授業がんばりMATH

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26Sep
- 「あまり」の処理
  　あまりのあるわり算の計算技能の方はできたので，この日は「文章題」について考えていきます。最初は，左のような問題を板書・視写して取り組ませます。自力解決では，式をかいて終わりの児童もいるので，「ちゃんと答えもかいておいてね。」と念を押し，ある程度できたところで発表させます。最初に答えた児童は，「８回」「８回で１個あまる」の，2種類が出ました。それに対し，「あまりはいらない」という意見が出てきて，問題文を見直すと確かにそうなのでそこの訂正をします。　ところが１人だけ，その２つとも答えが違うと手を挙げている児童がいました。そこで，「これ以外の答えを言おうとしているようだけど，どんな答えを言うか想像できるかな。」と投げかけ，小集団学習をさせます。すると，何人かの児童が気づき始めました。ただしそんなに多くはなく，７～８人程度が気付いたようです。「９回」になる理由を語らせ，それを何人かにつなげていきます。残った１個も運ばなければ「全部運んだ」ことにはならないということでまとまりました。　続いて第２問です。今度は右のような問題です。式は先と同じ「２５÷３=８あまり１」です。子どもたちは，先の問題で１増やしたので，今度もそうなるのかと悩んでいます。しかし今回は，三輪車を作るので，残った１つのタイヤでは一輪車しか作れません。したがってこの場合はそのまま８台となりました。　このように，式と計算結果は機械的にできますが，そのあと答えるときには問題文を読んで，イメージをもちながら答えていかなければなりません。そのことを「自分で判断する」とまとめました。　この後は，教科書の練習題２ページ分を行います。これは教科書では２時間分になります。本来は，１時間ずつに分けて，切り上げ・切り捨てをしていくのですが，私はそれでは考えない子にしてしまいます。なので「混在問題」にして取り組むようにしています。次時にその徹底練習です。　にほんブログ村
25Sep
- 確かめ算
  　この日も「あまりのあるわり算にさらに慣れよう。」と称して，小黒板３問の計算練習をします。九九を唱えて，割られる数をこえてしまった場合の１つ前が商になり，割られる数－かけ算の答えがあまりになることを確認します。　答えを確認した後「おかわり」としてさらに３問をやります。同様に答えの確認をして，小黒板２枚を眺め直します。すると，最初の小黒板の「割られる数」が全部消えてしまっています。(もちろん私が消した)「あれ，みんな消えてしまったけど，もともと何だったんだろう。」とたずねます。ノートを見る児童もいますが，「ノートを見ないでもわかりませんか。」とたずね，割られる数を求める計算を引き出します。　この計算を使って，２枚目の小黒板の式と答えを確かめるとそのようになっています。したがってこの計算をすることで「確かめ算」になることが分かりました。　ここで，余りのあるわり算の「少し抵抗のある問題」を扱っておきます。１つ目は「商が９になる」場合です。九九を唱えていっても，割られる数をこえる数字が出てこないのです。このような場合は，次の「○×１０」まで唱え，こえた場合は１つ下の「９」になることを確認します。この「ミスコンセプション」は，１７年前に経験したことです。「その様子はこちら」　次は「商が１になる」場合です。これは大人が見れば簡単ですが，意外と子どもには抵抗があります。「１になるはずがない」という感覚があるのかもしれません。教科書の練習問題でも，ほんのわずかしか見られません。　最後は「商が０」になる問題です。「○×１」でこえてしまうので，商が０になります。具体的なアレイ図と包含除で確認しておきます。これらすべての計算を「確かめ算」で確認します。　ここまでに学習した「性質」を使って，計算の正誤を判断させます。小黒板に３つの計算があり，その中から間違いを探します。最初の小黒板は，１問だけ確かめ算が外れてしまうものが入っています。２枚目も，同様のものが１つ入っていますが，もう１つの間違いに気づきません。その問題は，確かめ算をするとあっているのですが，割る数と余りの関係が間違っています。前時に学習したことも念頭に置く必要があります。　ここからは，教科書の練習題ともっと練習をして終了です。計算技能についてはこれで一通り学習が終わりました。次は，余りの処理について考えていくことになります。　にほんブログ村
24Sep
- あまりの大きさ
  　ここまでの２時間で，包含除と等分除の場面の立式と，計算の仕方を一般化しました。この日はまず，「あまりのあるわり算に慣れよう。」というめあてを設定します。前時に確認した計算方法「九九を唱えて超えてしまう１つ手前が商になる。」「余りは，割られる数－九九になる。」ということ歩確認した後，３問ほど簡単な練習をします。　さらに練習ということで，男女別に８問ずつ練習します。小黒板に４問ずつかいたものを提示して取り組ませます。計算練習なのでどんどんやっていきます。　結果を確認した後，その小黒板をずらすと，「÷３」と「÷５」で，割られる数が並ぶようになっています。これを見ると，「÷３」の場合，余りは１か２になっています。割り切れる場合もあります。「÷５」の場合は，1か２か3か４になっています。このように，余りは必ず割る数よりも小さくなっていることが分かります。　このことを「たこ焼きの図」を使って，余りが「３」になると１箱が作れることと関連させてイメージさせていきました。　さらに，式と答えが書いてある３つの式を見せて，正しいものと正しくないものの判断をさせます。あまりとわる数を見比べて判断ができることを押さえました。ただ，この判断だけでは「正解」の判断はできないことは押さえておきます。　次に「文章題」に取り組みます。包含除と等分除の問題を１つずつ出します。子どもたちは，式を作って計算して終わりになる児童がたくさんいます。「答え」をかいても「６あまり１個」など，日本語になっていないものもたくさんありました。正しい答え方をきっちりおさえておきます。　これらをまとめた後，教科書を使って練習していきました。計算はもちろん，文章題の答え方なども，ある程度の問題数をこなすことで慣れていきます。「量」は大切な要素です。　にほんブログ村
