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05Sep
- ８月上旬研修2(６年　場合の数)
  　８月上旬研修２本目は，６年生の「場合の数」で，じゃんけんを話題にしていました。普通のじゃんけんで，あいこにならず勝ち負けができるのが全部で６通りあることを確認します。さらにAさんとBさんが２人で対戦した場合，どちらも３通りの勝ち方があることも確認されました。　ここで，新しい「４つ目の手」をじゃんけんに付け加えることにしました。この手「ヘイ」は，グーとチョキには勝つのですが，パーには負けるという手です。この４つになると，勝敗はどうなるかを調べていきました。(その前に一度，実際にこのじゃんけんをすると，ほとんどの児童が「ヘイ」を出していました。)　その結果，２つの手に勝てる「ヘイ」は，勝つ場合が２つあることが分かりました。さらに，新しく勝つ相手ができた「パー」も勝つ場合が増えることが分かりました。　ここまで来て，子どもたちにここからもう少し考えみたいことを発表してもらいました。「グーをなくしたら，今までのじゃんけんと同じになる。」「もう１つ手を増やしたらみんな平等になりそう。」「２人ではなく，３人でやるとどうなるのか。」などの意見が出て，外国のじゃんけんなどについてタブレットで調べ，その結果をまとめていく活動に入りました。　ドイツには，「５すくみじゃんけん」などがあるようなので，１つ手を増やし(「イエーイ」にしてみると)，「パー」と「ヘイ」に勝てるよう設定すると，５つの手がみんな平等になることが分かりました。　面白い題材です。どこで使うかの問題ですが，この場合の数の発展として「確率」の一つとして扱うと面白いのではないかと感じました。ユニークな教材，ありがとうございました。　にほんブログ村
04Sep
- ８月上旬研修1(５年　割合1)
  　８月上旬に，リモートで某国立大学附属小学校の研究会に参加させてもらいました。今年で２年連続です。授業２本は，オンデマンドで拝見させていただきました。１本目は，５年生の「割合１」です。　問題は，自校を題材にした「割合のオペレータ」です。ほぼ同じものが教科書にもあります。問題が提示されるとすぐに，簡単な「自力解決」に入りました。リモートなので全部の子どもの反応はわかりませんが，画像には「かけ算とわり算が逆になっている児童」などが映っており，全員が簡単にできているわけではないことが分かります。　全体で，「式」が発表され，右の３つが板書されました。左の２つは，基本的に同じ考え方になっています。一番右の考えの児童は，２つのオペレータを和で表わしています。これらの式を眺めた後，本時のめあてである，「式を説明しよう」が設定されました。子どもたちは，ノートにいろんな図をかいて，正しい式の説明しようとしていました。　いくつかの図が発表されましたが，体育館の0.3倍が，元の学校全体の0.3倍のように見える図もあり，その図のおかしさなどが話し合われました。　そして最終的には，右のような「テープ図」に表されていきました。もとにする量に代わる「中庭」のテープを２本かいてまとめるのはとても分かりやすくよい図だと思いました。さらにその後式の話し合いの中で，オペレータの考え方で計算された「0.12倍」が，上の数直線(学校全体を１とした数直線)のどこにあたるのかも図示されていればベストだったと思います。　ちなみに同じ場面を私がやった実践は「こちら」です。条件を自分で見つけ出し，既習である「関係図」を中心に進めています。テープ図はそれほど使っていないからです。ただイメージを作るための「面積図」は補助的に使っています。　オーソドックスな授業で，多くの先生方のお手本になるような授業だったと思います。ありがとうございました。　>にほんブログ村
03Sep
- ７月下旬研修2(３年　あまりのあるわり算)
  　７月下旬研修２本目は，３年生の「あまりのある割り算」です。この日の問題は，左のようなもので，教科書にも単元終末によく出てくる「あまりの処理」を伴う問題です。この場合は「繰り上げ」て処理しますが，反対に「切り捨て」て処理する問題もあります。　最近，「長いす」というのはあまり使われない言葉になっていますが，子どもたちは何となくイメージできているようで，「あまりの２人」にも座る椅子が必要なので，１を足して８きゃく，と答えが導き出されました。一般的な授業であれば，この考え方をまとめた後，適用題などに移るでしょう。　しかし，この日の授業者は，次のように話しだしました。「算数的には，これで正解だけど，現実の世界ではどうだろうね。」すると子どもたちからは，「詰めたらもっと座れる。」などの話が出てきました。それを受けて，「３０人といってもいろんな人がいるはずだね。大人・子ども・お年寄り・赤ちゃん・体の大きな人，などです。」と言いながら，「もしこんな３０人だったら何きゃくになるか，考えてみてください。」と本当のねらいに進んでいきました。　子どもたちの反応は，８脚より減らそうとする発想が多かったのですが，逆に１５脚必要な場面も考えるなど，子どもらしい発想が出てきました。しかし私はこれを見ていて，「算数的な意義は何なのだろう。」ということを感じました。この場面転換は，完全に「条件変更」になっています。条件変更は，算数では意味のある活動なのでいいのですが，この場合の変更は「算数的」には無茶苦茶になっています。「全員が１脚に座る」などというのは非現実的ですし，「母４人・子ども４人」は膝に乗せるイメージでしょうが，算数的な条件変更ではありえません。日常生活との関連を考えることを大切にしたいのでしょうが，私には疑問が残りました。　代案として，「１脚足りなくて７脚しかないんだよ。どんな工夫をしたらいいかな。」などと問い，「小さな子ども連れがいたら，5人や6人ですわってもらう」など，少しだけ日常生活を取り入れる(子どものほうから３０人の中身を考えるように)くらいの方法を考えました。あるいは，「全員２９名にして，１脚に座れるのを３～４人にする」というのはどうでしょうか。そうすると「２９÷３＝９あまり２」と「２９÷４＝７あまりに１」という２つの計算結果から，そのあとの処理を考えるという展開はどうでしょうか。これは，最初の「条件そのものをあいまいにしておく」という手法を取り入れています。　７月下旬のこの時期，まだ夏休みに入っていなかった子どもたちがよくがんばってくれました。ありがとうございました。　にほんブログ村
