数学的に正しく偏微分できるのは、直交メッシュのみ 数学バッチリできても幾何の偏微分は解けず
毎度似たブログ内容。まぁ、更に判り良く、図を改良。洗練させれば、理解促進 （逆に、ゴチャゴチャ風＆判り難い？ 毎回試行錯誤）
何を、理解願うのか？ 数学で可能な範囲超えて、テクニックで誤魔化す風。離散計算独特の偏微分計算 それを理解願いたいのですが。
難解な専門書より、超理解できる事を狙ってますが。 偏微分の定義上、元のデータ節点群が駄目だと、その計算は、テクニックで補えぬ筈
本来は偏微分不可。無理に偏微分（節点間で物理量は均等増分など、前提条件と共に三角形単位で三角の勾配求めるイメージ）
（本来不要な、緩い拘束かかってる風）仮定前提条件必須で注意。仮定前提条件なし⇒直交箇所にデータなく解けず。直交格子のみ解ける。
コンピュータ計算故、大体解ければ〇。伝熱 静磁場 低Re数 等は粗悪メッシュで十分〇。数学的に完全なら、コツコツモデル化不要。
大規模真っ黒メッシュで皆解決になりCAE技術者不要化ですが、そうは行かぬ現実に注意。（メッシュレス計算も一部のみ）
直交メッシュ除き）何らか条件付けて、（直交せぬ箇所から）直交箇所（上図●や●）のデータを合成。そうしないと解けず。
それで求めたものは（上図：三角勾配）偏微分なのか？ 頂点①が直角なら偏微分。直角でない場合は、偏微分にならぬ筈ですが、
計算分野では、偏微分とみなし、ヤコビアンの変換等式成立とする。本当は、角度①が直角でない場合、写像変換等式不成立な筈
節点間物理量均等増分前提で（直交せぬ箇所から）直角位置物理量求めて変換等式成立⇒偏微分といえるか怪しい
数学の限界超えた事をしないと、自在な形状領域にて偏微分できず。幾何の偏微分を扱う分野は、要注意思います。
数学的に正しく（余計的な仮定前提制約条件なしで）偏微分できるのは、節点並びが直交してる場合のみ思います。
頂点①が直角でなく、ξ-η直交せぬ場合、局所⇔全体系 変換式成立せず。（離散計算分野は、それは記載せぬルールで注意）
ですので、『もっと数学ができれば…』 離散計算に関して、正しいような、正しくないような感。
グラデーション（Gradient計算）行う3Dデザインも同じ。数学達者が、ガンガン３Dデザインできる訳でなし。
幾何偏微分が、良好に解けるモデル化必須。その技術は（数学的に）未確立。意外に、数学達者は、モデリング苦手だったりします。
『数学ができれば…』工学計算だと直交格子ならば、その見解は正しい思います。幾何の偏微分に関して、意外に数学に限界あり
全般、応用性に富む数学が展開されている風（装いに過ぎずか？）。工学分野の数式や理論は、素晴らしく見えるが、その実態は、
（際どい怪しい前提条件伴う）テクニックなしでは、実用応用に到達できず。
上図のようなテクニック的なものに頼ると、直角位置の物理量求める平均処理が混入。（偏微分に近いものを計算してはいますが）偏微分の定義逸脱で注意
直交メッシュだと、処理が諸々キャンセル化（テクニック未使用となり）差分法もFEMも、どの手法も同一処理内容＆結果になるのですが…
本ページ記載内容 と メッシュ直交せぬ状況で起こるシュワルツ提灯現象 は、大学1-2年で教えられるべき＆学ぶべき、数学の（超）基本基礎と感じます
基本基礎踏まえ、実用上有用な数学が、展開されているのか？ 直交メッシュ以外の離散計算は、数学として確立できてなく注意思います。
数学基本踏外した手法故、FEM等の離散化法は、数学書に記載なし（数学書記載の正統的近似基礎理論）テイラー展開は、直交格子限定＆実用応用に到達できず
（工学計算は近似であり、不完全でOKではありますが） 離散化理論の不完全さに注意＆実用応用まで到達できぬ基礎に注意
偏微分は、微分同様の方法で計算せねばならない それしか策なし そこが痛い弱点に思いますが…
偏微分計算法は、微分計算法に同じ。それしか策なし。そこが数学の痛い弱点思います。数学の限界かも知れません。