22Sep
- 「あまりのあるわり算」一般化
  　前時に「包含除」の場面を使って，九九の逆にならない場面でも「わり算」の式に表してもいいことを約束しました。前日に４人が欠席していたので，その復習を簡単にしてから本時の課題である「等分除」の場面を提示します。　たこ焼き１４個を３人で等分します。前時と同じように「絵」をかきながら進めていきます。１４個のたこ焼きをえがき，３人に配るので３個ずつ消していきながら等分していきます。トランプ配りを見せて，以前の学習を想起させます。　一人分が４個ずつになり，配れない２個があることが確認できた後，この問題の構造を押さえていきます。この問題は「□×３=１４」の□を求める問題です。しかし「九九」(かけ算)の中に□に当てはまる数はありません。しかし前時同様，この時わり算の式を認めなければかなり複雑な式になっていましいます。そこでこの場合もわり算の式にしてかまわないということを約束しました。　これで余りがあるような場合でも，割り算の式が作れることが一般化されました。　ここからは，「教える」ことをやっていきます。まず「式」に対して，その横に書く「答え」の部分については，２つの図に対応させて，「５パックたりない１個」「４パックあまり２個」という２つのことが考えられることを押さえます。そのうえで，「小学校・中学校・高校の間は」という条件付きで，「４パックあまり２個」という表現をすることを押さえます。「足りない」の方は，大学に進むとこのような表現があることを伝えました。　数学の世界には「絶対的最小剰余」という考え方があり，これが「足りない」の発想になっているそうです。　さらに今回のようなわり算のことを「割り切れない」ということを教えます。そうすると，今までやっていたことに対する用語も必要になってくるので「割り切れる」という言葉も教えます。　さらに「答えの求め方」として，九九を唱えていき，割られる数を超える１つ手前の数字が「商」(この言葉は教えない)になることに気づかせます。また「あまり」に関しては，割られる数と１つ手前のかけ算の答えとの差になることも確認しました。この練習を小黒板３問で軽く押さえます。　さらに教科書の「文章題」を使って，「式」だけでなく「答えの書き方」を指導します。問題の題意に合わせて，「３本とれて２m余る」など，日常用語に戻して答えなければならないことを指導して終了しました。　にほんブログ村
19Sep
- 「あまりのあるわり算」導入
  　「余りのあるわり算」の単元に入ります。導入で大切なことは，「九九の逆にならない場面でもわり算の式に表してよい。」という約束をすることです。そのためには，「わり算の式にしていいのかな。」と思わせる段階が必要になります。　「□□÷３」の□の中に，１，２，４のいずれかのカードを入れていきます。最初は「１２÷３」です。　この問題は，既習の簡単な内容です。それでもたこ焼きを使って「図」に表して答えを求め，「３×□=１２」という，かけ算構造を確認してから立式し，３の段を使って答えを求めます。これを「２１÷３」や「２４÷３」まで，少しずつ活動を短縮していきながら確かめておきます。ねらいは「九九の逆」がわり算だという意識を強くするためです。　次に「４２÷３」に進みました。ここで私の方から，「えっ，これは九九にないよ。」と投げかけます。するとこの段階で，「余りがある」という言葉が出てきました。この言葉には「先取り学習」のにおいがプンプンします。「そうなの。」などと言っていくと，「あまりなんかないよ。」という声も出てきます。そこで，「でも，九九にないけどわり算の式にしてもいいんですか。」と本題に振っていきます。　子どもたちは「かまわない。」が圧倒的です。しかしその理由は，答えがあるから，と言います。アレイ図で確かめると確かに答えの１４が見えてきました。しかし，九九にないのに式にしていいのかという問題意識は薄いままです。「九九になければわり算にはならないよ。」という話に対し，一人の児童が，「九九にはないけど，１０や１１にしていったらちゃんとあるよ。という意見が出てきました。これを聞いて多くの児童が，「そうそう，もっと先にあるんだよ。」と言い出しました。九九にないように見えて，実は九九の先(かけ算)にちゃんと４２があるので，割り算にしてもよい，という意見でまとまっていきました。　こうしてようやく，本題の「１４÷３」に進めました。今度は正真正銘「九九にない。」ので，だめじゃないかとたずねました。しかしここでも子どもたちは構わないと言います。その理由として，「答えに，余りを書いたらよい。」という類いが上がります。完全に「先取り学習」の影響です。ほとんどの児童が疑っていない状況です。そこで，割り算を使わない式を紹介しました。「１４-３-３-３-３=２」という式です。これならば子どもたちがさかんに言っている「あまり２」が答えに見えています。一方，商である「４」は見えていません。それでも「－３の数で分かる。」という意見を引き出し，この式でこの問題の答えは求められる，ということを見せました。　この式を使って最後の「４１÷３」の場面を見せます。今度は「－３」をものすごくたくさん書かなければならないようになり，「めんどくさい。」という声があちこちで上がるようになりました。それでも何とか答えは見つかりましたが，毎回このようなことをしなければならないのは面倒です。そこで，「このように，九九にない場面でも。わり算が使えるようにしなければ面倒なことになる。」ということで，「約束」を作りました。　答えのかき価値などには全く触れず，立式の有無だけについて話し合う１時間となりました。先取り学習の色が強い子どもたちでかなり苦戦しました。少し前の子どもたちは，多くの児童が素直に，「九九にないからだめ。」と言っていたころと，時代が変わりつつあるように感じました。しかし，だからこそこのような授業が必要なのだと思っています。　にほんブログ村
