授業がんばりMATH

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18Nov
- さらに筆算を
  　かけ算筆算を粛々と進めていきます。まずはここまでに習った計算の復習から入ります。繰り上がりを書きながらやる児童と，書かない児童に分かれています。手順を確認した後「レベル４」に進むことを告げます。　「４３×６」がその問題です。自力解決させると，ほとんどの児童ができます。その違いがよく分からない児童もかなりいました。厳密に見ていくと，「繰り上がり２回」になっています。ただし，百の位への繰り上がりは，その記述もありませんから，違いというほどのものでもないのかもしれません。省略しない方での筆算で答えを確認し，省略した一般的な筆算の手順を確認します。　計算方法が一般化すれば，まずは簡単な練習です。子どもたちの黒板に筆算を書かせます。繰り上がりを書く児童と書かない児童に分かれるのはいつものことです。「０」がつくものなど，やや特殊な問題も入れていあります。　ここで一つ，虫食い算を出します。これに当てはまるものを見つけていくのですが，この問題の場合，３種類もの解答が可能でした。このような「算数は答えが１つじゃない。」という場面はことあるごとに見せていきたものです。　そのあとは，教科書の練習題ともっと練習を使って習熟を図っていきます。途中，もっと練習の中に，最も大きくなる筆算を見つける問題がありました。この問題自体で，１時間の授業が可能になります。ここでは簡単に扱って終了しました。　にほんブログ村
17Nov
- 筆算練習は量
  　まずここまで学習した「かけ算筆算」の復習をします。２桁×１桁で，一の位で繰り上がりのある計算までが既習です。４問出題し，そのうちの２問を子どもたちに板書させ，定着ができているか確認します。繰り上がった数字は「書かない児童」がほとんどです。　「今日は，レベル３にチャレンジしよう。」と投げかけ，具体的な問題を提示します。「３２×４」です。これを見るだけでは今までとの違いは分かりません。すぐに「自力解決」してもらいます。　ほとんどの児童かすんなりできています。この問題の計算の仕方を全体で押さえていきます。まず，省略しない，位ごとの計算をきちんと書いていく方法で計算します。一の位と十の位はどちらを先に計算しても結果は変わりません。これで答えを確認してから「省略形」に進めます。　省略形の場合は，一の位から計算することを前時で確認しました。同様にやっていくと，十の位のかけ算をすると，２桁になるのですが，子どもたちは何の抵抗もなく，２つの数字を並べます。これで完成です。「簡単。」という声があちこちで上がっています。　筆算方法が一般化したので，短冊黒板問題で定着させます。子どもたちに３問の筆算を板書させたのですが，「百の位の繰り上がり」をかく児童はだれもいませんでした。塾等で学んでいる児童の中に，この場面でも繰り上がりをかく児童がいますが，これは非常に無駄な行為です。しかしそんな児童はいなかったので少し安心しました。　ここで少しクイズ的に遊んでみます。筆算の一部を隠した「虫食い問題」です。単純な問題ですので，子どもたちは喜んで答えを見つけます。　次に，かけられる数を「４１」に固定して，割る数を「1～9」にして計算する練習です。この小黒板１つで９問の練習ができます。　ここで１問の文章題を出題します。単純な問題です。「式と答えを書いてください。」と言って作業をさせます。答え合わせの段階になって，間違いに気づく児童が数人出てきます。　「式をかきなさい。」と言われて「筆算」をかき，それが式だと思っている児童です。きちんと指導しなければならない内容ですので，この機会に押さえておきます。　この後は，教科書の練習題ともっと練習をします。その中に，先ほどの穴埋めと同じ，１つの提示で９問できる問題がありました。２つあるのでトータル１８問しなければなりません。そこで，「この問題だけは，ノートがもったいないので計算用紙にやりましょう。」と言って取り組ませ，終わればごみ箱に直行です。「計算は道具」という意識づけのスタートでもあります。　にほんブログ村
14Nov
- 恩師
  　昨年の年末，喪中はがきで恩師の福森信夫先生がなくなられたことを知り，このブログに追悼の記事を書きました。「それはこちら」　それから１年ほどたった１１月初旬，いつものように届いた「日本数学教育学会誌」最新号に「追悼文」が掲載されていました。その追悼文の中の，私に関係のある部分に目が吸い込まれました。　1985年に私の母校「兵庫教育大学」に着任されました。その前年に，集中講義でお話を聴かせていただき，絶対この先生のゼミに入りたいと思い「運命のじゃんけん」をすり抜けていった記憶がよみがえりました。「その様子はこちら」　2000年の叙勲の後に開かれたパーティにも参加させていただき，あらためて先生のすごさを感じたことも昨日のことのようです。　大人気だった福森ゼミ。わたしの代のゼミ生６名(先生の最初のゼミ生です)は，若気の至りでバカなことをいっぱいしていたのですが，その中で授業をさぼって，先生も含めて７人で，生野銀山まで遊びに行き，バーベキューを楽しんだことも気恥ずかしくも懐かしい思い出です。　先生がまとめられた３冊の足跡本は，私のところにも送られてきました。その第２集の巻頭に，たくさんのゼミ生の写真があるのですが，その一番最初に，私たちのゼミ生６人が「ピース」をしながら大きく写っていました。やっぱり先生が初代のゼミ生を大切に思ってくれていたのだと改めて感動に浸りました。　この追悼文を綴ってくださった，大学の先生に感謝したいと思います。そして福森先生に対して，あらためてご冥福をお祈りいたします。本当にありがとうございました。引用　日本数学教育学会誌　2025年第107巻　第10号　算数教育74-5 p.12　にほんブログ村
