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23Jan
- 飛び込み2026
  　新年早々，同じ学年の初任者の先生が「初任者研修」で一日出張となりました。(学級担任をしている若い先生を，こんな時期に一日呼び出す必要があるのだろうか。)急遽，私に「補教」が回ってきたので，いつものように，飛び込みで授業をさせてもらいました。　自分のクラスでもやった，「2026」の授業です。展開は同じ流れですが，子どもたちの反応はやっぱり違います。前半の，かけ算の計算から全部の和を求めるのは，自分のクラスの方が反応がよかったのですが，後半の「虫食い算」になると，このクラスのほうが早く正解を見つけましたし，それの逆などを考えていくのも早く進められました。　今年も学校現場は，人手不足で，学級担任の「空き時間」はこのような補教に使われることが多くなります。大変なことですが，せめて自分自身にとっての楽しい時間にしたいと思っています。　にほんブログ村
22Jan
- 形と式の対応
  　前時に，円を１２等分した点を使って作った三角形と，それに対応する「式」を作りました。この日はまず前時と同じように，「式」を整理します。そのあとに三角形を提示しますが，その三角形は，円から切り離され，三角形そのものになっています。こうすると，どの式がどの三角形に対応するのかが分かりにくくなっています。今日は，その分かりにくい「三角形」と「式」を対応させるのが目的です。　最初に，「絶対この三角形はこの式だ。」と自信をもって言えるものから考えます。子どもたちが選んだのは「正三角形」です。どうしてそれが分かりやすいのかを説明させていく中で，「すべての辺の長さが等しい」「同じ赤い数字は，同じ長さを表している。」というような基本的なことを押さえました。長さが等しいことは，コンパスを使って確かめます。　次に，よく似ている３つの三角形を示し，これらが表しているであろう「式」を考えさせます。一人の児童が「２+２+５」と言ったのでそれを取り上げ，３つの形の「候補」として残します。しかしそのうちのひとつは，「絶対に違う」という児童が現れました。そこで「絶対違う理由」を語らせていきます。　そうすると，その形は全ての辺の長さが違うことが分かります。それなのに式の中に「２」が２つ使われているのであり得ない，という話になっていきました。その裏返しの話が，残りの２つの形は「２つの辺の長さが同じ」になっているということです。「だったらその可能性がある形は他にありませんか。」とたずねることで，４種類の形が抽出できました。それぞれ辺の長さが本当に等しいことは，コンパスを使って確かめます。これら４つに対応する式は，予想や，切り抜きの中に入れて確かめることで押さえていきます。　ここまでの活動で，正三角形と二等辺三角形が抽出できましたので，目的は達成しています。用語などを教えればいいからです。しかしあえて残った三角形についても対応を考えていきました。これは本来必要のないことです。しかし一つの目的のためにやりました。　その目的は，ここまで使ってきた「赤い数字」は，いわゆる「加法性」のある長さそのものを表しているのではない，ということを理解させることです。不等辺三角形の場合，それぞれの長さを表す「赤い数字」を考えるのは難しいことです。同じ長さのものを合わせれば見つけられますが，そうでない場合はどうすればよいのか。　それは例えば「５」だと思った長さを確かめるために「２」と「３」を合わせて確かめる方法があります。しかしこれでは実際にはたしかめられません。加法性がないからです。「だから５じゃないよね。」とやって，切り抜きに合わせてみると，やっぱり「５だった」という結果から，この赤い数字が今まで学習してきた数字とは違うことを押さえたかったのです。しかしうまくその場面を作ることができず，「赤い７の方が赤い５より短いね。」という強引な方法でまとめるしかなかったのです。この点が大反省の授業となりました。　にほんブログ村
21Jan
- １２種類の三角形