02Sep
- ７月下旬研修1(３年　円と球)
  　７月下旬に，某国立大学附属小学校の研究会に参加させていただきました。今年で２年連続の参加となります。授業は２本見られました。１本目は，３年生の「円と球」の活用場面です。　左のような問題で，これは教科書にもよくある問題です。２つの形を見て，子どもたちは「アサガオ」「四つ葉」などと言っています。この２つの形をコンパスを使って作図することが問題です。　最初に，それぞれの形に何個の円が見えるかを問いました。左の「アサガオ」は5個，右の「四つ葉」は４個，ということが話し合われました。それぞれの形は「４×４」のマス目の中にかかれているので，中心がどこになるのかはわかりやすくなっています。それですぐに「自力解決」に入りました。　ところが，多くの児童が上手く作図できません。できているのは一握りの児童だけです。そこで子どもたちの戸惑いの様子を，自分の前にいた児童でよく見てみることにしました。いくつかの「要因」があるように感じました。　一つ目に，コンパスが正しく回せていないことです。コンパスは，どちらかの手の親指と人差し指で「頭」の部分を持ち，手首をひねりながら回さなければならないのですが，多くの児童が，２本の「足」の部分をもって回そうとしているのです。その結果，コンパス全体が倒れ，針が外れたり，半径がずれてしまったりしているようなのです。　それと関連して，「道具」の問題があります。このクラスでは全員が同じコンパスを使っていたのですが，そのコンパスには「針を保護」するプラスチックカバーがついていますが，それを外さずに使っている児童が何人かいました。また，外した児童もそのカバーをコンパスの「頭」の部分に着けている(マジックの蓋を反対側にさす，ような感じ)ので，そもそも「頭」を持つことができないようになっているのです。　２つ目は，図形感覚の問題で，「中心」の位置を見つけることができないのです。升目をうまく利用できない児童がこんなにたくさんいるのかと驚きました。自分のイメージだけで，適当に針を刺し，作図するとずれているので消す，の繰り返しになるのです。イライラした子どもの中には，フリーハンドでなんとなく「アサガオ」をかいて喜んでいる児童までいました。　さらに，半径は２㎝なのですが，これが正しく開けられないのです。その理由をよく見てみると，コンパスの２つの先(針と鉛筆)を定規にあてるのですが，定規の正しい位置にあてられていないのです。０は下の部分にあて，２は目盛りの上の部分にあてているのです。これだと斜めになっているので実際より長くなっていしまいます。このミスコンセプションは，「数直線」でも現れます。指定した場所が「数直線」のどこになるのかを指ささせると，これと同じように目盛りの上の部分を指さします。私は必ず訂正させています。数直線は，横に伸びた直線上の位置が数字を表しているので，直線上の位置を指ささなければいけません。　半年ほど前に，この学校の授業を見に行った時にも，コンパス等の使い方について，両極端な授業を見ました。「問題点を感じのはこちら」https://ameblo.jp/mathsansuu/entry-12890873285.html?frm=theme「よくできていたのはこちら」https://ameblo.jp/mathsansuu/entry-12890872920.html?frm=theme　改めて，技能を養っておくことの大切さを感じました。授業は，この後ノートにたくさんの「アサガオ」と「四つ葉」をどんどん作図させていきました。すると，両方の図が同じ図になっているのです。「アサガオ」を作図すれば自然に「四つ葉」の作図になっているのです。そんなしかけもしっかり含まれていた楽しい授業でした。ありがとうございました。　にほんブログ村
01Sep
- 夏休み当初研修4(２年　ひき算)
  　夏休み当初研修４本目は，２年生の「ひき算」です。１学期に「２桁－２桁の筆算」を学習している子どもたちにとっての習熟+「活用」場面です。　問題は，左のようなものです。１から４までの数字を当てはめて，答えが一番小さくなるような計算を見つけます。最初適当に「１２－３４」を入れると子どもたちから「引けないよ。」という声が出てきます。小さいものから大きいものは引けません。そこで入れ替えて「３４－１２」にすれば「２２」となります。これで問題の意味が分かりました。　私も似たような授業をしたことがありますが，問題を提示すればすぐに個別に取り組ませていました。しかしこの日は，「十の位に何が入るのか。」については，個別活動ではなく，全体で話し合って考えていく授業構成でした。　十の位は大きい数字から小さい数字を引かなければなりませんが，できるだけ小さくするためには，その差が「１」(10)になるように入れる必要があります。したがって，考えられるのは，右の３種類です。ここまで全体で話し合えば，低位な児童でも残り２枚をどうすればよいかだけを考えればいいので，全員が動くことができます。　ここでようやく自力解決の時間を取り，個別にいくつかの計算を考えています。この後の発表は，教師の意図的指名で進めていきます。　最初は「２４－１３＝１１」です。「11」は子どもたちが一番たくさん見つけていたようです。位ごとに一番小さい「１」にするという素直な発想です。しかし，それよりも小さい数字になるものがあるというのです。次に取り上げたのは「２３－１４」という，先の計算の位をひっくり返した数字になっています。これだと「９」になります。ここで授業者から，「どうして答えが変わったんだろう。」という発問が出されました。それに対して，「数字が入れ変わったから」「もともとの式が変わったから」「繰り下がりがあるから」などの意見が出てきました。「２」小さくなった理由も尋ねましたが，それは出てきませんでした。これが出るためには，筆算ではなく，横書きの式が必要でしょう。(引かれる数が１小さくなり，引く数が１大きくなるから)　授業のねらいとしては，この「繰り下がり」があることに気づければほぼ達成と言えるでしょう。これに気づけるか気づけないかが大きなハードルです。「でももっと小さくなった人がいるんだよね。」と投げかけられ，それが「３１－２４＝７」です。一の位の数を，できるだけ小さいものから大きいものを引くようにすると出来上がります。そうなる理由までは触れられませんでしたし，この計算に行きつくことが目的ではないでしょう。　楽しさと技能と考え方を高いレベルで融合させることができた素晴らしい授業だったと思います。２年生としてはすごい表現力がある子どもたちにも感謝したいと思います。　にほんブログ村
