広く普及している高度な数学応用技術が、（数学）書籍未記載。それで良いのか？

数学書は、数式で溢れ、やたら難解ですが、応用性高く見える（難解さ克服後に夢広がる？）記述内容。偏微分に関しては、要注意思います

何が（要）注意かいうと、「バッチリ偏微分計算できる」「応用到達できる」そう思ってしまう点に注意。直交格子いう限定制約付ならそうなりますが…

ⅰ、書籍は判り良く記載してない。勉強しても、変数独立性なき状況で偏微分せねばならぬ。そんな事項が判りずらい

ⅱ、EWS（エンジニアリングワークステーション）時代、90年代あたり、適合格子が流行。良好に解ける、適切なモデル化も勉強で判るものでない

ダブル判らない状態。アプリ使いこなしても、構築出来ないモデルも多々あり。判らない-出来ない　大変困るいう。

勉強してないから判らないのか？　勉強しても判らないのか?　判る勉強すれば判る筈。じゃない構成なので、後者いう事に…

バッチリ偏微分計算できず = 数学達者がエ-ス技術者になる訳でない　数学屋は死活問題。（現に数学専攻はそんなに人気でない筈）

実際の工学分野は、高度な数学駆使する訳でなく、数学苦手が意外に活躍。文系出身も戦力いう分野も多かったりします。

3Dデザインのグラデーション画も（Gradient）偏微分ですが、偏微分理解者が綺麗な絵を描く訳でなし。文系が得意だったりします

・数学の限界範囲内では、実用まで到達しない（自在な形状空間は計算不可。矩形（四角）なら計算可）

・変数独立性守られず。しかしながら偏微分せねばならない。（直交格子以外は、そんな状況発生）

・差分法は、直交 ⇔ 斜交 写像変換イメージ　FEMは、三角域の物理量勾配で、直交勾配計算イメージ　いずれも複数の勾配足して直交向勾配合成（偏微分の定義上、足して合成してはいけない）

・それで求めた勾配（偏微分）は、数学上正しい偏微分でない。（FEMの場合、三角域の物理量勾配として正しくても、正確な偏微分でない）（天才技ですが…直角なら偏微分に合致）

・数学的に正しくないものを扱う訳に行かず。数学の限界超えたFEM等の離散計算法は、数学書に記載されず。（最初に戻る、堂々巡り…）

いう訳で、広く普及してる離散計算ですが、その手法は、数学書未記載。情報学でも、（独立性喪失による誤差等）想定外に見えます。

変数独立性無視した数学の想定外たる変な偏微分。なので教えない？　それによる誤差も扱わない？　

勉強して、そして、数学が理解できるようになれば…　そんな話を良く聞きます。ですが、世間に広く普及している離散計算手法は、実は

数学の範囲外（数学における空白地帯か？）正しい数学の範囲内に収まってない。そんな基本事項が、勉強して判る構成になってない。

気付く人は、（変数独立性いう）数学の限界に、教養課程あたりで気付く。限界超えないと実用応用に到達せず⇒ヤバくないか？

気付かぬ人は、（偏微分の変数独立性が試験に出る訳でなく）気付かぬまま長年経てしまう。（理論を完璧思ってしまう）落とし穴が…

「偏微分条件たる変数独立性に気付かせたくない」「数学の限界を知られたくない」　そんな構成に見えてしまう。勘ぐり過ぎか？　

それで良いのか？　何のための勉強か？　　『（勉強）やっても駄目そう』　てな感じの脱力風な怠け屋が、意外に賢く、本質読んでいる感

「苦しそうだな～。駄目そうだナー」てな風に、教える側-教育側の立場を、（やや上から目線か？）冷静にみている奴が、賢いか？

昨今、流体解析は、直交格子系も根強い印象。　構造解析は、上図一番右（黄色）非構造格子が、専ら好まれる感。それで、偏微分そしてテンソルが良好に解けるか？　苦しいような…