  　前時に，円の周りを１２等分した点を３つつないで，１２種類の三角形を見つけました。しかし子どもたちは，まだある，という人がたくさんいたので，この日は「三角形をさらに見つけよう」ということで進めていきます。　少し時間をとって考えさせました。じつはこの場合は「１２種類」が限界なので，もう見つかるはずはありません。それでも子どもたちはがんばって見つけようとしています。そのうち一人の児童が，「見つかった。」というので発表させます。それを数字で整理すると，同じ３つの数を使ったものが他にありました。しかし数字の順番や位置は異なっています。これらが異なれば違う形になるのではないかということは考えられます。そこで，作った三角形を切り抜いて，同じ数字の三角形と比べます。最初は重なりませんでしたが，裏返すと重なりました。これで，「３つの数字が同じだと，順番や位置が変わっても，形は同じ」ということが確認できました。すると別の児童が，また見つけたと言います。それが今までに見つけたものの中にあるかどうかを確認すると，これまでには見られません。ということは新しい三角形が見つかったことになります。１３種類目が出てきてしまいました。これはおかしいことです。すると別の児童が，「いっしょのがある。」と言い始めました。左の２つが使われている数字が同じです。ただし順序や位置は違うので，先と同じように切り抜いて確認すると重なりました。これで１つ増えて１つ減ったので，またトータル１２種類に戻りました。　さらに考えていきますが，なかなか見つかりません。そこで私の方からヒントとして，「見つけた数字には秘密があるということに気づいた人がいました。」と，前時の『ノートにしゃべろう』に書いていたことを紹介しました。３つの数字を足すと９になるのです。その式を，短冊に書いていきます。「だから，３つの数を足して９になる別の式を見つければ，形を見つけることになります。」と投げかけ，「形探し」から「式探し」に転換します。　しかし見つかりません。そこで，「見つかったものの式を確認するために，式の方を整理するよ。」と言いいながら，短冊を２枚だけ並べました。「0+0+9」と「0+1+8」です。「この後どう整理したらいいかな。」とたずね，０から足していく式がうまく並んでいきました。すると一人の児童が，「これで，０を足す式はもうないよ。」と呟きました。　その意味を全体に広げ，次は１から足していくものを整理していきました。すると今度は「１を足す式はもうない」という言葉につながり，以下２や３でも同じように進めました。　するとここから，「４から上はもうない。」という発言にもつながっていきました。　この日，子どもたちが見つけてきた「秘密」は全部板書に残してきました。これをつなげていくと，昨日と今日で見つけた１２種類の三角形以外にはもう存在しないことが分かったのです。　これ以上ない，ということの説明はこのような整理から始まります。３年生にとっては難しい内容ですが，こちらからの適切な援助を入れながら，子どもたちの声で１２種類が決定されていきました。　にほんブログ村
20Jan
- 「三角形」導入
  　３学期教科書教材最初の単元は「三角形」です。辺の相当関係によって三角形の分類を行います。図形の学習なので，最初に「図形の構成」が必要です。考察の対象となる図形を子どもたち自身で生み出します。　前回の実践では「色棒」を使って学習しました。「その様子はこちら」今回は，それ以前に戻って「円の中の点」を利用します。円周上に，時計のように１２個の点が並んでいます。この中の３つの点を選んでそれぞれを結ぶと，三角形ができます。このようにしてできる三角形をできるだけたくさん見つけよう，というのがこの日の課題です。　自力解決で，できるだけたくさんの三角形を見つける活動です。途中で，「回して重なる形」「裏返して重なる形」をどうするのかという質問が出たので板書に残していきます。それ等は「同じ形」ということで１種類にします。　子どもたちは，違う形を作ろうとするのですが，知らないうちに同じ形になってしまう場合もかなりあります。それ等の図形が「回す」「裏返す」関係になっていることになります。　１０分ほどで，全体発表していきます。一つずつ発表させて，今までに出た形との相違を確認しながら進めます。８つ目の図形位になると，よく似た形も登場してきます。それが左の２つです。小さい形で同じようにも見えます。しかし子どもたちは「ちがう」と言いまず。その理由をたずねると，「点の位置が違う」という，図形の置き方に左右された意見が支配します。この２つの図形は，左斜めの辺に違いがありますが，子どもたちは，「右斜めの辺が違う」というのです。理由は「時計の位置が違う」からなのです。ここまでにその確認ができていないこともありますが，子どもたちの見方を表しています。画用紙を回して同じような位置にしても，「それは先生が回したからおかしい。」というのです。