13Nov
- 繰り上がりは自由に
  　前時にはじめて「かけ算筆算」を学習しました。最初はその手順を復習します。計算の書き方は，今までの加減と同じで，位をそろえてかきます。計算方法は，位ごとに計算して最後に合わせますので，基本的な筆算の書き方を確認します。　その上で，省略した形である「一般的な筆算」の手順を再確認します。この手順の中に，かけ算独特のものがあります。それは，「数を斜めにかける」ということです。従来の加減では，縦に並んだ数字同士で演算をします。しかしかけ算の場合は，かける数を基準にして，斜めに計算することも必要になります。この違いを確認します。　復習の後は，「筆算になれよう。」という明確な技能めあてを設定したあと，次の問題(レベル２)を提示してやらせます。多くの児童が「先取り学習」などの影響でできています。しかし話し合いの場面では，そのような「形式」は一切無視して進めます。　まず，位ごとに計算する「基本の筆算」で答えを出します。どちらの位から計算しても結果は同じです。これを省略形で計算します。すると，答えの十の位のところに，２つの数字が入ってしまいます。これではうまくいきません。そこで，ここに入るべき繰り上がりの「１」を小さくかいて処理することを伝えます。子どもたちは「わが意を得たり」という顔をしています。　この省略形を，十の位からやっていくと，先ほどと同じ問題が出てきてしまいます。せっかく書いた「６」を消さなければならないことになります。そこで，「かけ算の筆算は，一の位から計算する」という，手順を押さえます。　基本手順を押さえたので，２問ほど練習します。この時黒板上で押さえたことは，「繰り上がりは，書いてもかかなくてもどちらでもいい。」ということです。繰り上がった数字を自分が覚えていられるのであれば書く必要は全くありません。覚えられない児童だけがかけばよいことです。この段階では，多くの児童が「必要感」を感じていないので，書かない児童の方が多く見られました。　小黒板で練習題を４つ出題し，代表児童に筆算を書かけました。すると面白いことに，「繰り上がりをかかない児童」がいました。さらに「繰り上がりらかく児童」では，繰り上がりをかく場所に違いが見られました。上にかいた児童ば，「塾で習った。」と言いました。なのでここで，「書く書かないも自由。どこに書くのも自由」と，数学での大切な考え方に触れることができました。これで泣いていけない，というのが算数では最も避けたい考え方です。　この後は，練習題をたっぷり行いました。慣れるには「問題数」が必要です。筆算の場合は，そこは忘れてはなりません。もちろん「家庭学習」も配慮します。　にほんブログ村
12Nov
- 計算一般化～筆算
  　前時に，「２３×３」で，一番わかりやすくできそうな方法でノートに考え方をかいたところで終わりました。この日はいろんなアイデアの中から，いちばんよい方法について考えていきます。前時の黒板を見せて，「分かりやすい方法」の観点として「計算が難しくない。」さらにその意味として「繰り上がりがない」ということも確認しました。　子どもたちから５種類の考え方が出てきました。うち３つは「３つのかけ算」，２つは「２つのかけ算」で考えています。これらの中で「計算が分かりやすい」の観点で話し合っていきます。かけ算の部分は「九九」なので難しさはありません。それらを合わせるときの「足し算」の難易度が異なります。繰り上がりがあるものは敬遠されました。２桁×１桁を使うものも消えていきました。そうすると，２つの考え方に集約されていきます。　ここで，さらによさを比べるのではなく，別の数字で考え方を選択させていきます。「３２×３」です。そうすると，３つのかけ算になるものは消えていきました。一人が「１０×３」を利用した後残りの「２２×３」と分けましたが，この計算自体が難しくなっています。そうして「３０×３　２×３」にまとまっていきました。　この考え方は，結局「位ごと」に計算していることになり，それを最後にまとめます。全ての計算は「分けて考えて，あとで足す」が基本ですが，その通りになっています。　この考え方で計算をする練習です。「暗算」とまでは言えないかもしれませんが，位ごとに分けて考える練習です。児童によっては，紙と鉛筆なしでも答えられる児童がいます。また「３７×２」は，一の位が１２になるので，ステップとしては離れているのですが，十の位の計算が「何十」になるので，足し算をするときに繰り上がりが起こらないことに気づかせるために入れておきました。　この後，「筆算」を簡単に教えました。この程度の計算には必要ありませんが，やっていることはここまでに学習したことと同じになっているので，「自分たちが見つけた計算のやり方と，筆算は同じことになっている。」という意識をつけるためにこの時間に教えました。本格的には次時以降です。　にほんブログ村
11Nov
- 拡張の逆