直交格子以外は変数独立性守られず、基本基礎踏外した手法に…それは仕方ない思いますが、何故か、踏外し度合が激しい手法が好まれる不思議。大丈夫なのか？

踏外し度がマシな、適合格子が流行った時代もありました。30年位前に遡るいう…。その後の計算機性能向上で、非構造でもOKに…？？

データ直交性なしで、数学的に正しく偏微分できる理論は、見当たらぬよう見えます　（近いものは離散計算理論で計算可）

果たして、離散計算技術は、進歩しているのか？

「メッシュ増やせば大丈夫」そんな意見が多いですが… 数学の限界に注意

昔は、四角系統のメッシュが主流。計算機が性能向上して、三角系統が主流に…

・計算機が非力だった時代は、計算モデルが小さく、モデルが構築し易かった。

・バブル期までは、色々余裕があり、パタパタメッシュ作成も許容＆普通　⇒　効率化で自動メッシュ推進＆三角に…

F(X,Y)の、Xでの偏微分∂F/∂Xは、Xのみで計算（Yは定数とし利用しない）

F(X,Y)の、Yでの偏微分∂F/∂Yは、Yのみで計算（Xは定数とし利用しない）下図例は、∂F/∂Y の計算に、∂F/∂X を利用 ＝ 変数独立でなく×

下図：各点が物理量Fを持つとして、アイソパラメトリック要素での偏微分 ∂F/∂Y 計算概要例

●●中間地点×の値（∂F/∂Xで計算）を使い偏微分 ∂F/∂Y 計算ですが、実際、本当に、∂F/∂Y なのか？

●●中間点 × 物理量求める計算は、（その処理のみ見れば）数学上正しい　×での値を使い ∂F/∂Y 計算すると、偏微分としては、変数独立性守れず

偏微分に近いものは計算出来て、実用上十分な事が多い。特に、次数増やすと、⌒ な物理量分布が捉えられたり、解（∂F/∂Y）はマシになる。

しかし、そもそも、∂F/∂Y の計算に、∂F/∂X を利用（Yでの偏微分計算にXを利用）⇒ 偏微分の変数独立性に反し、XがYに影響及ぼし、正しい数学でない

個々の数学処理自体は、（テイラー展開であったりする訳で）そこだけ見ると、数学的に正しく見えて注意。

「座標での偏微分は、横-縦の座標軸（直交）に縛られる」数学最大の、弱点・限界・落し穴 思います。

上例のような、座標での（2変数例）偏微分解く離散計算手法は、数学上完全なら、数学書掲載でしょうが、（数学上不完全故）未記載

数学書記述は、一変数微分テイラー展開まで。偏微分変数独立性が壁で、（直交性なき場合の）多変数対応が難

その短所-弱点は、重大な割に軽視され、重大だが教えられず（知る範囲）　なので判ってない人が多そう。大丈夫なのか！？

１：メッシュ増やす　２：次数増やす（メッシュあたりの節点数を増やす）　　どっちを行っても、

元のメッシュ（節点群）が、直交（横軸-縦軸）線上でない場合、偏微分対象外の変数が、（完全に）定数化する事はない筈

偏微分対象外の変数は定数化＆偏微分対象の変数データのみで勾配（微分）計算　それが偏微分　　　であるべきが、

X向勾配使ってY向勾配計算、アレッ？　駄目じゃないの！　てな手法が、離散計算。　（斜向き勾配の足合せ合成で、直交勾配を計算）

直交線上（横軸-縦軸線上）に存在せぬ（点の）物理量元に、（写像変換等）何らかルール適応させ、直交線上（横軸-縦軸線上）の物理量を計算 ⇒ 得た直交線上の値を使って偏微分 ⇒ それは正しい数学か？ それが理工系の応用数学？