画用紙を切って丸くして説明ても，子どもたちは引き下がりません。ほとんどの児童が，右斜めの辺がすでに違う，と判断しているのです。どうしたものか思案している中で，一人の児童が，「左のところが，こっちは１だけど，こっちは２」と言ってくれました。これを利用します。「他のみんなは，右の辺が違うと言ってるんだけど，この人は左の辺が違う」と言っています。と話を転換します。左の辺も違うと感じているのでこの話には乗ってきます。「この辺とこの辺が違うと言っているけど，どう違うんですか。さっきの人と同じ説明で構いません。」こうして小集団学習でこの考え方を広げていきます。今のクラスの子どもたちは，辺と辺をつないだ弧の上にある点の数で表現してきました。反対に，右斜めの辺は，どちらも「１」なので同じだという話に進めることもできました。　このあともう１つの辺もこの考え方で「数字」にすると「６」や「７」になることも分かりました。　この数字のつけ方で，他の三角形も表しておくと，次に見つけた三角形が，同じなのか違うのかがよく分かるようになりました。こうしてこの日は「１２種類」の三角形を見つけて終了しました。子どもたちは「まだある。」と言っているので，次時にそれを追求していきます。三角形を取り扱って，この「数字」が撮りだせれば１時間目のねらいは達成です。　にほんブログ村
19Jan
- 2026年最初の授業
  　今日から、新学期の授業を報告していきたいと思います。2026年最初の授業なので「2026」という数字にこだわった授業にしてみました。　その様子は、本学級の通信「孝和」で報告させていただきます。2026は、以前に「2024」で扱った数式「それはこちら」に「１×１×１」と「１×１」をつけ足して、無理矢理「２」を作ったものです。　そんな遊び心を持ちながら、今年も授業実践を続けていきます。よろしくお願いいたします。にほんブログ村
16Jan
- 実装・数学的・つながる(主題事前研から)
  　冬休み中のお正月ウイークが終わり，仕事始めだった１月５日，今年最初の仕事は，毎年恒例の「県算数部会の研究主題」の検討会です。来年度に取り組む部会としての研究主題を決めるのは，１月末の「支部長会」ですが，そのための事前検討会です。県内では，毎年この会が最も激しい議論になる場，と言えます。　来年度は，地元で県レベルを超えた研究会があります。また，研究委員長も若い先生に入れ替わったので，今までよりも大きな変化がある「主題案」を提示されました。昨年の主題が，「深い学びの実現に向けた算数科授業の在り方」で，今回の提案ではこれが，「深い学びの実装に向けた算数科授業の在り方」に変わりました。また，その下に示された副主題も，昨年のものが，「一人一人が数学的な見方・考え方を働かせる協働的な学びを軸に」だったのが，今回の案では，「子ども一人一人が自ら見方・考え方を働かせ，学びをつなぐ数学的活動」になっていました。これをもとにその説明の文章が４ページにわたって展開されていたのですが，今日は，その主題・副主題の中の文言だけで私のとらえ方を綴らせていただきます。　これまで「実現」と示されていたものが「実装」に変わっています。これは，次期学習指導要領に向けた基本的な考え方を記した論点整理の中の３つのうちの１つに，「主体的・対話的で深い学びの実装」という言葉が出ているからのようです。(後の２つは「多様性の包摂」「実現可能性の確保」)私自身はこの「実装」という言葉を初めて目にしました。(不勉強で申し訳ない)調べてみると，「何らかの機能や仕様を実現するための具体的な装備や方法のこと」とありました。さらに言えば「IT分野」でよく使われる言葉のようでした。年寄りの私には耳慣れない言葉ですが，今の若い人にとっては最新の言葉なのでしょうか。意味をよく考えると「実現」と大きな違いがあるようには思えません。この新しい言葉を耳にして，過去の２つの言葉が頭をよぎりました。　１つ目は「国語力向上」です。この言葉が答申のようなものに示され，それを全国に広げるための研修がありました。私は県を代表して，九州大学で３日間の研修を命じられました。「その様子はこちら」どうして国語力の研修を私が…，と思いましたが，各教科でそれぞれ行われていたのです。それから数年後，表に出てきたものに「国語力向上」という言葉は全く見られなくなり，その代わりに「言語活動の充実」という言葉が見受けられ，当時のキーワードとなりました。　２つ目は，「アクティブラーニング」という言葉です。一時期この言葉を聞かない日はないくらいよく使われました。