31Aug
- 「算聖」の地(夏休みの旅行から)
  　ここ数年，毎年恒例として夏休みの終盤に，妻と２泊３日で旅行をしています。今年は，群馬県に行きました。１日目は「伊香保温泉」に行き，有名な石段を上り，ゆっくり温泉に使って日頃の疲れをいやしました。　２日目は，富岡製糸場の見学をして，近代の日本の発展について改めて勉強させてもらいました。夜は高崎駅近くのビジネスホテルに泊まり，夜の街を２人で楽しみました。　さて，最終日は，１日かけて地元に戻るのですが，朝一番で私が今回一つの目的にしていた場所へ足を運びました。それは，高崎市の隣の藤岡市にある「市民ホール」です。どうしてそんな所に行ったのかというと，そこに当地で生まれた，江戸時代前期の有名な「和算家」である「関孝和先生」の顕彰碑などがあるからです。　先生は，当時の日本で，私のようなものにはわからない難しい数学の理論を構築されていました。最も分かりやすいのは，この時期に「円周率」を小数第１１位まで算出していたことで，これは世界的にも最も早い適用例だったそうです。有名な「ベルヌー数」も，ベルヌーイ本人よりも少し早く発見していたそうです。当時の数学の世界では，ライプニッツ，ニュートンとともに「世界３大数学者」と言われていたようで，日本では「算聖」と呼ばれていたのです。胸像の下にも「算聖関孝和先生之像」とありました。　中学校の数学教師をしている娘にも聞いてみましたが，関孝和先生の名前はきっちり知っていたので，数学教育を勉強した人間は必ず学んだ人物と言えるでしょう。　約２時間の「寄り道」に付き合ってくれた妻には感謝しています。２年前にも，出雲旅行の際，「塩野直道先生」の所に付き合ってもらいました。「その様子はこちら」　毎年１００号発行しているクラスの「学級通信」は，毎年「数学者」の名前を付けてますが，今年初めて日本人である先生の名前を使って「孝和」としています。「その様子はこちら」夏休みにそんな原点の場所に行けてすっかり充電できました。明日からの新学期をがんばりたいと思います。蛇足　群馬の日本酒は本当に最高でした。　にほんブログ村
29Aug
- 夏休み当初研修3(４年　わり算)
  　夏休み当初研修３本目は，先と同じ４年生のわり算です。テーマも全く同じ「最難関教材の前にしておくべきこと」です。　問題は左のようなものです。まだ２桁で割る計算は学習していませんし，答え(商)も示されていません。それでも何人かの児童が，「３８だ。」と言っています。そう考えた根拠として，「答えが２だと思ったので１９×２をした。」「確かめ算みたいな感じでやった。」「３８だと，ちょうどよい数字になる。」などの意見が出てきました。「３８」がちょうどよいという表現は，子どもらしくておもしろく感じました。子どもからも「この問題だったら。」などの言葉が付け足されていました。　この後，「じゃあ，割られる数を大きくして商も大きくするよ。割る数を４０にして，４０÷１９にすると商はどうなるかな。」と投げかけました。子どもたちからは，「あまりが出るけど，商は変わらない。」という反応が返ってきました。しかし授業者は，「そんなはずないよ。足し算もひき算もかけ算も，左の数字を大きくしたら答えも大きくなるよ。わり算もそうなるでしょう。」と問い返します。子どもたちからは反論が出てきます。商は２だと言い張ります。「じゃあ，商はどうやって出したの。」と尋ねると，「ひき算で出した。」「１９×〇＝４０になるのを探した。そんな数ないけど，近いものでいいので２になる。」などのやり取りがあり，「43」「50」「56」などでも同様に考え，商が「２」で変わらないことを確認していきました。そして「57」になった時，ようやく商が３になることが確認されていきました。　ここまでの一連の活動を，左のような数直線でまとめられていきました。授業はこの後「１９３÷１９」や「１２１÷１９」などの商をイメージする活動を行って終了しました。　この日の授業は，最難関教材の中で最も難しい「仮商の立て方」に焦点を絞ったものになっています。１つの商に対してたくさんの「割られる数」があり，その範囲も決まっている，ということのイメージを作ろうとしているのです。まさにテーマの「最難関教材の前に」やっておくべきことで，素晴らしい「主張」だと思いました。　確かな主張・授業構成を見せてくたさった授業者の先生と，豊かな表現力を見せてくれた子どもたちに感謝したいと思います。　にほんブログ村
28Aug
- 単位量あたり２本(事前研から)
  　算数部会の，夏休み最後の事業は，秋の県大会に向けての「支部長会」と「事前検討会」です。８月末の一日仕事となりました。　午前中は，各郡市の代表校長先生(支部長)が集まり，大会への申し込み方法や，大会要項の中身などについての検討を行いました。場所はいつもよく使っている会館です。　午後は，場所を県大会を行う小学校に移動して，事前研究会です。授業者・発表者・司会者・助言者が集まり，中身の検討を行います。私は，授業は５年生，分科会は「測定・変化と関係」の担当となっています。１時間ずつに分けて２つのことを検討するのですが，偶然にもどちらも「５年生の単位量あたり」の導入場面をメインにしようということになったので，ほとんど同時に検討をしていきました。　どちらもまだ実践をしていないので，導入場面をどうするかということが話し合いの中心です。どちらの先生も「こみ具合」を題材にしていますが，提案されていたものには微妙な違いがあります。一方の先生は(以下A)「カーペットの枚数と人数」でカーペットの方が大きい数になっています。もう一方の先生(以下B)は「レジャーシートと人数」で，人数の方が大きい数字になっています。　この２つの違いを考える前に，「単位量あたり」の導入場面でやらなければならないことを押さえておきます。