  　前時に，九九表の中の縦２個を隠してその和を考える学習を行いました。まずその復習から始めます。「３×６　４×６」のところを足すと，「７×６」になります。同様に「５×３　６×３」のところを隠すと，九九表にはありませんが，そこからはみ出した「１１×３」が答えになりました。ここまで確認した後，「今日は，これの逆をやります。」と，告げました。逆というのは，九九からはみ出た場所にあるかけ算の答えを，九九表の中から２つの式で見つけていくことです。　最初は「１３×７」です。この式を分解した２つの式を九九表から見つけます。これは今までのルール通り「６×７　７×７」のところでこの式になります。まずがんばってこの２つの式の場所を見つけました。　さらにもう一つ「１５×９」でも考えていくと，同様に「７×９　８×９」が見つかったのですが，別の児童が違う２つの式を考えていました。それは「９×９　６×９」と，縦に並んでいない，離れた２つの式を見つけたのです。これでも答えはあっていることを確かめました。今までのルールから離れますが，その結果に「おーっ。」という感嘆の声が上がったので，新しいルールとしてこのような見つけ方でもよいことにします。　次の問題は「１４×６」です。この場合「縦に並んだ場所」は見つけられないので，どうしても離れた場所を使わざるを得ません。そのようにしかけをしていたのですが，その前に子どもたち自身でルールを発展していってくれていたので，多様な意見が出てきました。　いくつかの式が出てきたあと，さらに「１０×６　４×６」という分解も出てきました。「それって，九九じゃないよ。」という声が上がりますが，１０×６は特に難しい点は見られません。そこでここでも子どもたちの意見をもとに，ルールを広げていきました。九九表に１０の段を加え，「九九＋α」で見つけていくことにします。　新しいルールで「１２×８」を考えます。半数近くが「１０×８　２×８」を選んだのですが，同じ数を使う「６×８　６×８」に加え，「４×８　８×８」も出てきました。そこでこの式にした理由をたずねると，「繰り上がりがない。」という反応が返ってきました。なるほどそうなっています。この反応に対する問い返しは，「繰り上がりがないとどうしていいんですか。」です。そうすると「計算が分かりやすい。」という言葉が返ってきます。この言葉はこの後の一般化のためにとても大切な言葉です。それを引き出すことができました。　最後に，これだったらどうしますか，ということで「２３×３」を示しました。時間がなかったので自力解決で終了しましたが，３つのかけ算にする児童と，「１０×３　１３×３」の２つにする児童がいました。そして当然「２０×３　３×３」にする児童もいたので，次の時間に「計算のしやすさ」の簡単で話し合って一般化していきます。　にほんブログ村
10Nov
- 九九拡張
  　何十・何百×一位数に続いては，いよいよ「かけ算の九九拡張」の場面です。「九九拡張」という言葉は，算数教育ではよく使われる言葉ですが，拡張は「子ども自身」が拡張しなければ意味がありません。それをめざした教材開発・授業です。　１学期の最初に使った「九九パズル」で，まず九九表を完成させます。「その様子はこちら」この九九表の中の，縦に並んだ２つの数字をかくし，その２つの数字の和を求めます。最初は，上の２段を隠したものから始めます。すると２問ほどしたところで，「分かった。」という声が上がりました。それは，２つの数字の和が，隠したところのすぐ下にある，ということです。これはどの学級でもすぐに見つけることです。　「すぐ下(１こ下)」と，板書していると，「でも下にいったら違う。」というのです。そこで，隠す場所を少し下にしてみました。するとその和がすぐ下にある割れではなくなりました。しかしその時，「あっ，２つ下にある。」という呟き(というより「叫び」)が聞こえてきました。同じ縦の列に答えがあるのです。これを他の場所でも繰り返していくと「２つ下」「３つ下」「４つ下」と，必ず縦の列のところに答えがあることが分かりました。　「でも，それ以上下にいくともうないよ。」という呟きも出てきました。そこで「５×６」と「６×６」の場所を隠すと「６６」という和になりました。これは九九にはない数字です。それでも，「１１の段にあるよ。」「その下にあるよ。」など，「ない」ではなく「ある」の意見が主流になってきました。そこでどこにあるのかを指ささせていきます。すると，九九表の下を指さし，「この辺にある。」と児童が語りました。これが「九九拡張の瞬間」です。九九表の外側にもかけ算の答えがかくれていることを見抜いていったわけです。　しばらくこの活動をしていると，そこが何の段なのかでずれが出てきました。ある児童は「１３の段」という別の児童は「１４の段」というのです。そこでそれがはっきりわかる方法を考えていきます。　隠した２つのかけ算の式と，答えになるかけ算を見比べます。例えば「１３×３」になる場合の２つの式には，「１３」がうっすらと見えてきます。２つのかけ算の欠けられる数足すと，その段の数字になっているのです。　数人が見つけたその見え方を少しずつ広げていき，確認すると，「あとも全部そうなっている。」と，すでにいくつかの事例を見比べようとしている見方・考え方が見られました。授業はこのあたりで終了です。これを生かして次の時間は，計算方法へ進めていきます。　にほんブログ村
07Nov
- 何十・何百×一位数
  　「一けたをかけるかけ算の筆算」の単元に入ります。導入は「何十・何百×一位数」の計算です。既習と未習を明らかにするために，「□×３」の文脈の中で，「８×３」と「１０×３」の計算を確認します。前者は２年生の九九の範囲で，後者は３年生の４月に学習しています。　ここから未習の内容となります。アメの代金が「２０円」になると，式が「２０×３」になります。この計算は，習っていないのですが，子どもたちは，「簡単。」「できる。」などと言っています。実際にやらせてみると，きちんと答えの「６０円」は求めることができています。　しかしその理由をたずねると，「２０の０をのけて…，後で付け足す。」など，形式的な処理の話しか出てきません。その都度私が「反論」して，表現が不十分であることを意識させます。　ただしその話し合いの中で，見えてきたことがあります。それは，「２０を２と見たい。」ということです。そのための表現が「０をのける」なのですが，「２０の０をのけても，２０-０で２０になる。」と返されます。すると一人の児童が，「１８を引いたらいい。」