こんにちは。
若菜塾 数学講師の平野くりえです。
今日は中2数学 平行四辺形になることの証明（２）について
１問解説したいと思います。
よろしくお願いします。
問題
図のように▱ＡＢＣＤの対角線ＢＤ上にＢＥ＝ＤＦとなる点Ｅ，Ｆをとるとき
四角形ＡＥＣＦは平行四辺形になることを証明しなさい。
（考え方）
「平行四辺形になること」を証明するので、
平行四辺形になるための条件を用いて証明します。
◎平行四辺形になるための条件
①２組の向かいあう辺が、それぞれ平行である。…定義
②２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
③２組の向かいあう角が、それぞれ等しい。
④対角線が、それぞれの中点で交わる。
⑤１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。
このうち、今回の問題では ④対角線が、それぞれの中点で交わる をつかいます。
四角形ＡＥＣＦに対角線がかかれているので④をつかうと予想すればよいです。
④の条件をつかうためには、四角形ＡＥＣＦの「ＡＯ＝ＣＯ」「ＥＯ＝ＦＯ」を示す必要があります。
・ＡＯ＝ＣＯがいえる理由
▱ＡＢＣＤは平行四辺形なので、平行四辺形の性質 ”平行四辺形の対角線がそれぞれの中点で交わる”から。
・ＥＯ＝ＦＯがいえる理由
１．ＢＯ＝ＤＯ（上記と同じ）
２．仮定よりＢＥ＝ＤＦ
１．２からＥＯ＝ＦＯがいえる。
証明の流れは、まずは「ＡＯ＝ＣＯ」「ＥＯ＝ＦＯ」を示し、”対角線がそれぞれの中点で交わる”ので
四角形ＡＥＣＦは平行四辺形である、となります。
写真の穴埋め形式の書き方を参考にして書くと良いです。
空欄の答えが入った証明は下のようになります。
（証明）
四角形ＡＥＣＦにおいて
平行四辺形の 対角線はそれぞれの中点で交わる ので
ＡＯ＝ＣＯ・・・①
ＢＯ＝ＤＯ・・・②
仮定より、ＢＥ＝ＤＦ・・・③
②、③から、ＢＯ－ＢＥ＝ＤＯ－ＤＦ
よって、ＥＯ＝ＦＯ・・・④
③、④から、対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形ＡＥＣＦは平行四辺形である。
ご質問等があればコメント欄にお願いします。
平野くりえの数学blogでした。