それによって意味の薄い「小集団学習」が横行するようになったためでしょうか，今は全く聞かない言葉になっています。　このような流行の言葉は，気をつけていないと，すぐに死語となります。わたしたちはこんな言葉にごまかされない，普遍的なものを追求していきたいものです。　次に，副主題の中で「数学的な見方・考え方」が「見方・考え方」と「数学的」という言葉が消えていたのです。これには私は大反対をしました。　現在の学習指導要領では，どの教科でもその教科特有の「見方・考え方」が述べられています。しかし算数科の場合は，昭和３０年ごろから一貫して「数学的な考え方」という言葉を使って，算数科の目標をとらえてきています。私自身，卒業論文も修士論文も「数学的な考え方の評価」をテーマにしてきたので，この言葉は，「日本の算数教育が最も大切にしてきたもの」なのです。他教科の「見方・考え方」とは全然違うものです。絶対に「数学的」は残さなければなりませんし，私は個人時には「見方」という文言も必要なく，「数学的な考え方」でよいと思っています。一般的によく使われる「思考力・判断力・表現力」という３つの言葉も，算数科では，判断力は使わず「思考力・表現力」という使い方をしています。判断と思考を分離することは算数では不可能だからでしょう。同じことが「見方・考え方」にも言えるのではないでしょうか。　最後に，「協働的な学び」が「学びをつなぐ」に変わっています。協働的な学びとすると，クラスの仲間同士の考え方をつなぐ，という意味が強くなります。しかし算数科で「つなぐ」となると，それ以外にも「前の学習やこれからの学習がつながる」ということや，同じ考え方でも「式・図・言葉・表・グラフなどがつながる」ということもあります。これらをすべて包括した「つなぐ」という言葉への変更は大賛成でした。　こんなことを考える，仕事始めとなりました。　にほんブログ村
15Jan
- １１月下旬研修３(４年　変わり方)
  　１１月下旬研修３本目は，４年生の「変わり方」です。この日の「共有の課題」は左の問題で，１列に２０個並んだ時のおはじきの全部の数を考えます。この問題は「変わり方」ではあまり使われません。独立変数が「１」の場合がないからです。「式と計算」などの単元で，式の表現・読みなどで使われることが多いでしょう。　しかしこれを「変わり方」で考えます。「２から始まる表」ができました。４ずつ増えることは簡単に見えます。しかしそこから「式」を考えるのは難しいだろう，と思っていました。しかしこのクラスの子どもたちはしっかりと式を見つけていきました。　右の３つです。具体的な「２０」から「□や○」を使った式に高められていきました。感心したのは最後の３つ目の式です。これは，最初の４から４ずつ増えていくことを表現しています。「初項４　等差４の等差数列」になっていることを見事に表現しています。「式と計算」で，静的にこの式を考えるときは，１列を２個ずつ外して数え，最後に頂点の４個を足すことになるので，「＋４」は後ろにつきます。よくこの式を見つけ出したものだと感心しました。これができるのであれば，この教材を「変わり方」で扱うのもありでしょう。　「深める課題」は，左のように図形の形を変えたもので，子どもたちはすぐに構造を見抜いて式を作っていました。しかし「表」をかく児童もかなりいて，先の問題で使ったことをよく活用していると思いました。「発展」としては３つの授業の中で一番ジャンプが小さいと思いますが，本来はこの程度のものが適切なような気がしました。参考になる授業をありがとうございました。　にほんブログ村
14Jan
- １１月下旬研修２(６年　場合の数)
  　１１月下旬研修２本目は，６年生の「場合の数」です。この授業で示された最初の問題(前時に扱っていたよう)が，左のものです。２つの問題があります。左は左下から右上までに行く道筋の問題で，６手で進む中で，上に行く２手をどこにするかという問題です。したがって１５通りになります。　それを受けた右の問題は，道の途中に池があり，そこは通れない，という設定です。面白い問題です。狙いは「場合分け」だったようです。ただ，この程度ならば「試行錯誤」でできてしまうので，その考えは広がっていないようでした。授業者が，「絶対に通らなければならない２点はどこですか。」という発問に対し，いろいろなところが示されているのです。実際には右の「青丸」の地点になるでしょう。