と言ったので，「算数的で素晴らしい。」と取り上げます。しかしそれを元に戻すときに「×１０」になってしまうので，つじつまが合いません。　そこで，コインの絵を見せて，「これで２０円だね。この絵の中に「２」はありませんか。」とたずね，コインの個数が「２」であることに気づかせました。そうするとあとは「１０円」がいくつ分かで計算ができていきます。それを言葉できちんと整理していきます。　この考え方を，「１００」にしても同じような説明ができます。２００×４の場合，「２００は１０が２０個」ととらえる児童もいましたが，それでは最後の「計算」が九九になりません。そんなことを押さえながら，九九の答えが２桁になる問題の一般化も行いました。　そのあとは，小黒板問題や教科書の練習題で，計算練習をしていきました。技能的にはそんなに難しい場面ではありません。計算練習は喜んでやっていました。　にほんブログ村
06Nov
- 計算の順序
  　「何倍でしょう」の単元の後に１時間だけ「計算の順序」というページがあります。前者の最後の時間(これまでの学習のまとめ)と後者を１時間にまとめてしまいます。　最初に，オペレータの文章題を示し，既習の「関係図」と「２つの計算方法」を確認します。３つの項目を小さい順に並べ，次にそれぞれの関係を記入していきます。最後に「分かっている量」と「？」がどこなのかを記すと完成です。　この関係図をもとにして，２つの計算方法「順々に」「まとめて」を確認します。この段階では式は２つになっています。まとめる方法でも，オペレータの計算があります。　２問目も同様の流れで進めていきますが，関係図から２つの式までを一気に自力解決します。定着度は８割くらいといったところでしょうか。なかなか全員すんなり，とはいきません。　２つの方法が出たところで，２つある式を「一つ」にまとめていきます。これが子どもにとってはなかなか難しいのです。「２×３=６　６×２=１２」を１つにする式が，すぐにはイメージできないのです。そこで，「３+４=７　７+２=２」を「３+４+２」にまとめる場面を示します。これでも半数近くがイメージできますが，なかなか全員とはいきません。「媒介」の数字が入るだけで式化が難しいのでしょう。　何とかたし算の式統合から，かけ算の式もまとめていきました。さらにオペレータの方は難しくなります。先に計算するものの「前」にもう１つの数字をつけるのがイメージしにくいのです。ここで意外と時間がかかりました。　さらにもう１問。今度は関係図から「１つの式」での解決までを一気に自力解決します。すんなりできたのは６割。後の３割は「ヘルプ」を使って進めていきます。残りに対する個別指導はどうしても必要です。　ここでできた式を眺めると，数字の並びは同じになっています。前の式を先にするのか，後の式を先にするのかの違いになっています。しかし当然「答え」は同じになります。その点を押さえ「一般化」してしまいます。　さらに余計なことかもしれませんが，３口のかけ算の場合，１項と3項を先に計算して，2項にかける方法でも答えが同じになることを押さえました。　この後は，短冊に示した式の計算練習です。計算をした後，同じ答えになるものが含まれているので，その関係をふり返り，授業は終了しました。　にほんブログ村
05Nov
- 見えない「倍」を空の「箱」に
  　「何倍でしょう」の単元で，前時までに基本的な３用法の問題を，関係図などで学習しました。この日は前時の最後に扱った「オペレータ」の問題です。左のような問題です。「〇倍の□倍」と，３要素２段階乗法の問題です。一番最初の「もとにする量」である，小のはこのたこ焼きは隠して提示します。　「小の箱の絵を，マス目をうまく使って小さくかきましょう。」と，前回の反省を生かして作業させます。「その様子はこちら」狙い通り，全ての児童が「正方形」か「長方形」でかいていました。それを確認した後，「次は，その隣に「中」の箱をかきましょう。」と指示し，机間をまわって，かいた箱の絵に「〇」や「ピン」を書いていきました。怪訝そうな子どもたちに対して，「どうしてバツなのか，〇の人の絵を見てきてごらん。」と指示し，きちんと２倍になるように描かなければならないことを押さえます。そして，「さらに，大の箱の絵をかきましょう。」と投げかけました。これで前回よりは多くの児童ができていたようですが，まだ正しい絵をかけないものもかなりいます。中には４倍になっているのですが，マス目の数でやってしまい，箱の形になっていない児童もいました。このあたり，まだ修正の余地があるようです。全体で正しい図を確認します。　この活動は，一つずつ順々に計算する方法が多くなるのは当然ですが，その中で少しでも「何倍の何倍」を使う児童が出てきてくれないか，という願いで開発された教材です。目に見えない「倍」を空の「箱」にして見えるようにしようとしたものです。しかし過去なかなかうまくいきませんでした。正直に言うと，今回も，ここで「×８」で自力解決した児童は一人もいませんでした。全体で「順々」の式を確認した後，「他に式はありませんか。」と投げかけ，一人の児童から「３×８」というのが出てきました。この式が登場すれば，当然「８って何？」という話題になり，そうするとその「８」は見えてくるでしょう。しかしこの一人の児童の発言は「偶然」です。あるいは「個人の資質」です。これが「必然的」に出てくるようにするのが「教材開発」です。これではやはり成功とは言えないでしょう。　授業はこの後，この考え方を「関係図」にまとめ，２倍の４倍は，６倍ではなく８倍になることを押さえて，教科書の練習題で終了しました。今回もうまくオペレータのアイデアは出てきませんでした。改善策としては，「最初の箱は，正方形に限定する」(長方形だと後あと難しくなる)「大の図の中に，小が１個だけ見えているような図にする」「始めから，２つの式で解決するよう促す」などがあるでしょうか。　にほんブログ村