(「こみ具合」で導入する場合)①「こみ具合」という新しい「量」(内包量)の存在を意識させること。②比較するためには，２つの量が必要であることに気づかせること。③「人が偏らずに均等に配置されている状況同士の比較をしている」ことを意識させること。(平均の考え)④２つの量には比例関係があることを意識させること。　この４つがしっかり押さえられたうえで，「くらべ方」を考えていく必要があります。そのような観点で，AとBの教材を比較してみることにします。　イラスト等を見せて混んでいる様子をイメージさせる場面(①の量の存在を意識させる活動)では，Aの方が明確に「違い」が見えています。　人間を均等に配置した場合について考えていることを押さえる「③平均の考え」は，シートによって混み具合(人数)が異なるBの方がアイデアが出やすいでしょう。　比べ方を考える場面に入った時，「同じ枚数なら人数が多い方が混んでいる」や「同じ人数なら枚数が少ないほうが混んでいる」などを体験させたい場合，Bのレジャーシートは可能でしょうが，Aは枚数が多いので実現不可能です。　数字の大小については，大きい数字を小さい数字で割る方が出やすいので，Aは一人あたり，Bは１枚あたり，のアイデアが出やすくなります。　どちらの教材でも共通に問題になるのは，これらの話し合いの中で「②２量が必要」は，問い返しなどの教師の導きで押さえていく必要があります。また「④比例関係」については，手だてなしでは出ないと思われる(公倍数などで，どちらか一方をそろえるアイデア)ので，意図的に「４つ目のシチュエーション」を作り，「同じ混み具合」を話し合う場面が必要なのではないか，という話をさせていただきました。　この１時間で「単位量あたり」までいけることはないと思います。もしいけたなら，一部の児童の発言だけで進めていったということになるでしょう。ちなみに私は単位量あたりの導入は２時間をかけています。「１時間目はこちら」「２時間目はこちら」　研究会なので，最後までいけないことを指摘する参会者もいると思いますが，それは私が全力でフォローしたいと思っています。１１月が楽しみになりました。２人の先生に感謝したいと思います。　にほんブログ村
27Aug
- 夏休み当初研修2(４年　わり算)
  　夏休み当初研修２本目は，４年生の「わり算」です。テーマは，２学期の最難関単元「２桁で割るわり算」に向けて，何をしておくべきか，ということでした。授業者は，当地の公立小学校の先生です。地元代表，ということになります。　活動は，左のような問題です。１,２,３のカードを組み合わせて３桁の整数を作ると，６種類ができます。それを全部９で割ります。するとすべての計算で「あまりが６」になります。まず最初にたくさんの計算をして，結果が並べられました。本来であればここで，「あっ，全部余りが６になっている。」など，驚き・不思議さを表す言葉が欲しいのですが，子どもたちは淡々と計算を眺めています。　この後数字を「１,２,４」に変えて同様のことをすると「あまりが７」になります。しかしやっぱり反応が薄いのです。「何か気が付いたことはありませんか。」と発問すれば，子どもたちからはいろいろな意見が出てきます。それらを確認した後，「どうして，全部余りが６になるのかを考えよう。」と投げかけ，「アレイ図」が出てきて教師主導の説明が始まりました。子どもたちの活動は指示に従って，丸で囲むだけで，決して主体的な活動にはなっていませんでした。　このタイプの「説明」はかなり難しい面があります。現実的には，２桁の計算くらいで，やらなければイメージできないでしょう。以前，全国学テで穴埋め問題として出されていたことがありました。そのくらい教師が入っていかないと難しい活動です。　また，あまりがそろった時の感動が少ないのは，「計算してみましょう。」といわれただけの活動であり，さらにすべての計算を一人でやったものでもないからです。「あまりが〇になったら勝ち」などのゲーム要素を入れ，いつも同じあまりになる秘密を自分たちから主体的に見つけなければ生まれないでしょう。　県代表として，楽しい授業をしようとした意図はよくわかりました。わり算に対して「楽しさ」を感じさせておくことが最難関教材を前にして大切なことだという考えなのでしょう。子どもたちも指示に従って一生懸命作業に取り組んでいました。ありがとうございました。　にほんブログ村
26Aug
- 石はいくつかな(登校日の授業)
  　毎年，お盆明けには夏休みですが「登校日」があります。通常通り登校して，１１時前には下校するので，２時間程度の時間しかありませんが，そんな日でも私は毎年算数の授業をしています。今年は「石はいくつかな？」を行いました。　夏休みに，どこかの「お城」に行かなかったか，などの話をして，石垣の話をします。石垣に見立てた「正方形」の画用紙を何枚か貼り，何枚あるかをたずねながら，この日はこの「石」(正方形)がいくつあるのかを考えていくことにします。　最初に３段のピラミッド状に並べ，石の数をたずねると当然「９個」という答えが返ってきます。しかしここで，「これが９個あることは１年生でもわかるよね。３年生なんだから，この９を出してきた式を考えてみてください。」と投げかけました。　子どもたちはたくさん考えつきました。下の段から足していく「５＋３＋１」は多くの児童が考えついていました。逆に左から順に足す「１＋２＋３＋２＋１」は，一人もいなかったので，これは子どもの発想でしょうか。あるいは「ビラミット」という設定がそうさせているのでしょうか。　他にもいくつかの式が出てきましたが，その中で「３＋３＋３」に関しては，いろんなとらえ方が出てきました。「３」を様々なところでとる児童がいるのです。中には無理矢理っぽいとり方もありましたが，この段階ではこれでいいでしょう。この「３＋３＋３」が出たために，「３×３」という式が，出てこなかったのですが，意味が同じなので特に声をあげなかったようです。(実際にはたくさんいた)　次に，ピラミットを４段にします。今度も先の式以上にたくさんの式が出てきました。上からや下から順に足すなど，３段の時の見方を使っているのは素晴らしいことです。　そんな中，「４×４」の式に対する見方が，３段の時同様たくさん出てきました。ただ，今回は見方の一つに「凸型に４を見る」というアイデアが出てきました。