（アイソパラメトリック要素だと、節点間-物理量均等増分仮定前提必須）そうせぬと応用到達せぬ苦しさ。数学（理論）が抱える痛い弱点・本質問題・致命的欠陥でしょうか？　

また、座標による偏微分計算法は、殆ど教えられず・知らされず。 なので、「細かくすればOK」 都合良く、安易に、考えてしまう人が多数か？

基本基礎たる偏微分変数独立性守る範囲内では直交格子限定。実用には基本（変数独立性）逸脱が必須＝それは偏微分でない

苦しい理工数学の現実。それで良いのか仕方なしか？「大変苦しい」　書いてくれると判り良いですが…

『数学の限界に注意する必要あり』微分は、（中学-高校-大学）念入に教えられる。同じく重要な筈の偏微分は、『変数固定して微分』と軽く学ぶ程度　その深い意味は学べず

解法も教えらない。厳しい制約条件付きでない解けず、教えられないのか？　「テーラー展開でOK」その認識が多いが、直交格子限定でしかない筈

私周囲、数学の苦しさを薄々察知-見破り見切った結果か？「やっても無駄無駄」てな調子（如何にも怠惰な関西人風）で、勉強せん怠け者が、意外に後々成功している現実

まぁ、学生当時は、（先は）秀才が活躍。怠け者は駄目。思ってましたが、現実は…　理論の痛い欠陥が効いて、お利口さんは、活躍できず？

偏微分の変数独立性は、大学数学における弱点思います。弱点は、判り良く、書籍に記載して欲しい感。ですが、短所ｰ弱点に対して軽視ｰ無頓着

無責任なような、それで良いのか？　理論の限界に触れない。ネガティブな事項に触れない。

そんな学術教育分野の体質注意。是正が必要思いますが、それは猫にワンと鳴かせる位に難しいか？

計算モデル（メッシュ）優秀だと、偏微分計算に有利 逆は逆 それを記載せぬ書籍が多く注意

XやYでの偏微分は、座標軸に平行な、直交直角地点の物理量勾配。多変数における微分。

微分と似たものですが、　『微分より、制約条件超厳しく、超注意』　そんな落とし穴あり。

直交-直角地点に、物理量データ存在しないと、偏微分計算困難。力学分野は、勾配の勾配＝直交物理量の差の差 シビア神経質な2階偏微分（テンソル）計算必須。

制約条件満たす点群元だと、直交直角地点に物理量データ存在 ⇒ 偏微分たる直交物理量勾配を、定義通りバッチリ計算可

じゃない点群元だと、直交地点に物理量データ存在せず＆定義通り（XやYで）偏微分できず。

直交メッシュでない場合、偏微分に必要なデータ揃わず、仕方なく、直交直角箇所の物理量勾配を、平均計算を使い計算せざるを得ず

メッシュ細かくすれば大丈夫　多い意見ですが　　細かいと直角に近づく訳でなし＆要素毎の偏微分計算用データ揃う訳でなく　

直角地点に点データ存在せぬ事は変わらずに見えます　（直交メッシュ以外は…）

直交メッシュ以外は、2個以上の勾配ベクトル合成＆平均処理　にて偏微分計算（定義通りの計算にならず）　

その偏微分計算に混入する（本来実施すべきでない　節点間にて均等増分な物理量分布前提）平均計算は、テーラ展開応用故、

「テーラー展開が基礎です」　それって、偏微分定義通りの計算でなく（偏微分対象でない別変数データ利用＆変数独立性守らず）OKなのか？

『痛い落とし穴あり』『実用まで到達できない』『それが幾何の偏微分』　判り良く教科書に記述なら助かるのですが…

工学書に、多々記述される偏微分 ∂x ∂y ∂z　実は解く策なし。微分同様手法でしか解けず=偏微分の定義守れぬ状況が想定外=痛い問題

離散計算は、例えば∂yを、dxdy組合せ計算、変数独立性無視な変則　（想定外を実施しないと実用到達せず⇒基本逸脱＆解不安定等問題）

高校レベルの数学で、止まちゃってる人は、そんなに心配せずでOK　　概して実用数学は中学高校レベル ⇒ （堅実で）問題なし

一方、大学の数学は…　工学諸分野で必須な、応力-歪のテンソル解く数学は、数学授業で学べず。（解けないので教えようがない）

テーラー展開は１変数限定＆微分のみOK＆多変数の偏微分には×　（離散計算は数学上不完全）偏微分解く完全策なし=痛い数学弱点

テ-ラ-展開のように、多変数対応できず、（力学分野で）応用性欠く実用到達せぬ理論が、基礎として君臨　変な体質は治らぬか？ 

又　デザインCGグラデーション画は、一階偏微分（Gradient）応用だが、Gradientの数学理解者が、美しいCG画描ける訳でなく

人により文系がモデリング達者な感。（デザイン等、文系が活躍する工学分野は多々あり）

「幾何偏微分は、変数独立性が厄介」「勉強出来ても実務達者になれず」 教科書に記載すべき思います。数学における痛い弱点＆落し穴 　そんな気がしますが…

積分-行列計算等は完全。偏微分のみ問題な筈（直交格子除き偏微分必須条件（定義でもある）たる変数独立性守れぬ状況発生）　数学の痛い弱点

『イタタッ』　てな風に、短所は判り易く示して欲しい気がします。