こんにちは。
若菜塾 数学講師の平野くりえです。
今日は、中１数学【空間図形】円錐の表面積・おうぎ形の弧の長さと中心角について
２問解説したいと思います。
よろしくお願いします。
問題
（１）図１の円錐の表面積を求めなさい。
（解説・解答）
立体の表面全体の面積を表面積といいます。
また、１つの底面の面積を底面積、側面全体の面積を側面積といいます。
そして、底面積＋側面積＝表面積 となります。
底面積・側面積を下記のようにそれぞれ求めます。
・底面積
半径が５㎝の円の面積です。
円の面積は（半径）×（半径）×π としてあてはめると、
５×５×π＝２５π（㎠） （半径ｒとしてπr²に代入でも良い）
・側面積
写真のピンクマーカーのように、
（母線）×（半径）×π で求めることができます。
１２×５×π＝６０π（㎠）
よって表面積は
２５π＋６０π＝８５π（㎠） となります。
問題
（２）図２は、図１の円錐の展開図です。この展開図の側面のおうぎ形の弧の長さと中心角の大きさを求めなさい。
（解説・解答）
・弧の長さ
写真のオレンジマーカーのように、おうぎ形の弧の長さは底面の円の周の長さと同じになります。
ですので、底面の 半径５㎝の円の周の長さを求めればよいです。
円の周の長さは、（直径）×π としてあてはめると
５×２×π＝１０π（㎝） （半径ｒとして２πｒに代入でも良い）
よって弧の長さは １０π（㎝）
・中心角の大きさ
中心角の大きさを求めるには、おうぎ形とおうぎ形のもとになっている円（もとの円）を比べます。
（中心角の大きさ）：３６０°（もとの円１周）＝（おうぎ形の弧の長さ）：（もとの円の周の長さ）
という関係が成り立ちます。 （※左辺と右辺が逆でも良い）
中心角の大きさを求めたいので x°とすると
ｘ：３６０＝１０π：（１２×２×π） となり
ｘ：３６０＝１０π：２４π です。
※比例式の解き方は
（外）：（内）＝（内）：（外）
（外）×（外）＝（内）×（内）
ｘ：３６０＝１０π：２４π
２４π × X =３６０×１０π 両辺÷２４π
X＝３６０×１０π
..................２４π
X＝150
よって中心角は１５０°
ご質問等があればコメント欄にお願いします。
平野くりえの数学blogでした。