このアイデアを確かめているときに，一人の児童から，「同じ形になっている。」という呟きが起こりました。「凸型３つ」と「逆凸型１つ」となり，全部が凸型になっているのです。周りの児童からも歓声が起こりました。このような，「美しさ」は，芸術だけでなく，算数そのものの「美しさ」ともいえるのでしっかり称賛しておきます。４年生の「式を読む」の学習で，正方形状に並べなれた石の数を式で表し・読む学習がありますが，その時に生きてくるでしょう。　さらに５段に進めます。ここまで来ると子どもたちは勝手に図をかいて，式に表して求めていきます。ここでもたくさんの式が出てきましたが，時間の都合もあり，は一つ一つ検討することはできず，結果が「２５個」になることを確認するだけにしました。　最後の『ノートにしゃべろう』のお題を出します。お題は，次の６～９段をすっ飛ばし，いきなり「１０段の時の石の数」を求め，その理由も書かせることにしました。　正解の「１００個」を見つけたのは３人でした。いずれも「３×３」「４×４」「５×５」の式から「帰納・類推」しての予想でした。一方「５０個」という答えも何人かいました。「理由は，５段が２５個だから，段が２倍になったから個数も２倍になるだろう。」というものでした。結果的にはまちがっていますが，「類推」としては立派に成り立つ考えです。「数学的な見方・考え方」として，正解に比べて劣る点はありません。　授業はこれで終わりました。「等積変形」で，正方形状に並べて演繹的に説明することは，初めからねらっていませんでした。もちろん出てくれば扱いますがい，３年生では無理でしょう。もし強引に出させたいのであれば，序盤の問題意味理解のところで，正方形状の石の数を考えさせておくなどすれば出るかもしれませんが，そこまでする必要はないでしょう。　一方，発展的な扱い方として，ピラミッドの大きさが「長さ(段数)が２倍」になったので，石の数である「面積は４倍」になるから，「２５×４＝１００」という取り扱い方が，6年生の「拡大」などの発展として，使えるかもしれません。　夏休みの貴重な１日で，久しぶりの授業を楽しみました。　にほんブログ村
25Aug
- 夏休み当初研修1(６年　拡大・縮小)
  　毎年恒例の，夏休みすぐのセミナー研修に参加してきました。今年も１日半で４本の授業がみられました。１本目は，６年生の「拡大と縮小」の導入場面です。　教科書では，元の図形があり，「横倍」「縦倍」そして両方向に伸ばした「拡大図」の４つが示され，「同じ形はどれかな。」という問いで進められます。本授業では，左のような形が元の図形として示されました。子どもたちは「イカの半分」「矢印の半分」などと言っていましたが，授業者は「新幹線」という設定でした。この形が教科書と違うのは，この形１つで「長方形」と「（直角）三角形」の２つの図形の拡大が見えることです。　さらに授業者の主張の１つとして，４つの図形を同時に見せるのではなく，１つずつ拡大していく様子が見えるように提示することでした。電子黒板で元の形が横にのびていく様子を見せました。これが「新幹線が走る様子」ととらえるための設定だったようです。子どもたちはこれを見て「横にのびた」「ジャンボになった」など子どもとらしい表現をします。　縦にのびたものも同様に見せ，「２階建て新幹線」「高さが２倍になっている」などの表現が引き出されました。　さらにその後，縦横両方向に広がった「新幹線」が登場して，「スーパージャンボ」などの言葉が引き出され，この両方向に広がっていった形のことを「拡大図」ということが指導されました。　授業はその後，次どんな形にしようかということになり，「３倍」や「１／２」（縮図）などのアイデアが出されたところで終了しました。　授業者の意図はよく分かるのですが，私は２つの疑問がありました。１つ目は「角度」の話が全く出ないことへの違和感でした。その理由は，この図形が「長さ」を正しくすれば，自然に角度が一致してしまう図形だからです。これはパネル討議でも指摘されていました。　もう一つは「拡大していく様子が見えるようにする」という主張です。確かに，動画的に大きくなっていく様子は見えましたが，最後は先生が設定した形になって終了です。「拡大していく様子が見える」というのは「どうやってそんな形に拡大したのか」を理解することではないでしょうか。そしてそのためには子どもが「自分で大きくする」という活動をさせることが，この単元導入では大事な活動だと思うのです。私の実践はそのように構成しています。「その様子はこちら」　図形は「（２つの直角を持つ）台形」です。これだと長さを「和で拡大」したくなり，「反例」が出て，必ず「角度」の話に進んでいきます。これが私の代案です。　後の研究会では「同じ形」ということへの意識の弱さも指摘されていました。確かにそれが全体に貫かれていなければこの時間の課題にはならないでしょう。　子どもたちの表現を利用して，拡大のイメージを作っていこうとする授業者の意図はすばらしいと思いました。子どもたちも豊かな表現で楽しい授業になっていたと思いました。ありがとうございました。　にほんブログ村
22Aug
- 第５回多くの夢・志の授業研究会
  　今年も夏休みに「授業研究会」を行いました。「多くの夢・志の授業研究会」と題して５回目となります。それ以前にも，地元のKD研での授業研究会なども行っていましたが，ほかの組織とコラボするとややこしいことが起こるので，私自身が「主催」ということで実施していくことにし，この名前を付けました。　第１回と２回は「コロナ禍」だったので，当然のごとく「ビデオ授業研究会」の形にしました。第１回は私が１本の授業を提供しました。第２回は仲間の先生と１本ずつの２本で行いました。　第３回は，コロナ禍も終わったので，登校日に生の授業を見ていただきました。昨年の４回目は，学校を異動して大規模校になったこともあり，生の授業研をする許可が得られず，前任校での実践ビデオ２本で行いました。　今年も生の授業研究会はできませんでしたが，事前にビデオをとっての研究会は許可が出たので，前任校の実践と合わせて２本の授業で研究会を行いました。１本目は，３年生の「大きな数」です。２本目は，５年生の「速さ」です。　去年までは「土曜日」に実施していたのですが，今年は「平日」に行いました。算数の全国大会の日と重なってしまったこともあり，参加者は校内を合わせて１２名でしたが，楽しい半日を過ごすことができました。来年は６回目になるので，新しい形でできれば，と思っています。　にほんブログ村