04Nov
- オペレータへ
  　「何倍でしょう」の３時間目です。ここまでの２時間は「教育実習生」が行っていたので，それを受けてフォローを入れながらの授業となります。教育実習生さんが教えてくれた「関係図」を使って問題を考えていきます。　「〇は□の何倍です」「〇は何㎝ですか。」など，情報と問いかけをかいた短冊をたくさん一気に貼ります。その中から，最初に「青は何㎝でしょう」という問いかけを選び，これに必要な情報「青は白の４倍です。」を選択します。そのうえで後何が必要なのかをたずね，「白が３cm」という情報を与え，関係図と式・答えを求めていきます。関係図は既習ですが，まだ定着は不十分で，反対になるものも多数いました。実際のテープの状況も見せながら確認していきます。　第１用法と第３用法の問題も同様に進めていきます。こちらもやはり関係図に難しさもありますし，立式にも戸惑っている児童が何人か見られました。教育実習生の授業だったからということではなく，だれが授業をやっていても，同じような状態になるのが一般的だと思います。一つ一つ確かめながら，図・式・答えを確認していきます。　最後は「緑の長さ」を求めていきます。するとすぐに，「赤が分からないからできない。」という声が出てきました。しかしそのうち，「いや，できるよ。」という声も出てきました。そこで「できる。」と言った児童に「ヒント」を言ってもらいます。一人の児童が言ったのは，「白は分かっている。」というヒントです。これで動き始める児童が少しずつ出てきました。白を使って赤を求め，その赤を使うと緑が分かります。関係図をかくと，２つになることも分かりました。そこで，「この２つに「赤」があるので，これを重ねます。」と言って，「〇倍の□倍」となる関係図をちらっと見せて終了です。詳しいことは次時に扱うことになります。　にほんブログ村
31Oct
- 第３用法(教育実習)
  　「何倍でしょう」の第２時で，「第３用法」の場面です。この日も教育実習生の授業です。スタートは，前時に不十分だった点を補います。「関係図」で分かっているところと求めるところの強調ができていなかったので，そのような図に修正します。　ここから本時の問題です。前時にも使った青テープ(１８㎝)に加え，新しい「緑テープ」を出します。この２つを比べて，「青は緑の何倍になっているかな。」という発問から入ります。そして，実際に「緑」を並べていき，６倍であることを確認しました。分かったことを黒板にまとめると，問題文が出来上がりました。　この問題文を「関係図」にしていきます。子どもたちはそれぞれノートに取り組みます。その中から２つをピックアップしましたが，どちらも正解の図でした。もとにするものを反対にしている児童もいたので，違うものを取り上げなければならないのですが，そこがスーッと言ってしまいました。　できた関係図を，前時のものと比較すると，「先にある方が分かっていない」という素敵な言葉が出てきました。これで，「先が分からないときはどうしたらいいんだろうか。」と，めあてを設定する予定だったのですが，すっかり忘れて，「答えを出してごらん。」とやってしまいました。実習生は，本当に緊張しているものなのですね。　答えを求めるための「式」が出てきました。かけ算的に試行錯誤で見つける方法は少なく，一人の児童だけから出てきました。多くの児童は「１８÷６」としているのですが，その理由はなかなかうまく伝えることはできません。　予想していたのは，「６倍」を見つける操作のときに，１８㎝に目盛りを入れていたのですが，それが使われることはありませんでした。また，かけ算の逆になっていることを強引に伝えていきましたが，すっと落ちている児童はやはり少ないようです。　とりあえず「関係図を使って考える」とまとめた後，教科書の練習題に進めました。その問題の中に，教科書の間違い，を見つけてしまいました。それは，第２用法を使う問題で，式にすると，「１２×２」となる問題です。この時点でまだこの計算は未習です。なので数字だけをあてはめて「１２÷２」としている児童がたくさんいるのです。一番イメージしやすい「第２用法」でこれなので，計算というのは大きな影響があることが分かりました。一方でこの問題の式を「１２+１２」としている児童がいたのにも感心しました。ちゃんとイメージをもちながらやっている証拠です。　２時間分を実習生に任せましたが，見ていて，「やっぱり自分がやった方が気が楽」と思ってしまいました。　にほんブログ村
30Oct
- 「何倍でしょう」導入(教育実習)
  　啓林館独自の文章題単元「何倍でしょう」に入ります。全４時間ですが，最初の２時間は，教育実習に来ている大学３年生の授業となります。ご了承ください。　赤，白，青の３本の紙テープを貼ります。これを見せて，「白は赤の何倍かな。」とたずねました。多くの児童が「３倍」と言っています。中には「２．５倍」などと言っている児童もいました。ここで，「線を引いて何倍か確かめてください。」と投げかけました。ここは本当は「どうやったらそれが確かめられるかな。」と方法を子どもたちから出さなければならない場面でしょう。　３倍が確認できたので，赤が２㎝であることを知らせます。そうすると白は「２×３=６」で６㎝になることは，「第１用法」なので比較的簡単にイメージできます。　これを，青の「９倍」のテープでも確認しながら「関係図」にまとめていきました。このあたりの展開は，もちろんアドバイスしていたことですが，教育実習生なので強引すぎますがそれは仕方ないでしょう。ここまでの活動で「倍」の意味を再確認します。　これで「白６㎝」と「青１８㎝」が分かりました。