18Sep
- 人的保障(飛び込み授業から)
  　相学級の先生が，急な病気のため１週間ほど休むことになりました。学年主任である私は，１週間分の授業計画を組まなければならなくなりました。ほとんどが，動画を見たりプリントをしたりする学習になるのですが，同じ学年の先生が「補教」に入る場合は，国語や算数の授業を進めておくように計画しました。　今の学校は学年４クラスなので，残り３人で国語と算数を分け合ってやることにしました。私は算数を２時間進めることにしました。　「余りのあるわり算」の，等分除の場面や，余りと割る数の関係などを進めました。日頃の授業の延長なので，いつものような飛び込みでの「活用授業」にはなってないので，子どもたちの「技能」などがもろに出てくる授業になりました。　日頃の授業の進め方をずらさないようにしていったので，もどかしい思いはたくさん感じました。それでも子どもたちの反応などはとても勉強になり，いい機会になりました。　　　今の学校現場の状況です。私は１週間に２時間の「空き時間」があります。(書写と外国語活動１時間ずつ)その貴重な時間が，一人の先生が休んだだけですべてなくなり，１週間空き時間なしとなるのです。うちの学校だけではなく，どこも同じ状態で，これが今言われている学校を取り巻く環境の問題点だと思います。学校が欲しているのは「人的パワー」の増強です。　にほんブログ村
17Sep
- 家までの道のり
  　「長さ」の単元最後の時間です。教科書では，長さを時間をもとに考える活動を行っています。そこでまず，「みんなの家から学校までの道のりを考えよう。」と直接投げかけました。これまで長さをはかるためには「３０㎝ものさし」「１mものさし」「巻き尺」などを使ってきましたが，今回はそれらを使うことはできません。そこで，「道具を使わずに測定する方法はありませんか。」とたずねました。　最初に出てきたのは，「自分の家にある」ということで，長さを測定する機械の話が出てきました。ウォーキングメジャーのことでしょうか。　さらに次に出てきたのは「スマホ」で，アプリを使うとできる，ということです。現代の子どもたちはすぐにこのような発想になるんでしょうね。残念ながら教室には「ウォーキングメジャー」も「スマホ」もないということで別の方法を考えてもらいました。　ここで出てきたのは，１歩の長さを測っておいて，家から学校まで何歩あるのかが分かればできる，という方法です。これは５年生の「平均」の学習で行われる活動です。これに対して別の児童が，「いつも１歩が同じ長さじゃないよ。」と，心配する声が上がりました。まさに５年生で学ぶ「平均」の必要性を表した言葉になっています。いずれにしてもこの発想は，「長さ」をはかるために直接関係ない「歩数」を使うという方法でまとめておきます。　ここで「ストップウォッチ」を見せました。これが使えないかを考えさせました。教科書では「１００メートル歩くのにかかる時間」を使うようになっています。しかし子どもから出てきたのは，「１０秒に何メートル歩けるか」という発想です。「時間が分かれば道のりが分かる」という関数の考えに基づけば，こちらの方が自然です。そこで教科書とは違う，こちらのアイデアを使うことにしました。１０秒では後の処理が難しいことを押さえ，１分に歩ける道のりを考えることにしました。　実際に運動場を歩いて，それぞれの１分に進む道のりを求めました。(次の体育の時間を使った)　この後は，「計器選択」や「単位選択」のプリントを行い，教科書の練習題をして終了しました。実際の家までの道のりを求めるのは算数の時間外で行います。　にほんブログ村
16Sep
- 長さの計算
  　前時に新しい長さの単位「km」を学習しました。この日は，それを含んだ長さ同士のたし算・ひき算について考えていきます。　前時同様，左のような「架空の町」を設定して，学習を進めていきます。　まず，家から塾までの「道のり」を求めます。式は「１km２００m+９００m」です。これを自由に計算させます。　最初に出てきたのは，最初に「２００m+９００m」と，同じ単位の部分を足す方法です。計算した１１００mを，１km１００mにし，残しておいた１kmと合わせて計算する方法です。少し回りくどい説明になりましたが，筆算などと同じ計算方法になっています。２人目も結局はこの説明になっていました。　別の方法として，最初に１km２００mを「１２００m」にしておいて，単純にm同士のたし算にする方法です。これの方が多かったような気がします。　引き算になると，多くの児童が「単位をそろえる」方法で計算しています。その方が分かりやすいのでしょう。私個人は「減加法」や「減減法」のようなものも出てきてほしかったのですが，あまり反応がないので，深掘りする方向には向かいませんでした。　そのあとは，短冊に書かれた計算を「型」にしたがって提示して考えていきます。単純なものから，単位をそろえて考えるものや，kmだけになるものも含まれるようにしていきました。　ここまでの計算で使われてきた考え方は，黒板に残していっています。同じ単位同士を計算することや，１つの単位にそろえることなどをしっかり押さえておきました。小黒板問題も用意していたのですが，時間の関係で，教科書の練習題だけで終了しました。意外と時間がかかるものだということが分かりました。　にほんブログ村