(一番スタート地点に近い位置)ただ，下の青丸は１通りしか行き方ができないので，そのことを考える必然性が薄くなっています。もう一つの青丸は，そこまでの行き方が３通り，そこからゴールまでの行き方も３通りなので，トータル９通りの行き方ができ，下と合わせて「１０通り」となります。　さて，それを受けた「深める課題」が左の問題です。下の段の真ん中にいる「桃太郎」が，「赤鬼」のいる部屋に行く方法が何通りあるのかを考えます。桃太郎は，スタート部屋から，前後左右，さらに斜めもすべて移動できます。　この問題を解決するためのポイントは，「赤丸」の位置です。この位置を通らずに鬼までたどり着く行き方は１通り(最短距離)です。次に赤丸への行き方ですが，左回りと右回りがあります。左回りは５通りです。そこから鬼にたどり着く道は３通りあるので合計１５通りです。一方，右回りで行く方法は１通りで，そこから鬼にたどり着くためには，元の場所に戻れないので2通りしかありません。したがってトータル２通りになります。これでトータルは，「１＋１５＋２」となり１８通りになります。　子どもたちは，班で考えて１８通りと正解していたのは２つの班です。ただし式が「６?６＋６」なのでどう考えたのでしようか。それはわからずじまいでした。　ただ，この問題は「ジャンプ」が大きすぎます。また「場合分け」という考え方も定着が薄く，子どもから見れば「別問題」ととらえているのではないでしょうか。　ただ，すごく面白い問題なので，もう少しシンプルな状況にして考えさせたいと思いました。楽しい発展課題を紹介していただきありがとうございました。　にほんブログ村
13Jan
- １１月下旬研修１(５年　円と正多角形)
  　１１月末に，某国立大学附属小学校の研究会に参加させていただきました。コロナ禍前は何度か足を運んだことがある学校ですが，昨年はリモートでの参加でした。今年は初めて自家用車で４時間弱をかけていってきました。(以前は夜行バスで行っていた)同じ日に毎年恒例で参加していた某学校(確率などに特化したよい研究をしている学校)と比較してこちらにしました。決め手は３本の授業が見られることです。　算数科の研究アプローチとして「二層構造の課題設計」ということがありました。具体的には１時間の授業の中で，「共有の課題」(基礎)と「深める課題」(発展)を取り扱うということです。私はもっと単純に，「適用問題を必ずやり，その問題を発展的なものにする。」ととらえました。　１本目は，５年生の「円と正多角形」で，半円の複合図形のまわりの長さを求める問題です。左のような問題で，教科書にもみられるものです。この２つは，どちらも３１．４㎝になります。その理由として，10㎝という大きな円の直径の上にできた小さな２つの円の周りの長さが１つの大きな円の周りの長さと同じになるからです。　この日の子どもたちもそのことに気づきましたが，そのイメージとして，「ペコペコのボールをへこませても，周りの長さは変わらないようなもの。」という言葉で語られました。大変すばらしい言葉だと思いました。　この問題に続いて示された「深める課題」が右の問題です。なかなかおもしろい問題なのですが，時間不足もあって子どもから出てきた解答は，上下の半円を組み合わせて，直径2㎝，4㎝，6㎝，8㎝の円周の和を考えたものでした。いい考えですが，これでは「共有の課題」で取り上げた「直径の上にできた小さな2つの円の周りの長さ」のことが全く使われていません。　私が後の研究会で指摘させてもらったのは提示した図形のことです。この問題の図形の中に，共有の課題で使った「半円の長さ」がどこにあるかを見つけます。「０～８の外側の大きな円にある，上下の半円　２つ」「０～６～８という直径の上にできた小さな半円　１つ」「０～４～８という直径の上にできた小さな半円　１つ」ここまでは先と同じ形で見えます。しかし最後の１つが，「８～２～４という今までとは違う長さ」になってしまうのです。最後に２～４と戻ってしまいます。もちろん長さを考えると半円になるのですが，そこに「ジャンプ」ができてしまいます。これを防ぐためには，最後が「８～２～０」になるようにすればよいのです。そうすると元の図形は「点対称」になりますので，こちらの方が自然なはずです。　このあたりについて，授業者と個人的にお話をして交流させていただきました。面白い問題を提供していただき，参考になりました。ありがとうございました。　にほんブログ村
12Jan
- １１月公立校研修(４年　分数)