ここから新しい問題である，「青は白の何倍でしょう。」と転換します。わたしがアドバイスしたのは，「ここでもまず，何倍になりそうなのかをたずね，それを確かめるためにはどうしたらいいか。」ということを聞き，「先と同じように線を引いて確かめていく。」という方法を出させてから，「でも今度はそれぞれの長さが分かっているから，そんなことをしなくてもよい。」という目的意識を持たせてから，式などに進めることでした。　しかし，そこがうまく伝わっておらず，すぐに，「白が６㎝で青が１８㎝だから，計算でできるよね。」と言ってしまったので，課題自体が意識されないまま進んでしまいました。　また，一部児童の意見だけを取り上げてどんどん進めてしまうので，取り残されている様子がよく分かりました。さらに関係図に関しては，答えが出てからすべての数字を書き加えていく(逆に書いていない場合もあった)ので，問題の構造が明らかにならないまま進んでいるのです。　また，何倍かを求める方法として，かけ算で試行錯誤して見つけていく方法を取り上げたのはよいのですが，「わり算」で求めた方法の理由がはっきりせずに，認められてしまいました。試行錯誤の方法が，以前の学習の「わり算の意味」と合致していることを取り上げなければなりません。　このように，いろいろなことが決着を見ないまま，教科書の練習題に進んでしまったので，戸惑っている児童がたくさんいました。関係図自体も，全く書かないまま進んでしまった児童もたくさんいました。　課題はたくさんありますが，初めての算数授業としては，６５点というところでしょうか。　これが教育実習です。当然私からのフォローが後々必要です。　にほんブログ村
29Oct
- 九九拡張(飛び込み授業で)
  　相学級の新任の先生が，ズーム研修を受けるために「補教」が私のところに回ってきました。当然いつものように，「こんな(くだらない)プリントより，授業をさせてもらえませんか。」とたずね，二つ返事で許可をもらい，楽しむことにしました。　授業は，トピック教材ではなく，この後の「１桁をかけるかけ算の筆算」単元の導入場面です。最初に「九九パズル」(「その様子はこちら」)を使って，九九表を完成させます。その中の２つの数字を長方形の紙でかくし，「この２つの数字を足すといくつになるかな。」と投げかけます。これを３回繰り返すと，子どもから返ってきたのは，「すぐ下に答えがある。」ということでした。これを他の場所でも繰り返していくと，「すぐ下ではなく，２つ下にある。」「３つ下にある。」などの言葉です。さらに続けていくと，「５つ下にある。」となり，でもそこは九九表を飛び出してしまいます。　しかしこの後，子どもたちの言葉をつないでいくと，九九の外側にもかけ算の答えがあることが見えてきました。これが「九九の拡張」です。　詳しい展開は，私のクラスでの実践の時に報告したいと思います。飛び込みでも十分楽しめる教材であることが再認識できました。このクラスで授業をするのはすでに４回目となりました。いつも元気いっぱい，発想いっぱいの子どもたちです。　にほんブログ村
28Oct
- 背理法(ボールを箱に詰めて)
  　「円と球」単元の最後は活用授業です。と言っても，箱の中に入ったボールを使った問題なので，よくある場面ともいえます。　まず，同じ大きさのボールが箱の中に５個入っている様子を示します。イラストを見て子どもたちは状況を理解しています。これを見ながら，「この箱を上から見るとこうなります。」と，長方形の中に円が５個並んでいる図を見せます。子どもたちは納得しています。続いて，「もしこの箱を，横から見てボールが透けて見えていたらどんな図になるかな。」とたずねます。子どもたちは勝手にいろいろ話をしていますが，結局「同じ図になる。」ということが分かりました。その２つの図を黒板に示します。　続いて，イラストにある「縦」「横」「高さ」が，平面図のどこにあたるのかを考えます。「横」と「高さ」は，真横から見た図の中にあります。一方，「縦」は実はこの図の中では見えていません。しかしその真上にある左端の辺が，それと同じ長さになっていることに気づかせます。こうして，平面図の中のどの部分を求めればよいのかを明らかにします。　数分の自力解決の後，発表していきます。まず「縦」ですが，直径が８㎝なので，そのまま８㎝というのですが，円の直径と，求めたい「縦」は場所が違います。これがどうして同じ高さになるのかを説明させます。わたしは「長方形」の話が出てくると思ったのですが，子どもから出てきたのは，「もし，８㎝じゃなくて７㎝や９㎝だったら，ぴったり入らなかったりすき間ができる。」というのです。これには子どもたちがうなづいています。確かに，難しい図形の話より，「もし～だったら」の方が分かりやすく感じます。数学でいう「背理法」の手法になっています。子どもたちの方が一枚上手でした。　そのあと「高さ」や「横」についても同様に進め，球の直径を使って求めていく方法に慣れていきました。　そのあとは，２列に並んでいる状況で，一方の辺の長さと個数から，直径を求め，それを別の辺に適用させて長さを求める問題をやっていきました。この場合２段階の思考が必要になるので，丁寧に１つずつ説明させていきました。　最後は，分かっている長さの場所が違う問題や，ボールの数が異なった適用問題について考え終了しました。単元終了です。　にほんブログ村
27Oct
- 球