（幾何の）偏微分は、「変数を固定させた微分」としか学ばず 「変数固定して微分すれば○ それが偏微分、簡単」 てこと？
数学を色々勉強しても、偏微分に関する基本情報は、そんなには得られぬ感。重要なのに何故か数学書にて情報少ない印象。
変数の独立性いう、超厳しい制約必須だが、変数固定して微分いう 簡単な説明で御仕舞。何だか気楽＆軽い印象。大丈夫か？
幾何の偏微分＝簡単 そんなイメージ先行な感。 現実は…
微分より制約厳しく難儀だが、微分同一手法でしか（数学的に正しく）計算できず大変。それを御理解頂くのが難
昨今普及済の… 「FEM差分法等の、離散手法で（簡単に）対応できる」 思われている感。ウ～ム。
FEM等の偏微分計算法は、数学書に記載なし 数学勉強しても学べず ← 数学基本逸脱した変則である事が理由思います
（純な数学では直交格子前提（限定）理論しか学べず 直交格子以外の離散計算=基本逸脱で数学でない ！？）
節点が直交せぬ場合（節点並び向きの）変則斜交系から直交系への転換（ヤコビアンによる（変則）写像変換）で計算いう
苦しい策に見えます。コンピュータ計算故、不完全でＯＫでもあるのですが… 直交格子だと下図イメ-ジ。微分=偏微分=簡単
（直交格子以外は）本来計算できぬものを、無理矢理計算しており、正しい数学でない可能性…
数学上正しく解けるのは直交格子まで？
偏微分は、ある点と、そこからXやY向に、軸に平行に、微小移動した所にある2点で、物理量差/距離 で計算
（微分計算法に同じ） 下図右図にて、X向勾配は1-2で計算可。 Y向に平行には、点が存在せず（1-4が×）
下図にて、灰色箇所の物理量を、節点間にて均等増分前提で求めて、（節点①における）勾配偏微分を計算
ξ向-η向 勾配２つ足合わせY向勾配合成に同じ それはOKか？ FEMアイソパラトリック要素理論では、
要素頂点全てに（四辺形なら4点）下図頂点①における勾配計算処理を実施 ⇒ 要素全域の勾配分布を求めます
三角の勾配計算イメージで、物理量勾配たる偏微分計算。↑の該当式は、ヤコビアンでのξ-η⇒X-Y写像変換式↓
（①の角度）ξ-ηが直角＆直交なら、上式は数学的に◎＆問題なし。直角でない場合、斜交系で怪しい風に… て事を、見破る必要性
本来は、（見破る必要なきよう、アフォでも判るよう）判り良く、離散計算の書籍に記載すべき事項思います。
FEM等離散計算の普及状況考えると、数学書や情報学書籍にも記載すべき超重要事項思いますが…
シュワルツ提灯は、軸に沿う勾配が正確に求まらぬ実例。（Z軸向きに、勾配なしが〇だが勾配発生）
現象は、形状再現性の悪化。原因は、偏微分が関わる思います
構成節点が、偏微分計算に適した箇所に存在せず、ダイヤモンドカット面風に、傾斜発生
軸に平行に節点が存在せず、偏微分の必須条件満たせず。勾配が正しく求まらずか。
XY面でのメッシュは正多角形。メッシュ増やす→円に近くなり高精度化。一方（Z向）勾配傾斜は解消難
コンピュータグラフィックスで、画質に関わる事項 （グラデーション gradient）
（上図-右図は三角メッシュだが面は傾斜なしでOK？ブレ易い？）
下図）粗いメッシュは、如何にも怪しい風＆駄目そう。それは粗いので仕方なし。
メッシュ細かいと、大丈夫かいうと… 細かいと、直線部は、外観目視で真っ直ぐでも、数値的には真っ直ぐでない
たいした問題でないと考えるべきか？ コンピュータグラフィックス（グラデーション gradient）分野は、
メッシュ増やせば大体解決か？ 力学は、（直交物理量差の更に差の計算）テンソル解かねばならず、もっとシビアか？
直線で囲まれた、面の角度（勾配）を、数学的に正しく計算しているともいえる。それは、偏微分計算として正しいか？
（偏微分の条件を満たす箇所に）『データが存在せず、偏微分を計算できない』 それが正解か？
Z軸向に平行に点が並んでいれば、〇なのでしょうが ウ～ム