  　公立校研修３本目は，４年生の「分数」です。同分母分数のひき算の場面です。前時にたし算をやっていて，今日はひき算です。「仮分数－真分数」になっていますが，基本的には３年生で学習した内容と相違はありません。　子どもたちはノートに自分なりの図をかいて取り組んでいます。基本的には，右のようなテープ図が示され，ちがいの部分を確認して，２/４になることが押さえられていきました。　この学校では，全校で統一しているのでしょうか「吹き出し」の取り組みを行っています。さらに，「数学的な見方・考え方」を「モンスター」と呼んで，子どもたちに定着させているようです。いわゆる「問題解決のストラテジー」のようなものでしょうか。　そのモンスターの１つとして「ヒトッツ」がありました。これは「１とみる」見方を表したもののようです。１/４を１とみて計算していることがまとめられていきました。なかなかいい取り組みだと感じました。　授業はそのあと「５０－３０」「５万－３万」「０．５－０．３」などについても考え，加減計算全般をまとめて終了しました。４年生のこの段階で「整数」「小数」「分数」の加減が完了(異分母分数は，ヒトッツをそろえる。となる)するので，このまとめは当然必要でしょう。教材研究がよくなされた素晴らしい授業だと思いました。ありがとうございました。　にほんブログ村
09Jan
- １１月公立校研修(６年　場合の数)
  　公立校研修２本目は，６年生の「場合の数」です。左が本時の問題ですが，これを見た子どもたちはすぐに，「昨日と同じだ。」と言っています。　ところが１か所だけ違っていることに気づきました。それは，前日はアイスを「コーン」に入れたのですが，この日は「カップ」になっているのです。コーンは上下があるので順序が関係しますが，カップの「左右」は，回してしまえば関係なくなるのです。　順列と組み合わせの問題は，全く違う場面で導入されることが多いと思うのですが，このようなちょっとした違いで場面が作れるのは素晴らしいと感じました。　子どもたちは，順調に自力解決していました。樹形図を作って，かぶっているものを消していく方法と，最初から被ったものは書かない樹形図。さらに「対戦表」のようなもの，線でつないでいく方法など，多彩な方法が出てきました。　結論として，昨日は２０通りだったものが，半分の１０通りになりました。順序が関係していると１つの組み合わせで２通りになりますが，そうではないので半分になることともおさえられていきました。　最後に，アイスをもう１つ乗せられることになるとどうなるのかという話も出ていました。そうするとこの１０通りに，残った３つの味を乗せる組み合わせがあるので３０通りになります。下は組み合わせ，上は順列となる面白い問題になります。　授業の展開はオーソドックスなものでしたが，教材の新しい見方が新鮮に感じました。ありがとうございました。　にほんブログ村
08Jan
- １１月公立校研修１(２年　かけ算)
  　１１月中旬に，恒例の「公立校研修」に参加してきました。附属小学校や，有名な先生の飛び込み授業ではないこの研究会は，毎年楽しみにして参加させてもらっています。授業は３本見られました。１本目は，２年生の「かけ算」です。　一般的な「九九表」が右と下に広げられています。ただし数字は入っていません。その代わりに，左の３つの式のところに「あいう」の記号があり，そこの数字を考えることが本時の問題でした。　ここまでに学習したかけ算のきまりである「交換法則」や「かけられる数ずつ増える」「1つ分×いくつ分」などを確認し，右のようなめあてが出て，それぞれが考える時間となりました。　子どもたちは，答えは見つかっているようです。それに加え，説明も考えています。「５×１０」の場合は，４５に５を足すという決まりを使った説明ができていました。さらにかけ算の意味に戻って「５が１０個」や，交換法則で「１０×５」に変換するアイデアなども出てきました。　一方「３×１２」のほうはかなり苦戦していました。３６になるのはわかっているのですが，「３ずつ増える」を３回説明できておらず，ある児童の，「３×９十３×３をたせばよい」という，理解しにくい方法に振り回されてしまった感もありました。　それでも何とか結論を出し，九九をこえても今までのきまりが使えることをまとめて終了しました。公立校の一般授業とは思えない，主張のある授業で素晴らしかったと思います。ありがとうございました。　にほんブログ村
07Jan
- １１月湖国研修２(５年　割合)