  　球について学習します。最初は「シルエットクイズ」です。光を当てて影を作り，形を当てるゲームです。３種類の形を用意します。　真上から見たシルエットは，全部「円」の形をしています。これでは判断できません。次に，横から光を当てたシルエットを見せます。すると「円」「楕円」「長方形」に分かれました。これである程度全体の形が見えてきました。それぞれ子どもらしい発想で形を予想してくれました。　これらのうち，今日は一番左の「ボールのような形」について考えていくことにします。この場面は教えていくことがたくさんあります。　まずこの形の名前を「球」と言います。これはほとんどの児童が既知のことのようです。続いて，デジタル教科書についている機能で，この球をいろんな場所で切っていきます。少しだけ切ったものや斜めに切ったものなど，いくつかの切り方を見せました。そして，「どの切り方をしても，切り口はどうなっていましたか。」とたずね「円」という言葉を引き出します。さらに，「できるだけ切り口が大きくなるように切る」ことにすると，縦・横・斜めにま半分に切っていくことになります。このような切り方をしてできた「円」の「中心・半径・直径」が球のそれになることを教えます。この時の「直径」はやはり「半径の２倍」になっていることも確かめます。　ここからは，班ごとに「球の直径」を求める活動に入ります。漢字辞典を利用して，球を挟み込み，辞典同士の距離を測れば直径を測ったことになることを押さえます。漢字辞典は，壁を利用して，垂直に置かなければならないことも伝えていきます。　９つの班があるので，９種類の球を用意し，交換していきながら全部の球の直径を求めていくことにしました。時間の関係で，全部できたわけではありませんが，このような活動経験が，円に対する感覚を豊かにしてくれるものと考えています。　にほんブログ村
24Oct
- 長さの測り取り
  　小黒板に，赤い直線と，黄色い折れ曲がった線が見えています。これを見た子どもたちは勝手に，「赤が長いよ。」「いや，黄色だよ。」など，自然に長さの話になっています。そこで，「どっちが長いかを調べるためには，何が必要ですか。」と，道具をたずねます。定規という言葉に加えて「コンパス」も出てきます。そこで今日は，定規は使わず，コンパスを使って比べることにしました。　最初の２つは，子どもの方からアイデアが出てきました。一方が直線になっているので，折れ曲がっている方の２本の直線をコンパスで写し取れば比べることができました。　しかし今度は，２つとも折れ曲がっています。これでは先の方法ではうまくいきません。教科書ではこの２つを直線に写し取って比べるようになっているのですが，子どもたちからはたくましい意見が出てきました。　最初の児童は，黄色のアから学校までの長さを，赤に写し取ります。すると「邪魔」な部分ができてしまいました。その邪魔な部分を折り曲げて，左の赤い直線を延長したところまで回すというのです。そののばしたものと，家からアまでの長さを比べると結論が出るというのです。なかなか素晴らしいアイデアです。　さらに次の児童は，「向かい合う辺同士の長さを比べ」，お互いに相手より長い部分同士の比較で比べられる，というのです。これは逆に，短いほうでやることも可能です。子どもらしい発想が素晴らしいと思いました。　教科書に出てくる方法は，結局こちらから教えることになりました。この場面で子どもたちからこのアイデアが出てくるような「しかけ」が必要でした。３本の線(１本は直線)にして，それを媒介にした場面設定などができるかもしれません。　最後は，三角形と四角形の周りの長さを比較します。それぞれを直線にうつしとることで比較できることがわかりました。記号をつけておくことで，どれがどの長さを写し取ったものなのかが分かるようにしています。　最後は，目の錯覚を用いたプリントや教科書の練習題をして終了しました。　にほんブログ村
23Oct
- 模様づくり
  　コンパスを使って「模様」を描く時間です。教科書には必ず乗っていて，一見楽しそうな活動なのですが，子どもたちから見ると，「難教材」の１つです。できる児童は仕組みを見抜いてすぐできるのですが，図形感覚が希薄だと，円そのものを見抜くことができません。また円が見抜けても，中心や半径が分からないものもいます。当然「作図技能」に問題が見られる児童もいます。つまりかなりの条件が整った児童しかできないのです。　最初は単純な「二重円」から入ります。最初の発問は，「この中に円はいくつ見えますか。」で，２つなのは自明です。さらにそれぞれの円の「半径」と，作図する場合の「中心の位置」を確認させ，ノートに作図させます。簡単な模様ですが，これでも苦労する児童はかなりいます。半径１㎝というのはそう簡単にはいかないのです。　次は，右のような模様です。やはり，「円はいくつ見えますか。」から始めます。すると，「えっ。」と絶句する児童が出てきました。円が全く見えていないのです。もちろん見えている児童もいるので，その部分を指でなぞらせると，「ああ，そういうことか。」と気づき，見えていない円の部分があることに気づかせます，そうするとこの模様の場合は，４つの円があります。　あとは先と同様，半径や中心を見つけさせて，作図をしていきます。今度は，「４×４」のマス目を使った枠の入ったワークシートを与え，そこに作図させていきます。　さらに次は，左のような模様で，今度は円が３つ見えます。そのことだけ確認して，半径や中心は自分で考えて，ワークシートに作図させました。こちらの方が分かりやすかったようです。　そこからは，模様のサンプルがいくつかのっているプリントをわたし，それを見ながらできそうな模様の作図に移ります。自分でどんどん進める児童がいる一方，やはりなかなかできない児童もいます。個別指導をしながらなんとかいくつかを作図することができました。　最後の感想は，やっぱり「難しかった。」です。決して楽しい教材とは言えないということです。　にほんブログ村
22Oct
- 「日常生活」と「算数」