12Sep
- 「㎞」導入
  　この日は「km」(キロメートル)を初めて学習する時間です。そのために，左のような「架空の町」を設定して，黒板に大きく貼り出します。いつも使っている小黒板６枚を組み合わせて作ったものになっています。この町を使っていろいろな「道のり」を求めます。　最初は「家～スーパー～コンビニ」の道のりです。地図を見て「２００+７００」で９００mになります。これは既習です。　次の問題は，「家～スーパー～郵便局」で，同じように計算すると「１０００m」になります。これを確認し，この１０００mを「１km.」ということを約束して，単位などを指導しました。　次の問題は「１２００m」になり，このような場合「１km２００m」と，２つの単位で表せることを指導します。　この後「家～学校」の最短道のりを見つけさせます。３種類の道があるので，それらをすべて計算し，一番短いのは「１km６００m」になるルートであることを見つけていきました。最後には「おばあちゃんち」をつけ足し(学校から５００m)，それを求めると「２１００m」になり，これも「２km１００m」と表せることを押さえました。　ここからは，ここまでで学習したことを，穴埋め問題で習熟していきます。短冊を使って，少しずつ穴埋めの考えを定着させていきます。単純な換算から，２つの単位を使うもの，空位のあるものなど易から難へ配置しています。　ここから教科書の練習題に入ります。その中に，「倍関係」を問う問題があり，苦戦している児童が多くいました。この問題をとらえ，全体の場で，「１m」「１０m」「１００m」「１０００m(１km.)」の関係を押さえていきました。　そのあとは，「もっとしゃべろう」などをして終了しました。　にほんブログ村
11Sep
- 丸いものを測る
  　前時に「巻き尺」を使って，教室の縦の長さを測りました。今日もこれを使って測定をしていきます。　今日はまず「教室の横」の長さを予想させます。前時の結果が「8ｍ50ｃｍ」だったので，それと比較して，少し短そうだと感じる児童が多かったようです。同じくらいかな，という感覚の者もいます。いずれにしても前時の結果を意識しながらの予想になっています。　実際に班で協力して測ってみると，大体7メートル弱になりました。私の学校の教室は，大体横が短くなっています。廊下から見て奥行きが短くなっているのです。ただし，校舎の端にあって，入り口が1つしかない教室は正方形に近くなっています。　ここでメジャーのもう一つ便利な機能を紹介します。それは，直線だけでなく，丸いものの長さが測れるということです。ウエストや胸囲を測ることができるということです。　その測り方については，動画で確認します。くるっと一巻きして，起点の０と重なった部分の目盛りを読めば分かります。教室にあるいろいな「丸いもの」の長さを，最初に予想してから測っていきます。　予想できた班から，実際に協力しながら測定をしていきます。不器用な児童は，なかなかくるりと一回りさせることも難しいようですが，何とか手伝いながら進めていきました。予想と比較すると，大きく外れた児童がいました。その理由として，「直線だったらなんとなくわかるけど，丸いものは分かりづらい。」という反応が出てきました。確かにその通りでしょう。水筒の周りが３０㎝以上あるというのは予想外だったようです。私の水筒は，直径が１０㎝くらいなので，そのようになるのですが，イメージするのは難しいようです。　楽しく測定活動を行った後は，巻き尺の目盛りの読み方練習を，プリントで行いました。無味乾燥な活動ですが，目盛りの読み方は，数直線の見方にもつながるのでここできっちりやっておきます。　にほんブログ村
10Sep
- 「長さ」導入
  　２学期最初の単元は「長さ」です。２年生で学習した長さより長くなります。導入は，夏休みの研修で学んだことを使わせてもらいます。「この校舎の廊下の長さはどの位かな。」とたずねました。子どもたちから出てきた予想は，そんなに突拍子もないようなものはなく，３０mから６５mの間でした。　ここで，「廊下の長さ」についての約束が必要なので，校舎の平面図を見せました。自分のクラスの一番後ろのところから，西の端になる２年生の教室のところの壁までにします。ちょうどこれと同じ部分の廊下には，青い中央線が引かれているので分かりやすくなっています。　これでどこの長さなのかは分かったのですが，それをクラス全員が廊下に出て，わいわい言いながら調べるとほかのクラスの迷惑になります。「一人も教室から出ない。」という条件で，廊下の長さが測れないかを考えていくことにしました。　平面図を眺めていた子どもたちから，少しずつ手が挙がり始めました。「１つの教室の長さが分かればできる。」「教室の幅は全部一緒になっている。」「教室が６つあるから，１つ調べて×６をするとよい。」という話が少しずつ広がっていきました。こうして，教科書に出ている「教室の長さを測る」ということが問題解決の手段として設定できました。これが夏休みに学んだ手法です。　教室の縦の長さを測ることになりました。最初は各班に「１m定規」を１本ずつ渡し，協力して調べさせました。結果を発表すると，８mから１０メートルの間で結構ずれがあります。　そこで今度は，巻き尺(メジャー)をわたし，これで測定することにします。動画で注意点だけを確認して，各班が素早く長さを測ることができました。今度は８メートル台に揃っています。　こうして，この位の長さになると，メジャーの方がより早く，より正確に測定できることが分かりました。これらの結果を「８m５０㎝」に集約して，廊下の長さを考えていきます。　８m５０㎝×６の計算は学習していません。しかし，mと㎝を分けて考えると，８m×６で４８m。５０㎝が６つで３mになることはよく分かるので，トータル５１m，という結論に達して授業は終了しました。　技能的には，教えたり練習したりするだけの場面ですが，教室の数を使ってアイデアを引き出せるところがとても面白いと思いました。　にほんブログ村
