勾配ベクトル足し合せて、直交偏微分。なので、Y向勾配にX向勾配が含まれ変数独立性喪失

斜交系勾配足し合わせて、直交勾配（偏微分）計算。めでたしめでたしか？　足すと、足して得た結果に、足した側（の勾配）が含まれる訳で…

一方の勾配が、他方の勾配に、影響与えてしまう問題発生。本来、勾配は独立すべきが、離散計算の超痛い問題。

FEM四角形（アイソパラメトリック）要素だと、頂点+2点 計3点で頂点毎に偏微分。その四角形アイソパラメトリック要素離散化理論自体苦しいか？

アイソパラメトリック要素は　一応、物理量分布（変化）捉える一番妥当でマシな要素な筈。それでも、偏微分計算に関して随分怪しさあり

例えば、具体的に起こる問題は何か？　その例は、FEMだと簡単。要素単位の（勾配）偏微分計算で、計算される節点での勾配が、隣の要素と一致せず

（メッシュが直交せぬ場合）上記問題が発生。下図の節点●にて、黄緑要素で計算されるY向偏微分　黄色要素で計算されるY向偏微分　一致せねばならないが…　

偏微分は、変数分だけ成分がある軸に沿った辺（線）が持つ物理量勾配値。1次精度は、2点の物理量差/距離で計算。2次精度は中間点加え3点で計算。それが一番正確。

Yでの偏微分=Y軸に平行な線が持つ物理量の勾配（スカラー）　軸に沿った勾配を、線でなく、要素で計算する策が怪しい？

軸に平行な線上に、勾配計算（2点の物理量差/距離）の元になる節点がなく、軸に平行な線上から外れた節点で、要素単位で計算せざるを得ず。

・直交メッシュ以外で、幾何の偏微分を、正確に解くのは、かなり難しい

・離散計算は、要素の辺両端や、節点の前後上下等、節点並びの斜交座標系で勾配を求め、偏微分を解いており、直交系では解いていない

・独立変数で解くべき偏微分を、独立せぬ変数元に解くしかなく、斜交系勾配足してヤコビアンで直交勾配合成。怪しい技に頼らざるを得ず

・離散計算手法は変則＆数学の基本逸脱。故に、（離散計算分野以外の）工学諸分野にて扱われず。理工・情報処理分野で扱いがない

・離散計算書籍は、折線グラフイメージ・微分イメージの記述が多い。幾何偏微分の難しさは未記載

・勉強の末、「粗悪メッシュでも気にせずOK。大丈夫ッ」思ってしまいがち。そんな事例が沢山掲載される傾向

・近似基礎テイラー展開は、１変数微分イメージ。２変数以上の幾何偏微分応用は直交前提。応用まで完全到達できぬ基礎に見えるが…

等々、幾何の偏微分は罠多く注意思います。近似基礎テ-ラ-展開は、点の並びの方向で使える基礎理論。

偏微分に必要な向きに、点群ない場合対応難（致命的）。大学で学ぶ（基本的正統的）数学は、直交前提で制約大。応用性＆有用性＆実用性低い？

高い融通性適応性があり、FEM等普及済。その背景数学は、変則で基本逸脱。変則でないと実用にならず。

基本基礎逸脱故、解はブレがち＆長年解消できず今に至る。

（直交で変数独立）制限付で基礎成立。直交性崩れた状況への対応は、細工テクニック必須？　細工等行うと純な勾配偏微分でなくなるパラドクス

工学分野で、数学の有用性＆実用性は低い？　概して、理論屋は低評価。神童も大人になるとタダの人。原因は幾何の偏微分？