21Aug
- 問い返し
  　たくさんの研究会に参加する私ですが，「授業」を中心にみてきました。研究会では授業以外にも「講演」「ワークショップ」「シンポジウム」なども行われることが多いのですが，私はあまり真剣に聞いていませんでした。場合によっては「参加しない」ということもよくあります。そんな中，この夏休みに行われた研究会での「講演」で大変参考になるものがありました。それは「問い返し」について詳しく述べられたものでした。　近年「問い返し」という言葉がよく用いられるようになりましたが，きちんとまとめられたものを見ることはありませんでした。それがよくわかる講演だったのです。　まず「問い返し」の定義として「すでに持っているものを表現すればよい発問」とありました。新たに考える必要のある発問は「問い返し」とは呼びません。そしてそのような問い返し発問をいくつかに分類してくださっていました。「意味を問う」…「それはどういうことかな。」「理由・根拠を問う」…「どうしてそうなるのかな」「どうしてそう思ったの」「○○さんはどうしてそう考えたと思う」「続きを問う」…「この続きはどうなると思う。」「ヒントを問う」…「どこを見ればいいかな」「何をもとに考えるかな」「他の表現を問う」…「これを図に表すとどうなるかな」「表現のよさを問う」…「どこが分かりやすいかな」「否定的に返す」…「それは偶然でしょ」「こっちがいいでしょ」　これらはよく考えてみると，授業の中で今までも使ってきた手法です。私がよく使う「促言」などは「否定的に返す」の応用でしょう。子どもの発言を途中で止める「子どもの話は最後まで聞かない」は「続きを問う」の積極的バージョンです。　昔から，授業が上手い，と言われる方は自然にこれらを使いこなしていたということなのでしょう。改めてとらえなおしができました。ありがとうございました。　にほんブログ村
20Aug
- ６月中旬研修2(５年　小数のわり算)
  　６月中旬研修２本目は，５年生の「小数のわり算」です。「小数÷小数」であまりが出る場面です。左の問題は，教科書と全く同じです。授業前にすでに「日直」が黒板に書いてありました。　授業が始まると，すぐに個別に「めあて」をかきます。２年生と同じ展開ですが，５年生なので確かにいろんな表現ができています。さらに司会の，「独自学習ができていない人はいませんか。」という言葉が出て，ほとんどいなかったので，そのままこの問題の発表に進みました。要するに，自力解決の部分は「宿題」のような形で家でやられているのです。　最初に一人の児童が「筆算」で計算していました。「商」は問題ないのですが，「あまり」のほうは，小数点の位置をもとの数字の位置にそろえるという説明がありました。それに対して「おたずね」がたくさん出てきました。　大きくは2つあったのですが，そのうちの一つは「答えのかき方がおかしい」というものでした。この児童は「４本余り２．１m」としていたのですが，それだと意味が分かりない，というのです。　よく考えてみると「あまり」が，前にかかるのか後ろにかかるのかがはっきりしていません。意図としては，後ろにかけたいのですが，前にかかると読み取ることもできます。したがって「４本できて2.1m余る」というのが正しいということでまとまりました。これは私も勉強になりました。　本質的な「おたずね」は，なぜ余りの小数点をもとに戻すのか，という点です。それぞれいろんな説明が出るのですが，どれもすっと落ちてはいきません。子どもたちの説明は「あまり２１mではおかしい」ということを説明するのですが，では正しいのが２．１m，ということの説明が十分ではないのです。　そんな中，「線分図」が出てきました。この問題の正しい図は一番上ですが，もし余りが２１メートルになってしまうと，下の2つのような数直線になってしまう，という説明の部分が一番わかりやすかったような気がしました。　割られる数の小数点に合わせたほうが正しいことは，この１問の結果と「教科書に書いている」という理由で一般化され，適用題をして終了しました。　子どもの司会，ということの問題点はあると思いますが，この日のように「争点が明確」な場合は，うまく機能していたように感じます。授業者も適度な介入状態でよかったのではないかと思いました。ありがとうございました。　にほんブログ村
19Aug
- 夏季研修から(2025を使おう)
  　今年も，地元の算数部会が主催する「夏季研修会」が行われました。コロナ明けからもう３年，対面での実施が当たり前になっているのは当然なのですが，この日の「講演」される先生が，３年連続で同じ方でした。私はさすがに「どうかな。」と思いながら参加させてもらいました。(受付など，事務局としての仕事はきちんとやりました)　講演は，序盤から中盤は今まで同じような話だったので正直聞きごたえがありませんでした。しかし最後の２０分ほどになり「模擬授業」が行われることになりました。　昨年までは，実際の生授業をしてはいけない，という立場だったと思うのですが，今年から民間に異動されたため，自由に飛び込み授業ができるようになり，この講演の翌日に，別の場所で授業をされるのだそうです。その教材を模擬授業の形で紹介してくださいました。　問題は，一言でいうと「九九に出てくる８１個の数字を全部足すといくつになるか。」です。私は「全部たすと」ではなく，「九九の数の平均はいくつ」という類似問題をやったことがあります。「その様子はこちら」　私の問題の平均であれば「２５」なので，全部の合計は「２５×８１」となります。講師の先生が紹介されたのは平均ではなく，「ブロック図」を用いて，九九全体を□の数で分かるようにすると「４５×４５」で求められることを中心に進めるそうです。いずれも結果は「２０２５」になります。　３年生を担任しているので今はできませんが，２学期に２桁同士のかけ算筆算を学習すればこの２つの計算はできます。３年生なので，「九九の段ごとの和を求めてたす」でも十分でしょう。なので私は，２学期の最後の授業でこれを扱うことにします。なぜなら答えが「２０２５」になるので，「これで２０２５は終わりにしまする。次の２０２６に向かって頑張りましょう。」という「オチ」で，冬休みに入りたいと思いました。　面白い教材の紹介，ありがとうございました。　にほんブログ村