09Sep
- 夏休み最終研修2(３年　長さ)
  　夏休み研修２本目は，３年生の「長さ」の導入場面です。３年生の２学期最初の単元ですし，私の隣県の先生のとぴ込み授業だったので参観させていただきました。　この場面，教科書では教室の縦横の長さをはかることが始まります。しかしそれをはかる目的は希薄です。そこで最初は，「廊下の長さはどれくらいかな」を議題に乗せました。適当に予想をさせた後，校舎の絵地図を見せます。その絵地図を見ると，廊下の端から端までが，「教室７個分」くらいに見えるのです。それを見て子どもたちのほうから，「教室の縦の長さが分かればいい。」という意見が出たのでその話に転換していきました。大変すばらしい展開だと思いました。　ここで，教室の長さを予想する活動に入ります。条件として「定規は使わない」ということがありました。子どもたちは「１歩の長さ」「教科書やノートの長さ」「手を広げた長さ」などを利用して，６から９メートルくらいまでの予想に収まっていきました。この活動は，２年生でも同じようなことはやっているでしょう。だから必要ないという意見もありましたが，元にするものを決めてそのいくつ分，という考え方の確認のためにも，この活動は必要だと思っています。もちろん短時間で。　そのあとは，１人に１本の「１m定規」が与えられ，協力しながら測定する活動になりました。その結果を発表させ，それを利用して廊下の長さを考えさせたところで授業は終了しました。　最後の廊下の長さの根拠を述べる部分が時間不足でできなかったのは残念でしたが，授業のストーリーとしてはうまくいったのではないでしょうか。　さっそく２学期の授業に取り入れたいと思いました。ありがとうございました　にほんブログ村
08Sep
- 夏休み最終研修1(６年　円の面積)
  　毎年恒例の，夏休み最終研修に参加してきました。今回の要項の最初に，会長先生のコメントがあり，２１回目を迎えたこの研究会の設立趣意書が載せられていました。算数授業力向上を目指し，授業者も参会者もすべて対等の立場で議論していく，という内容です。大変懐かしい思いを感じました。というのは，私はこの研究会の第１回(２１年前)からずっと参加(途中，身内の不幸のため１回だけ不参加)してきているからです。第１回大会が行われたことは，この学校で起こった不幸な出来事から，その教訓を大切にしながら前へ向かって進んでいく，という力強い意欲の象徴でもあったのです。その時の授業からアレンジしたのが，私の「絵数字」でもありました。「それはこちら」　さて授業は２本見られました。１本目は６年生の「円の面積」で，この学校の先生の授業です。正方形に内接する円の面積が，正方形の面積の「７８．５％」になることを学習した後の時間に，左のような図を提示し，色のついている部分の面積を求めることが課題でした。正方形の１辺は４０㎝です。自力解決で出てきたのは，４通りです。①40×40－5×5×3.14×16 公式通りに，大きな正方形から円の面積を引く②(10×10－5×5×3.14)×16 小さい正方形で色部分の面積を求め16倍する③25×(1－0.57)÷2×16×4　正方形の中にできる芋の面積の割合を使う④40×40－20×20×3.14　１６個の円を，大きな１つの円と考える　大変難しい方法も出てきました。授業者のねらいは，前時に学んだ「78.5％」が，小さな形でも大きな形でも保たれていることを利用させようとするものでした。子どもたちの議論も，小さい78.5％が寄せ集まって大きな78.5％になることを一生懸命説明しようとし，聞くほうも何とか理解しようとがんばっていました。ただ，一般の学校の子どもたち(この学校でも少なからず同じだと思いますが)にはかなり難易度の高い話し合いでした。　授業は，この78.5％を利用しなければ解決できない，右の適用題(こちらは対角線が40㎝)に進んで終了しました。公式等が使えないかなり難易度の高い問題ですが，ねらいである78.5％を使うための問題だったようです。　後の研究会で指摘させていただいたのは，この授業のねらいを一般の学校でする場合の代案です。まず，求めるべき色を付ける部分は，円のほうでよいと思います。周りのほうを求めることだけでも抵抗感が高くなります。また「芋率」の話もその場合は出てきません。　さらに，適用題はレベルが高すぎます。最初の問題と同じ形であるものを利用し，それを「９分割」したもので考えさせるのはどうでしょうか。おそらく78.5％の話になりますが，懐疑的な児童もいるでしょう。そこで公式を使って考えるとき，円の半径が「20/3㎝」になり，計算して約分すると「20×20×3.14」と，大きなものと同じ式になります。16分割の時の半径「５㎝」も，「20/4㎝」なので，同じことになっています。式が常に保たれていることが，割合が保たれていることのイメージの一助になると思い指摘させていただきました。「私の実践はこちら」　いつもこの学校へ行くとこの授業者の授業を見せてもらっています。私にとって「飛び込み」は，第２選択でしかないからです。いつも主張のある授業をしてくださり，大変勉強になりました。ありがとうございました。　にほんブログ村
05Sep
- ８月上旬研修2(６年　場合の数)
