Y は、計算不可

物理量Ｆの場合、２変数(ξ,η)→(X,Y)ヤコビアンでの写像変換式は以下。　数式上、ξ-ηでの偏微分は、X-Yの偏微分に転換可能

ヤコビアンで変換。その処理内容追うと、上図AやB地点の値を、距離による平均計算で求めてY向勾配計算。（ξ向η向2つの勾配を加算）

例えば、構造解析で、曲げ発生時、均等増分分布にならず、AやB地点の正確な値が求まらず、苦しい思いますが、

層流（低Re数）や静磁場等、分布緩慢な問題解くにはOKでしょうが…

勾配ベクトル足し合せて、直交偏微分。なので、Y向勾配にX向勾配が含まれ変数独立性喪失

斜交系勾配足し合わせて、直交勾配（偏微分）計算。めでたしめでたしか？　足すと、足して得た結果に、足した側（の勾配）が含まれる訳で…

一方の勾配が、他方の勾配に、影響与えてしまう問題発生。本来、勾配は独立すべきが、離散計算の超痛い問題。

FEM四角形（アイソパラメトリック）要素だと、頂点+2点 計3点で頂点毎に偏微分。その四角形アイソパラメトリック要素離散化理論自体苦しいか？

アイソパラメトリック要素は　一応、物理量分布（変化）捉える一番妥当でマシな要素な筈。それでも、偏微分計算に関して随分怪しさあり

例えば、具体的に起こる問題は何か？　その例は、FEMだと簡単。要素単位の（勾配）偏微分計算で、計算される節点での勾配が、隣の要素と一致せず

（メッシュが直交せぬ場合）上記問題が発生。下図の節点●にて、黄緑要素で計算されるY向偏微分　黄色要素で計算されるY向偏微分　一致せねばならないが…　

偏微分は、変数分だけ成分がある軸に沿った辺（線）が持つ物理量勾配値。1次精度は、2点の物理量差/距離で計算。2次精度は中間点加え3点で計算。それが一番正確。

Yでの偏微分=Y軸に平行な線が持つ物理量の勾配（スカラー）　軸に沿った勾配を、線でなく、要素で計算する策が怪しい？

軸に平行な線上に、勾配計算（2点の物理量差/距離）の元になる節点がなく、軸に平行な線上から外れた節点で、要素単位で計算せざるを得ず。

・直交メッシュ以外で、幾何の偏微分を、正確に解くのは、かなり難しい

・離散計算は、要素の辺両端や、節点の前後上下等、節点並びの斜交座標系で勾配を求め、偏微分を解いており、直交系では解いていない

・独立変数で解くべき偏微分を、独立せぬ変数元に解くしかなく、斜交系勾配足してヤコビアンで直交勾配合成。怪しい技に頼らざるを得ず

・離散計算手法は変則＆数学の基本逸脱。故に、（離散計算分野以外の）工学諸分野にて扱われず。理工・情報処理分野で扱いがない

・離散計算書籍は、折線グラフイメージ・微分イメージの記述が多い。幾何偏微分の難しさは未記載

・勉強の末、「粗悪メッシュでも気にせずOK。大丈夫ッ」思ってしまいがち。そんな事例が沢山掲載される傾向

・近似基礎テイラー展開は、１変数微分イメージ。２変数以上の幾何偏微分応用は直交前提。応用まで完全到達できぬ基礎に見えるが…

等々、幾何の偏微分は罠多く注意思います。近似基礎テ-ラ-展開は、点の並びの方向で使える基礎理論。

偏微分に必要な向きに、点群ない場合対応難（致命的）。大学で学ぶ（基本的正統的）数学は、直交前提で制約大。応用性＆有用性＆実用性低い？

高い融通性適応性があり、FEM等普及済。その背景数学は、変則で基本逸脱。変則でないと実用にならず。

基本基礎逸脱故、解はブレがち＆長年解消できず今に至る。

（直交で変数独立）制限付で基礎成立。直交性崩れた状況への対応は、細工テクニック必須？　細工等行うと純な勾配偏微分でなくなるパラドクス

工学分野で、数学の有用性＆実用性は低い？　概して、理論屋は低評価。神童も大人になるとタダの人。原因は幾何の偏微分？

前提条件として、２節点間で、物理量が均等増分分布ならば、直角地点の値が正確に求まり、偏微分可

「離散計算は、幾何の偏微分が難しい」　そこは重く認識しておく必要性。　

「偏微分が最難関」　で、解消せぬままズルズル来てる感。（偏微分は独立変数でのみ可　その壁を突破できず）

ヤコビアンを使った写像変換で、直交偏微分が求まります。(ξ,η)⇒(X,Y)　（2次元の例）

元の座標系が斜交系の場合、ヤコビアンを使った写像変換は、直角地点の物理量計算を含む計算になる。

計算には、直角地点の物理量計算のための、前提条件が必要。　（直交格子なら、直角地点の物理量計算は不要）

「偏微分は独立変数でのみ可」その、基本・基礎を踏外した計算故、無理が来るか？　制限制約付けて無理しないと解けずか？

解決できぬ場合、工学広範囲で、理論の実用性・有用性に対する障害・障壁となり、致命的思います。（式だけ見てても判らず注意）

　２節点間の物理量が、均等(一定)増分分布ならば ⇒ 距離による比例配分計算で、直角地点の値が正確に求まる ⇒ 正確に偏微分可

　均等増分分布でない場合 ⇒ 直角地点の値が正確に求まらない ⇒ 正確な偏微分にならず

解決なら革命。万年未解決。数学の痛い限界。理学-工学（力学）-情報学　バラバラで融合せず。メッシュ依存は克服されず。

理論・理屈屋は、（概して）低迷しがち。FEM等の離散計算の普及はニッチ市場限定。その主要因は、幾何偏微分の難しさと思います

理想想定や簡略化や厳しい制約付けたり、（割切った）仮定想定がないと解けず等…　

だと大変困るのですが…　それが現実か？　理論とはそんなもの？　　

偏微分は、互いに影響与えぬ、独立した勾配成分（スカラー）　変数の数だけ成分があり、Partial derivatives　と、複数形かも

ξやηの斜交系勾配ベクトルを足し合わせ、XやYの勾配成分をゼロ化させる⇒直交偏微分計算完。　ベクトル２つ足すと、独立にならずか。

ξとX一致状態で、(X向勾配が０になるよう)ξとηの勾配成分足した合成ベクトルが、（勾配X成分=0となり）ξに対する直交勾配(∂Y)に…　

だと一方の勾配∂Xが、他方∂Yに影響及ぼす？　X向→　Y向↑　直交する２つの勾配ベクトル両端は、斜め向（オレンジ）辺で接合。なので、独立といえずか？　

X向勾配が０になるよう、ξ向勾配に距離に応じ係数掛け加算合成。その手法で、Y向直交勾配成分たる偏微分が計算可能？　それは妥当か？

角（コーナー）にて、2次元では、●●●３点で、（互いに影響与えぬ）２方向の偏微分の構築が必要。それ自体、幾何の制約上、苦しいか？　

例えば、四角形だと、(並んだ)長方形=柔軟　平行四辺形や菱形=ゴツゴツ硬いイメージ。　俗に、構造解析で、『硬くなる』いわれる事が、幾何の制約で起こるか？