一変数の近似基礎理論テイラー展開は、基礎いえば基礎なのか微妙な感 三角は全域同一勾配な点に注意
テイラー展開は、微分イメージの一変数Ｆ(X)の近似基礎。それは、2変数以上の多変数に応用可か？ そこが怪しく思います（直交メッシュなら〇ですが）
基礎として重視され ⇒ FEM等の応用へ道開けている筈（考えがち） 実際は、（データが直交せぬ状況の）多変数への応用が苦しく見えます。
下図緑要素 辺①④ ②③(四角) 辺①③(三角)斜め直線上の分布物理量 Fは、XやYで偏微分不可。Xの変化時、伴ってYも変化で×
（下図中央付近下）水平-垂直線上 F（X一定,Y）F（X,Y一定）のみ偏微分可。 F(X,G(X))のように・…
YがXの関数=変数独立性喪失。Xの変化に追従してYたるG(X)が変化 ⇒ Y一定（定数）にならず＆偏微分不可 数学の限界か？
分布物理量Fとし、下図で ①にて、求めたい偏微分は、∂F/∂Xと∂F/∂Y 節点位置関係上X-Y直交系では求まらず、
なので ∂F/∂ξ ∂F/∂η を求めて、ヤコビアンでX-Yに転換させる策が、離散計算で一般的。怪しい手法思うが
（粗悪メッシュでも）メッシュ増やせば精度UP。軽く考える人は多い。一変数-微分-折線グラフイメ-ジは、
メッシュ増やす⇒節点間距離縮まり⇒解像度UP＆精度UP しかし多変数は、偏微分が厄介。簡単でなく注意。
メッシュ細かくても、Ｙ向に平行に並ばぬ点群で、偏微分せねばならぬ状況は変わらない＆改善しない。
Y向勾配計算は、η向勾配に、傾斜∂X/∂ηに応じたξ向勾配を足して実施（-∂X/∂η*∂F/∂ξを足す）（式は超難儀です↓）
∂X/∂ξ＝1 ∂Y/∂ξ＝0の場合（下図 X-ξ 一致させた状況） ヤコビアンの変換は
∂F/∂X＝∂F/∂ξ=（②①の物理量Fの差）/①②の距離 (節点①②での例）軸に平行な点群で計算可。問題は、点群なき垂直向勾配 ∂F/∂Y
∂F/∂Y＝（-∂X/∂η・∂F/∂ξ+∂F/∂η）/（∂Y/∂η） （こちらやや難 分母の∂Y/∂ηは、Ｙ向メッシュ幅（高さ）みたいなもの）
直角に対しηが傾斜大＝∂X/∂ηが大（ξ向補正量大） ∂Y/∂ηが小（Y向高さ減） 傾斜がダブルで効き神経質。なのでなるべく直角が〇
節点間にて物理量が均等増分分布 ⇒（①②④ ①②③）三角域のY向勾配が、（強制的に）三角全域同一のY向勾配値となり、Y向勾配が、Y軸に平行でないデータ元に求まる模様。
Y向勾配が、X（ξ）向勾配の影響を受けるが、偏微分として〇か？
三角全域Y向勾配が同一勾配になるので、Y軸に平行な点群なしで、Y向偏微分が求まる。（三角域では勾配は同一値＆分布持たず）
節点①は△①②④で、②は△①②③で、Y向勾配を計算 ⇒ 節点①②の間は、（全域同一値でない）Y向勾配分布を形成できる。
三角は、全域が同一勾配（勾配が分布しない）なので、Y向勾配が、Y軸に平行でないデータ（斜交系）から求まる。
それって、良い事か？ 逆か？ 例えば、下図②-④のような長辺にて物理量が均等増分＝曲げのような（勾配）ピークを計算可か？
三角形の場合、節点間にて物理量が均等増分だと、勾配は、三角内全域同一化。割切った近似になり、斜交系から直交勾配偏微分計算可に…
ウ～ム。果たしてそれで良いのか？ コンピュータ計算故、不完全＆大体で〇だったりしますが。推進する場合、
数学上怪しい 又は 割切った近似もある事を、十分理解説明しておかないと、経営 顧客 （募集）人員 投資筋(株主) 等々に対し、
嘘付いてる裏切り行為になりかねぬ危険性を感じます。そんな、心配懸念・短所弱点マイナス面も、教科書に書いて置くべきような…
離散計算は、幾何の偏微分の厄介さが致命的思います。それは本来、専門家が指摘すべき重要事項な筈。 何かと昨今、次代の技術は…
EV等の環境対応技術 AI等 短所弱点懸念が強調されず、短所不透明的なまま普及する傾向。離散計算分野は、大手も参入できず、狙い目ですが、偏微分注意。