  　８月上旬研修２本目は，６年生の「場合の数」で，じゃんけんを話題にしていました。普通のじゃんけんで，あいこにならず勝ち負けができるのが全部で６通りあることを確認します。さらにAさんとBさんが２人で対戦した場合，どちらも３通りの勝ち方があることも確認されました。　ここで，新しい「４つ目の手」をじゃんけんに付け加えることにしました。この手「ヘイ」は，グーとチョキには勝つのですが，パーには負けるという手です。この４つになると，勝敗はどうなるかを調べていきました。(その前に一度，実際にこのじゃんけんをすると，ほとんどの児童が「ヘイ」を出していました。)　その結果，２つの手に勝てる「ヘイ」は，勝つ場合が２つあることが分かりました。さらに，新しく勝つ相手ができた「パー」も勝つ場合が増えることが分かりました。　ここまで来て，子どもたちにここからもう少し考えみたいことを発表してもらいました。「グーをなくしたら，今までのじゃんけんと同じになる。」「もう１つ手を増やしたらみんな平等になりそう。」「２人ではなく，３人でやるとどうなるのか。」などの意見が出て，外国のじゃんけんなどについてタブレットで調べ，その結果をまとめていく活動に入りました。　ドイツには，「５すくみじゃんけん」などがあるようなので，１つ手を増やし(「イエーイ」にしてみると)，「パー」と「ヘイ」に勝てるよう設定すると，５つの手がみんな平等になることが分かりました。　面白い題材です。どこで使うかの問題ですが，この場合の数の発展として「確率」の一つとして扱うと面白いのではないかと感じました。ユニークな教材，ありがとうございました。　にほんブログ村
04Sep
- ８月上旬研修1(５年　割合1)
  　８月上旬に，リモートで某国立大学附属小学校の研究会に参加させてもらいました。今年で２年連続です。授業２本は，オンデマンドで拝見させていただきました。１本目は，５年生の「割合１」です。　問題は，自校を題材にした「割合のオペレータ」です。ほぼ同じものが教科書にもあります。問題が提示されるとすぐに，簡単な「自力解決」に入りました。リモートなので全部の子どもの反応はわかりませんが，画像には「かけ算とわり算が逆になっている児童」などが映っており，全員が簡単にできているわけではないことが分かります。　全体で，「式」が発表され，右の３つが板書されました。左の２つは，基本的に同じ考え方になっています。一番右の考えの児童は，２つのオペレータを和で表わしています。これらの式を眺めた後，本時のめあてである，「式を説明しよう」が設定されました。子どもたちは，ノートにいろんな図をかいて，正しい式の説明しようとしていました。　いくつかの図が発表されましたが，体育館の0.3倍が，元の学校全体の0.3倍のように見える図もあり，その図のおかしさなどが話し合われました。　そして最終的には，右のような「テープ図」に表されていきました。もとにする量に代わる「中庭」のテープを２本かいてまとめるのはとても分かりやすくよい図だと思いました。さらにその後式の話し合いの中で，オペレータの考え方で計算された「0.12倍」が，上の数直線(学校全体を１とした数直線)のどこにあたるのかも図示されていればベストだったと思います。　ちなみに同じ場面を私がやった実践は「こちら」です。条件を自分で見つけ出し，既習である「関係図」を中心に進めています。テープ図はそれほど使っていないからです。ただイメージを作るための「面積図」は補助的に使っています。　オーソドックスな授業で，多くの先生方のお手本になるような授業だったと思います。ありがとうございました。　>にほんブログ村
03Sep
- ７月下旬研修2(３年　あまりのあるわり算)
  　７月下旬研修２本目は，３年生の「あまりのある割り算」です。この日の問題は，左のようなもので，教科書にも単元終末によく出てくる「あまりの処理」を伴う問題です。この場合は「繰り上げ」て処理しますが，反対に「切り捨て」て処理する問題もあります。　最近，「長いす」というのはあまり使われない言葉になっていますが，子どもたちは何となくイメージできているようで，「あまりの２人」にも座る椅子が必要なので，１を足して８きゃく，と答えが導き出されました。一般的な授業であれば，この考え方をまとめた後，適用題などに移るでしょう。　しかし，この日の授業者は，次のように話しだしました。「算数的には，これで正解だけど，現実の世界ではどうだろうね。」すると子どもたちからは，「詰めたらもっと座れる。」などの話が出てきました。それを受けて，「３０人といってもいろんな人がいるはずだね。大人・子ども・お年寄り・赤ちゃん・体の大きな人，などです。」と言いながら，「もしこんな３０人だったら何きゃくになるか，考えてみてください。」と本当のねらいに進んでいきました。　子どもたちの反応は，８脚より減らそうとする発想が多かったのですが，逆に１５脚必要な場面も考えるなど，子どもらしい発想が出てきました。しかし私はこれを見ていて，「算数的な意義は何なのだろう。」ということを感じました。この場面転換は，完全に「条件変更」になっています。条件変更は，算数では意味のある活動なのでいいのですが，この場合の変更は「算数的」には無茶苦茶になっています。「全員が１脚に座る」などというのは非現実的ですし，「母４人・子ども４人」は膝に乗せるイメージでしょうが，算数的な条件変更ではありえません。日常生活との関連を考えることを大切にしたいのでしょうが，私には疑問が残りました。　代案として，「１脚足りなくて７脚しかないんだよ。どんな工夫をしたらいいかな。」などと問い，「小さな子ども連れがいたら，5人や6人ですわってもらう」など，少しだけ日常生活を取り入れる(子どものほうから３０人の中身を考えるように)くらいの方法を考えました。あるいは，「全員２９名にして，１脚に座れるのを３～４人にする」というのはどうでしょうか。そうすると「２９÷３＝９あまり２」と「２９÷４＝７あまりに１」という２つの計算結果から，そのあとの処理を考えるという展開はどうでしょうか。これは，最初の「条件そのものをあいまいにしておく」という手法を取り入れています。　７月下旬のこの時期，まだ夏休みに入っていなかった子どもたちがよくがんばってくれました。ありがとうございました。　にほんブログ村