  　１１月中旬研修２本目は，５年生の「割合」です。割合について一通り学習した後の「活用」場面です。この学校では，社会科の学習でしょうか「稲作」をしているそうです。このとき，２種類の米(AとB)を作っていて，そのどちらが「暑さに強い」のかを考えるというのが問題でした。　そのためのデータが示されました。正常に育った「整粒」と，白く濁ってしまった「白未熟粒」の数です。子どもたちは，「全部の米の粒数」を欲しがっていましたが，それだと簡単になりすぎるので，この２つを出したのは妥当でしょう。　このデータが出たときに，「白未熟粒」の数が少ないAのほうがいいのではないか，と投げかけられたのですが，子どもたちはそれではだめだと否定しました。それに対して「ひき算ではできそうもない。」と授業者が板書しました。しかし後の研究会で，「その考えは，ひき算ではなく，絶対数で比較しているだけのこと」と指摘させていただきました。「差で比べる」というのは，ひき算をして出てきた数字同士で比較することを指しているのです。　子どもたちは自力解決しました。全員のものは見えていませんが，図をかいたり式を作ったりして考えているようです。　数直線が黒板に示され，全体の粒数に対する「白未熟粒」の割合が求められ，結論に至りました。ほかにも「整粒」の割合で比べる方法などもあるのですが，それはほとんど示されませんでした。子どもたちはタブレットも持っていましたが，黒板に書かれた数直線も授業者がかいたものでした。アナログもデジタルもどちらも使われない展開です。　後の研究会で指摘させてもらったことですが，この数字を提示すれば右のような考え方が出てきます。これをどう扱うのか。これは「整粒」に対する「白未熟粒」の割合になります。数直線でいえば，どこが「１」になるかということです。そんな話し合いができれば面白かったでしょう。　まだ若い授業者でしたが，教科を横断した教材を開発していて意欲的に感じました。ありがとうございました。　にほんブログ村
06Jan
- １１月湖国研修１(６年　反比例)
  　１１月中旬に，某国立大学附属小学校の研究会に参加させていただきました。3年連続の参加となりました。この学校は意欲的に研究されていて，夏にもズームでの研究会に参加させていただきました。授業は２本見られました。１本目は６年生の「比例と反比例」で，反比例の導入場面です。　導入教材は，面積一定の長方形の縦と横の関係です。教科書などでも使われているオーソドックスな素材です。ただ「1㎝ずつ増える」という注釈は，分離量のイメージになってしまうので，いらなかったのではないかと思いました。この点を指摘され，面積による導入に懐疑的だった方もいて，その通りだと思うのですが，私はメリットもあると思っていました。(後述)　授業では，この問題に対して，表・グラフ・式・言葉などで表わす自力解決に入りました。子どもたちは「比例」の時に同様の活動をしていたようなので，いろんな活動をしっかりやっていました。このクラスの子どもたちにとっては抵抗感が少ないようにも感じました。　話し合いでは，子どもたちから次々といろんな意見が出されました。まず式がいくつか出てきました。最後に出てきた「y=24×1/x」というのは，とても面白い見方です。反比例は，逆数に比例する，ということなのでそれをよく表しています。　ただ，後の研究会で指摘させてもらったのですが，この学習で一番子どもたちの心が動くのは，「どうして，横が２倍になったら，縦は１/２になるのだろう。」ということです。数字上そうなっていることはよくわかっているのですが，「なぜ」の部分が抜けているのです。その「なぜ」にこたえるときに，「面積」で導入していることのメリットがあります。　それは，長方形の面積なので，具体的な図がすぐに描けます。右のように描けば，２４を保つためにそうならざるを得ないことが見えますし，グラフと同じ形になっていることも見え，面白さを感じることができたはずです。　授業は基本に忠実なオーソドックスなもので，大変安定した展開だったと思いました。発想な豊かな子どもたちも含めて感謝したいと思います。　にほんブログ村
05Jan
- フェリー研修2(１年　たすのかな　ひくのかな)