18Aug
- ６月中旬研修1(長さ)
  　６月中旬に，某国立大学附属小学校の研究会に参加してきました。この学校に行くのは，記憶によると４回目だと思います。旧師範学校の流れを汲んでいて，子どもが司会をしながら学習を進めていく独自のスタイルを貫いています。授業は２本見られました。　１本目は，２年生の「ものの長さ」です。測定について，方法や単位などを一通り学習した後，いろいろなものの長さを「予想」して測り，適切な計器と単位を使って求めようとする時間でした。　「いろいろなものの長さをはかろう」と投げかけられたあと，子どもたちは一人ひとりが自分の「めあて」をかいています。書いているのがノートの児童が数名，後はタブレットに書いています。選択させているようですが，２年生でタブレットを使いこなしているのはすごいと思いました。　「独自学習」の時間になり，子どもたちは，家からいろんなものを持ってきていて測っていました。測る道具は「３０㎝ものさし」「メジャー」「1ｍ定規」などで，長い長さになると協力しながらがんばって測ってていました。　中には，「ラップ」を全部伸ばして長さをはかろうとしている人がいて，結果的には測れないまま終わった児童もいました。子どもたちはよく頑張っていましたが，このような活動を公立でやるならば，「何種類か，全員が同じものをはかるようにし，そのあと個別に測る」などのメリハリがないと，活動も無駄になるし，後の話し合いも散漫になるように感じました。また，「アプリ」を使って測っている児童がいたのはどうかなとも思いました。実際，アプリの結果が正しくなかったようなので。　授業は，結果を発表する中で，「予想」の根拠も語られながら進められまとまっていきました。自分のタブレットの画像を，自由に全体画面に写すなど，現代の授業の様相を呈していて，私などはついていけない感じもしました。　子どもが進めていくことはそれほど強くなく，一般的な授業に近かったと感じました。ありがとうございました。　にほんブログ村
15Aug
- 水無月研修３(２年　三角形と四角形)
  　水無月研修３本目は，２年生の「三角形と四角形」で，シルエットの中から，たくさんの「形」を見つける学習です。等間隔に打たれた「ドット」の中に描いた左のような形を使って考えていきます。このシルエットは，いきなり提示するのではなく，点をつないで授業者がかいて作ったものになっています。　いろんな形が見えてくるはずですが，一人の児童が，「正方形は見えない。」といったのをきっかけに，それを見つけることが課題となりました　見えている子どもは，「ここに線を引いたらいい。」などと，説明しますが，それでも「見えない」といいます。正方形を指でなぞっても「見えない」は変わりません。子どもにとってはやはり難しいのだと思いながら見ていたのですが，実際に線を引いて正方形が見えるようにしても，何人かの児童は，「見えない。」というのです。　そこで授業者は，そこにできた形が「正方形であることの説明」に進めてしまいました。分かっている子どもたちは，三角定規などを使って「直角」を説明したり，指をつないで間接比較をして，同じ長さであることを説明するのですが，空気が重くなっていくばかりです。「見えない」という児童は変わりません。　最後の5分位になってようやく「ワークシート」が配られ，そこにいろんな形を見出す活動にかわると，子どもたちは生き生きと活動していました。いくつかのできた形を紹介して授業は終了しました。　この授業のポイントは，「正方形が見えない。」と言っていた子どもの言葉をどうとらえるかです。確かに最初は，正方形が見えていなかったと思います。何も手掛かりがない「シルエット」の中から正方形を見つけるのはそう簡単ではありません。しかし何人かの児童の説明後，実際に線が引かれて，正方形が登場してからの「見えない」は，「正方形に見えない。」だったと思います。形が見えてもそれは「ひし形」に見えていて，どう見ても正方形とは思えないのでしょう。だったら，シルエットを回してやって見やすくするだけで解決したはずです。　子どもの言葉を大切にする，ということにこだわったやさしさが裏目に出てしまったのだと感じました。　この場面は普通，敷詰めで進めるところですが，このような活動にしたことは，賛否あると思いますが，研究授業の主張としては素晴らしいと思いました。ありがとうございました。　２年続けて参加できたこの研究会が，来年から２月にかわるそうです。２月はいろんなところで行われるので，重なる可能性が高まりましたが，できればまた参加してみたいと思いました。　にほんブログ村
13Aug
- 水無月下旬研修２(６年　比)
  　水無月研修２本目は，６年生の「比とその利用」の導入場面です。素材はケチャップとウスターソースを混ぜて「ハンバーグソース」を作るというものです。基本の味を示し，それと「同じ味になる」のはどれかを考える問題です。　実はこの課題は，私の実践とよく似ています。「その様子はこちら」しかしよく見てみるととても大きな違いがあります。それは，「同じ単位のもを扱うかいなや」ということです。基本の味をこの授業者は「mL」で作っています。私は「小カップ」(補助的にmLも使っている)で説明していますが，比較対象のものは，すべて違う単位で作ったものにしています。この授業者は，基本的に「同じ単位」のmLを見せ，最後に「杯」という別単位を使っています。(しかも，4:6と数字を変えている)私は，導入は，基本単位は異なっても，２つの比率が同じならば「同じ味になる」ということを見せたいのでこのようにしています。(逆に言えば，この日の授業は「等しい比」の導入に使いたい)　さて，４つのソースに対して，子どもたちの見方は様々です。1mLずつ増やしたものを「同じ味」と考えたり，最大公約数など，先取り知識や算数を使って考える児童もいました，。分数で説明する児童は，割合の相違を強調したいようです。　その話し合いの中で，素晴らしい絵が出てきました。スプーンを使ってそれぞれのソースの様子を表現しています。