02Sep
- ７月下旬研修1(３年　円と球)
  　７月下旬に，某国立大学附属小学校の研究会に参加させていただきました。今年で２年連続の参加となります。授業は２本見られました。１本目は，３年生の「円と球」の活用場面です。　左のような問題で，これは教科書にもよくある問題です。２つの形を見て，子どもたちは「アサガオ」「四つ葉」などと言っています。この２つの形をコンパスを使って作図することが問題です。　最初に，それぞれの形に何個の円が見えるかを問いました。左の「アサガオ」は5個，右の「四つ葉」は４個，ということが話し合われました。それぞれの形は「４×４」のマス目の中にかかれているので，中心がどこになるのかはわかりやすくなっています。それですぐに「自力解決」に入りました。　ところが，多くの児童が上手く作図できません。できているのは一握りの児童だけです。そこで子どもたちの戸惑いの様子を，自分の前にいた児童でよく見てみることにしました。いくつかの「要因」があるように感じました。　一つ目に，コンパスが正しく回せていないことです。コンパスは，どちらかの手の親指と人差し指で「頭」の部分を持ち，手首をひねりながら回さなければならないのですが，多くの児童が，２本の「足」の部分をもって回そうとしているのです。その結果，コンパス全体が倒れ，針が外れたり，半径がずれてしまったりしているようなのです。　それと関連して，「道具」の問題があります。このクラスでは全員が同じコンパスを使っていたのですが，そのコンパスには「針を保護」するプラスチックカバーがついていますが，それを外さずに使っている児童が何人かいました。また，外した児童もそのカバーをコンパスの「頭」の部分に着けている(マジックの蓋を反対側にさす，ような感じ)ので，そもそも「頭」を持つことができないようになっているのです。　２つ目は，図形感覚の問題で，「中心」の位置を見つけることができないのです。升目をうまく利用できない児童がこんなにたくさんいるのかと驚きました。自分のイメージだけで，適当に針を刺し，作図するとずれているので消す，の繰り返しになるのです。イライラした子どもの中には，フリーハンドでなんとなく「アサガオ」をかいて喜んでいる児童までいました。　さらに，半径は２㎝なのですが，これが正しく開けられないのです。その理由をよく見てみると，コンパスの２つの先(針と鉛筆)を定規にあてるのですが，定規の正しい位置にあてられていないのです。０は下の部分にあて，２は目盛りの上の部分にあてているのです。これだと斜めになっているので実際より長くなっていしまいます。このミスコンセプションは，「数直線」でも現れます。指定した場所が「数直線」のどこになるのかを指ささせると，これと同じように目盛りの上の部分を指さします。私は必ず訂正させています。数直線は，横に伸びた直線上の位置が数字を表しているので，直線上の位置を指ささなければいけません。　半年ほど前に，この学校の授業を見に行った時にも，コンパス等の使い方について，両極端な授業を見ました。「問題点を感じのはこちら」https://ameblo.jp/mathsansuu/entry-12890873285.html?frm=theme「よくできていたのはこちら」https://ameblo.jp/mathsansuu/entry-12890872920.html?frm=theme　改めて，技能を養っておくことの大切さを感じました。授業は，この後ノートにたくさんの「アサガオ」と「四つ葉」をどんどん作図させていきました。すると，両方の図が同じ図になっているのです。「アサガオ」を作図すれば自然に「四つ葉」の作図になっているのです。そんなしかけもしっかり含まれていた楽しい授業でした。ありがとうございました。　にほんブログ村
01Sep
- 夏休み当初研修4(２年　ひき算)
  　夏休み当初研修４本目は，２年生の「ひき算」です。１学期に「２桁－２桁の筆算」を学習している子どもたちにとっての習熟+「活用」場面です。　問題は，左のようなものです。１から４までの数字を当てはめて，答えが一番小さくなるような計算を見つけます。最初適当に「１２－３４」を入れると子どもたちから「引けないよ。」という声が出てきます。小さいものから大きいものは引けません。そこで入れ替えて「３４－１２」にすれば「２２」となります。これで問題の意味が分かりました。　私も似たような授業をしたことがありますが，問題を提示すればすぐに個別に取り組ませていました。しかしこの日は，「十の位に何が入るのか。」については，個別活動ではなく，全体で話し合って考えていく授業構成でした。　十の位は大きい数字から小さい数字を引かなければなりませんが，できるだけ小さくするためには，その差が「１」(10)になるように入れる必要があります。したがって，考えられるのは，右の３種類です。ここまで全体で話し合えば，低位な児童でも残り２枚をどうすればよいかだけを考えればいいので，全員が動くことができます。　ここでようやく自力解決の時間を取り，個別にいくつかの計算を考えています。この後の発表は，教師の意図的指名で進めていきます。　最初は「２４－１３＝１１」です。「11」は子どもたちが一番たくさん見つけていたようです。位ごとに一番小さい「１」にするという素直な発想です。しかし，それよりも小さい数字になるものがあるというのです。