  　地元の附属小学校の先生から，協力依頼がありました。それは，算数教育の某月刊誌に，授業記録を掲載するというテーマに関してでした。事前研究会を行い，実際の授業と事後研究会の様子をすべて記録するという企画だそうです。その検討メンバーとして参加してほしいということでした。喜んで協力させていただくことにしました。事前検討会は，平日の４時半からだったので，年休で参加。研究授業と授業研究会は，「運動会の代休」の日だったため，堂々と参加できました。(休みの日に研究会に参加するのは私にとって，日常茶飯事)　授業は，６年生の「特設授業」で「見えない未来を見る化」と題されていました。今回のテーマが「次期教育課程への提言～次代の算数の授業の具体を描く」とあり，その方向性を「全国学テ」の問題から見ていこうとするものでした。　題材は，「米」です。授業者の家庭の米びつに入っているお米が，なくならないうちに新しい米をいつ買えばよいかという問題です。今年の「学テ」の「ハンドソープ問題」をなぞっています。日常生活の話題から入っていて，従来も取り上げられたことがあるかもしれない問題ですが，この問題を解決するために必要な「情報」を「徹底的」に子どもたちとの話し合いで引き出そうとするものでした。　最初に必要な情報をグループで話し合うと，「１日に食べる量」「残っている量」などに加え，「いつカビが生えるか」「特売日はいつか」「外食はどのくらいするか」など，従来の算数授業では，直接算数と関係ないもの(私が「雑音」と呼んでいるもの)も含まれています。それらを丁寧に扱いながら，必要な情報を絞っていきました。　具体的に必要な情報は，右のようなことですが，これらを「徹底的」に子どもたちと考えていきます。まず「合」では処理しにくいので，「重さ」に置き換えますが，１合の重さは実測で見つけていきます。さらに「カップの重さ」を引かなければならないことなども子どもから引き出されていきます。このことは，「残りの米の量」でも同じように進められました。　また「１日に食べる量」についても，前日の日曜日だけは，授業者がご飯を作ったので「1合だったよ。」と提示したのですが，子どもの方から，「1日だけじゃわからないから，1週間のことを教えてよ。」という話になりました。私であればここで用意していた情報(例えば，料理手帳をつけていてそれを見せるなど)を見せますが，この日は「ライン」で奥さんに聞くということで進めていました。(なんと，本当に奥さんに協力してもらって，その場でラインを入れてもらっていたそうです!!)　この日は，これらの数字が明らかになるところあたりで終了しました。次時に計算をして，特売日なども含めて，いつ買えばよいのかが明らかにされていくのでしょう。　私は，算数に日常生活を取り入れることは，必要最小限にすべきだと考えています。しかし「次代の算数授業」では，このような現実の情報を大切にいく方ことにシフトしていく傾向が強くなりそうです。この日のように，「徹底的」に子どもの声を引き出しながら進めるのであれば，それもありなのかと感じました。中途半端にするならば，「雑音」でしかないという立場は変わりません。算数授業は，確実に変わっていく方向性で，私のようなものは，あと数年で淘汰されていくのが正しい道なのかもしれない，ということを感じました。　この日の夜は懇親会で，中央の有名な先生方と話し合う時間が取れました。中でも，昔，KD研で発表した時，厳しい指摘をたくさんいただいた「SK先生」が，昼のすがたも夜のすがたもほとんど変わっていないことに懐かしさを感じました。関係されたすべての先生方に感謝したい半日となりました。　にほんブログ村
21Oct
- 直径
  　前時に，初めてコンパスを使って作図を行いました。まずはその練習からです。「計算用紙」をわたします。この日もそれにどんどん作図練習をするのですが，昨日と違うのは「条件」を付けたところです。昨日は好きな円を適当にかいていきました。この日はまず「半径３cm」という条件を付け，それをできるだけたくさん作図するよう指示しました。最初に定規を使って，コンパスを３cmに広げることを押さえた後，７分程度の時間取り組みました。前日に比べると格段にできるようになっています。　その計算用紙を捨てた後，今度は条件を「半径４㎝」にして，直接ノートに一発勝負で作図させました。１つしかかけないので丁寧にやると，結構上手に作図できていました。　次に，円の中に色チョークで直線を入れていきます。最初の２本を見比べて，どちらが長いのかを考えます。予想した後，実際に確かめるのですが，定規を使ってはいけないことを告げます。「コンパスを使って比べられませんか。」とたずね，片方の長さをコンパスで測り，もう１本と比べる方法を押さえました。　さらに直線を加え，かなり長い直線を作り，今までで一番長い直線にします。それを確かめた後，「この直線が最強だよね。」と促言を出します。子どもたちからは，「もっと長いのがあるよ。」という意見が出ます。それが中心を通った直線です。それを確かめると，「もっと長いのができるよ。」という児童が出てきたので，書かせると，先と同じ長さを縦に書いたものでした。すぐに，「同じ長さだよ。」という指摘が入ります。そこで，「この２本が同じ長さなら，それは何㎝ですか。」と発問し，根拠を語らせていきます。　このようにして，この日に押さえたい「直径」「直径=半径×２」「直径は円の中に引ける直線で一番長い」「１つの円では半径はみんな同じ」という，用語・性質を指導していきました。　この後は，再び作図練習です。さりげなく「半径５㎝」の後に「直径６㎝」という問題を入れておくと，引っかかってしまう児童が数人いました。さらに「同心円状」に作図する問題も入れて，楽しく分かりやすく練習を繰り返していきました。　にほんブログ村

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