基本のソースと同じものを２人前にすると，それは同じ味になっているということから，4:6も同じ味であることが確認されていきました。この絵は，ケチャップとウスターソースが「比例関係になっている」ということの説明図になっているので素晴らしいと思いました。(来れず等しい比の説明)　一方，１mLずつ増やした「3:4」が同じ味だということを，右のような「絵の具」を例えにして「変わらない」と説明する女の子がいました。周りで「違うよ」という児童が増えていっても変わりません。例えば，１ずつ減っていくほうに進めると「1:2」「0:1」になるから茶色にならないでしょ，といっても「そもそも，両方あることを前提にして色を作っているので，片方が０は考えられない。」と言って譲りません。最後には，「だから理系は嫌い。」とはっきり言っていました。「味」という素材が持つ難しさでもあると感じました。　後の研究会で指摘させてもらったのですが，「ハンバーグソース」はこの教材に不向きだと思います。よく使われる「ドレッシング」や「カル〇ス」などは，味が変わると「酸っぱい」「濃い」などのことばが使えますが，この場合は表現する言葉が見つかりません。さらにせっかく出てきたスプーンの絵を使って，③の「6:9」を表現させ，さらに①を２人前にした「6:8」を作り，数字が変わっているということを見せるべきだったということを述べさせてもらいました。　比の導入という，算数化の王道的な場面の公開で，とてもいい勉強ができました。自分の素直な気持ちを表現できる子どもたちも素敵だと感じました。ありがとうございました。　にほんブログ村
11Aug
- 水無月下旬研修１(複式)
  　水無月下旬に，某国立大学附属小学校の研究会に参加させていただきました。去年に続いて連続参加です。授業は，複式を含めて３本見ることができました。１本目は，複式で「３年　あまりのある割り算」「４年　倍の見方」です。　３年生は，１５人で５人乗りのボートに乗る，というあまりのない問題です。完全に既習内容ですが，５人の子どもたちは協力して，その様子を黒板上に絵で表していきます。　そのころ４年生には，一人ひとりに「包帯」が与えられ，伸ばしたりつなげたりしながら何やら話をしています。一見遊んでいるだけのように見えますが，その話し合いの中で，この日の課題に向けた大切な言葉も見えていましした。この間，授業者は３年生につきっきりでしたが，自力解決に入ると４年生に移り，課題を確認していきました。　伸ばす前と伸ばした後で，どのくらい伸びているかを表現していきます。ノートではなく，黒板上で伸ばし，黒板にある「升目」を使って考えていきます。　このように，どちらの学年も，ノートに向かうことより，黒板の前で少人数で話し合うのが活動のスタイルになっています。　３年生は，3艘のボートに５人ずつが乗った絵が出来上がり，式と答えも確認できました。そこで新しく問題を提示しました。それは，全体の数を１増やして１６人にすることです。先生もボートに乗る，ということを付け加えたのです。子どもたちは，再び黒板の前で話し合いながら，この状態を絵で表わそうとしていました。　この時，４年生は伸ばす前の長さと伸ばした後の包帯を黒板に貼り，そのすぐ下に数直線をかいていっています。ここまでにこのような活動をしてきたためでしょう。包帯を使ってはいますが，右のような洗練された図が出来上がりました。この状態で，「５マス長い」と「２倍になる」の表現を押さえ，包帯の長さが短くなった場合のことを考えると「２倍になる」のほうが適切であることを確認していきました。　いっぽう，3年生は，16÷5で，「3あまり１」になるので，4艘必要になりますが，追加された1艘に，一人だけが乗るのではなく，4艘に4人ずつ乗ったほうが楽しいということで，絵が完成していきました。　複式なので，どうしても「先生のかかわりが少ない」「適用題までできていない」などはありますが，子どもたちだけでとてもよい活動ができていました。地域性もあるのか，複式の研究会にはたくさんの方が参加していました。現実的な課題なのでしょう。私も昔やっていたこともあるのでとても懐かしく見せていただきました。ありがとうございました。　にほんブログ村
08Aug
- 特設(魔法陣)
  　１学期最後の時間となりました。特設単元「魔法陣」に取り組みます。１から６までのカードを使います。この６枚を，三角形状に３枚が並ぶように置いて，各辺の数の和が等しくなる入れ方を見つけていきます。　代表児童に作らせようとしましたが，黒板上で考えていくのではなかなかできません。一度ノートに向き合うよう指示すると，少しずつ見つけられた児童が出てきました。この時，ノートで失敗した時は「×」をつけて新たに考えていきます。このようにしてノートが「汚く」なった児童ほどよく考えているということになります。　１から６までのカードを使うと，一辺が「９」「１０」「１１」「１２」になるように作れることが分かりました。「ここまで来たら，１３になるものも見つけなくちゃ。」と煽り，調べさせますが見つかりません。そのうち一人の児童が，「先生，７のカードを入れさせて。」と言ってきました。他の児童もそれに乗ってきています。そこで「７」のカードを入れ，その代わりに「１」のカードを除外し，「２～７」のカードでチャレンジします。　そうすると，見事に「１３」になるものが見つかりました。それなら次の「１４」や「１５」も見つけなくちゃということで，意欲的に試行錯誤が始まっていきました。このあたりから次第に，「和を大きくしていきたい」という気持ちの方に移行させていきます。　同じパターンで，カードを変えていき，どんどん大きい数字が和になるものを見つけていきました。一番大きい「９」のカードまで出てきたのでこれ以上のものがありません。すると一人の児童が，「１から９までのカードを全部使ってやりたい。」と言い出しました。他の児童もついてきています。そこでそれを認めたうえで，１辺の枠の数を増やし，９枠に全部入れて同じ数になるものを見つけさせます。子どもたちは必死で見つけようとしているのですが，時間も迫ってきてしまいました。そのタイミングで，「夏休みを使って見つけてみるか。」となげかけ，1学期最後の授業が終わりました。　にほんブログ村

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