次に取り上げたのは「２３－１４」という，先の計算の位をひっくり返した数字になっています。これだと「９」になります。ここで授業者から，「どうして答えが変わったんだろう。」という発問が出されました。それに対して，「数字が入れ変わったから」「もともとの式が変わったから」「繰り下がりがあるから」などの意見が出てきました。「２」小さくなった理由も尋ねましたが，それは出てきませんでした。これが出るためには，筆算ではなく，横書きの式が必要でしょう。(引かれる数が１小さくなり，引く数が１大きくなるから)　授業のねらいとしては，この「繰り下がり」があることに気づければほぼ達成と言えるでしょう。これに気づけるか気づけないかが大きなハードルです。「でももっと小さくなった人がいるんだよね。」と投げかけられ，それが「３１－２４＝７」です。一の位の数を，できるだけ小さいものから大きいものを引くようにすると出来上がります。そうなる理由までは触れられませんでしたし，この計算に行きつくことが目的ではないでしょう。　楽しさと技能と考え方を高いレベルで融合させることができた素晴らしい授業だったと思います。２年生としてはすごい表現力がある子どもたちにも感謝したいと思います。　にほんブログ村
31Aug
- 「算聖」の地(夏休みの旅行から)
  　ここ数年，毎年恒例として夏休みの終盤に，妻と２泊３日で旅行をしています。今年は，群馬県に行きました。１日目は「伊香保温泉」に行き，有名な石段を上り，ゆっくり温泉に使って日頃の疲れをいやしました。　２日目は，富岡製糸場の見学をして，近代の日本の発展について改めて勉強させてもらいました。夜は高崎駅近くのビジネスホテルに泊まり，夜の街を２人で楽しみました。　さて，最終日は，１日かけて地元に戻るのですが，朝一番で私が今回一つの目的にしていた場所へ足を運びました。それは，高崎市の隣の藤岡市にある「市民ホール」です。どうしてそんな所に行ったのかというと，そこに当地で生まれた，江戸時代前期の有名な「和算家」である「関孝和先生」の顕彰碑などがあるからです。　先生は，当時の日本で，私のようなものにはわからない難しい数学の理論を構築されていました。最も分かりやすいのは，この時期に「円周率」を小数第１１位まで算出していたことで，これは世界的にも最も早い適用例だったそうです。有名な「ベルヌー数」も，ベルヌーイ本人よりも少し早く発見していたそうです。当時の数学の世界では，ライプニッツ，ニュートンとともに「世界３大数学者」と言われていたようで，日本では「算聖」と呼ばれていたのです。胸像の下にも「算聖関孝和先生之像」とありました。　中学校の数学教師をしている娘にも聞いてみましたが，関孝和先生の名前はきっちり知っていたので，数学教育を勉強した人間は必ず学んだ人物と言えるでしょう。　約２時間の「寄り道」に付き合ってくれた妻には感謝しています。２年前にも，出雲旅行の際，「塩野直道先生」の所に付き合ってもらいました。「その様子はこちら」　毎年１００号発行しているクラスの「学級通信」は，毎年「数学者」の名前を付けてますが，今年初めて日本人である先生の名前を使って「孝和」としています。「その様子はこちら」夏休みにそんな原点の場所に行けてすっかり充電できました。明日からの新学期をがんばりたいと思います。蛇足　群馬の日本酒は本当に最高でした。　にほんブログ村
29Aug
- 夏休み当初研修3(４年　わり算)
  　夏休み当初研修３本目は，先と同じ４年生のわり算です。テーマも全く同じ「最難関教材の前にしておくべきこと」です。　問題は左のようなものです。まだ２桁で割る計算は学習していませんし，答え(商)も示されていません。それでも何人かの児童が，「３８だ。」と言っています。そう考えた根拠として，「答えが２だと思ったので１９×２をした。」「確かめ算みたいな感じでやった。」「３８だと，ちょうどよい数字になる。」などの意見が出てきました。「３８」がちょうどよいという表現は，子どもらしくておもしろく感じました。子どもからも「この問題だったら。」などの言葉が付け足されていました。　この後，「じゃあ，割られる数を大きくして商も大きくするよ。割る数を４０にして，４０÷１９にすると商はどうなるかな。」と投げかけました。子どもたちからは，「あまりが出るけど，商は変わらない。」という反応が返ってきました。しかし授業者は，「そんなはずないよ。足し算もひき算もかけ算も，左の数字を大きくしたら答えも大きくなるよ。わり算もそうなるでしょう。」と問い返します。子どもたちからは反論が出てきます。商は２だと言い張ります。「じゃあ，商はどうやって出したの。」と尋ねると，「ひき算で出した。」「１９×〇＝４０になるのを探した。そんな数ないけど，近いものでいいので２になる。」などのやり取りがあり，「43」「50」「56」などでも同様に考え，商が「２」で変わらないことを確認していきました。そして「57」になった時，ようやく商が３になることが確認されていきました。　ここまでの一連の活動を，左のような数直線でまとめられていきました。授業はこの後「１９３÷１９」や「１２１÷１９」などの商をイメージする活動を行って終了しました。　この日の授業は，最難関教材の中で最も難しい「仮商の立て方」に焦点を絞ったものになっています。１つの商に対してたくさんの「割られる数」があり，その範囲も決まっている，ということのイメージを作ろうとしているのです。まさにテーマの「最難関教材の前に」やっておくべきことで，素晴らしい「主張」だと思いました。　確かな主張・授業構成を見せてくたさった授業者の先生と，豊かな表現力を見せてくれた子どもたちに感謝したいと思います。　にほんブログ村

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