  　フェリー研修２本目は，１年生の「たすのかな　ひくのかな」です。ここまでに学習した加減の問題の演算決定に特化した授業です。この時間までに，たくさんの「問題づくり」をしてきたようです。足し算は「増加」「合併」，ひき算は「減少」の問題はたくさん作ったのですが，「求差」の問題はほとんどなかったそうです。　この日の授業は，それぞれがノートに作った問題を友達と見せ合い，その問題の式がどうなるのかをワークシートに書いていきました。この時，立式が難しい場合には，「絵をかく」ということが指示されました。　ただ，実際には式がすぐにできているのに絵をかいている児童がほとんどで，絵をかくことの楽しみになっていることは否めませんでした。この活動が30分近く続いたので，私はもっと早く切り上げるべきだと思いました。　ようやく，「難しかった問題」が黒板に提示され，全体で考える活動に移りました。左の問題は「７＋７」なのですが，何人かの児童が「０人」としています。むかえにきたので，「つれてかえった」というイメージを勝手に持ったのでしょう。実際の状況を「絵」にしながら確認します。　右の問題は，何人かが「１７＋９」としていました。その要因は「くれました」という言葉にとらわれたからでしょう。演算決定を「言葉」だけで判断することを戒めた，本時のねらい通りの問題になっています。問題文の視点という１年生には難しい「読み」が必要になります。　この問題の立式に対して，「絵」が出てきました。１７の○がカボチャを表しています。(この問題を作った日がハロウィンだったそう)この図の外側に「私」を設定して，そこに矢印のようなものでカボチャを移動している様子を表現しました。とてもよい図です。この図は，複数の児童の手で完成しました。それを見せることは「図のかき順」を見せることになるのでとてもいい活動だと思います。　左の問題が最後に示されました。ほとんどの児童が「１０－４」としているののですが，一人の児童が「10－2」と言って譲りません。何人かが出てきて絵をかくのですが，最後まで納得の表情はありませんでした。この児童は「２人が２こ」というのを「２人で２こ」ととらえ，「一人１個」でイメージしているのでしょう。時間外になりましたが，ブロックを使って説明している様子も見られました。　授業全般を見ていて，一人ひとりがワークシートに絵をかいているときは，自分自身のため(それも必要感は乏しい)に書いていたので，お絵かきになっていることも多かったのですが，全体で共有した問題を説明する場面では，「人に説明するための図」になるので活発になってきました。前でかくことで「絵のかき順」も意識できます。できればあと２問くらいこのような活動をする時間を確保してほしかったです。　子どもたちはとても素直で表現豊かです。この授業者の授業を３年連続で見せていただき，すべて「加減」の問題場面でした。しかし自分でテーマを決めて意欲的に研究している姿がとても清々しく感じました。関係されたすべての方々に感謝したいと思います。　にほんブログ村
04Jan
- 二十歳を祝う会
  　昨日(１月３日)，８年前に６年生を担任していた子どもたちの「二十歳を祝う会」に招かれて参加させていただきました。この学年は，５年生の時に担任し，クラス替えがあった６年生でも担任させてもらった学年なので，全体の５/９(１/３+２/３×１/３)の子どもたちをどちらかの学年で担任させていただきました。　みんな立派なスーツと晴れ着なので，すぐには誰だかわからなかったのですが，話をしていく中で少しずつ当時の記憶がよみがえってきました。私は年間１００号の学級通信を出しているので，当時のものを振り返ってみました。　５年生の時の学級通信は「カントール」です。私は自分が作った造語として「人生と数学の本質はその自由性にある」という言葉を，いつも卒業生に送り，著書の最後にも記させていただいています。この言葉こそ数学者「カントール」の言葉で作られているのです。(カントールには「人生」は入っていない)そんな最も大切な数学者を冠した世代だったのです。　6年生になると，学級通信は「ポワンカレ」になります。この年もたくさんの思い出がありますが，なかでも夏休みの登校日に行った「授業研究会」が思い出に残っています。現在４回を数えている「多くの夢・志の算数授業研究会」の前身となる「生授業研究会」を初めて行ったのです。「その時の様子はこちら」　そんな子どもたちとの再会の会は，約４５分ほどの短いものでした。その中で私も５分程度の「励ましの言葉」を述べさせていただく機会を与えてくださり，子どもたちと素晴らしい新年のスタートを切ることができました。　あの卒業式の日から約８年「その日の様子はこちら」。これからもこの子どもたち，いや若者たちの将来に幸があることを祈念したいと思います。　にほんブログ村
02Jan
- フェリー研修１(６年　比と割合)
  　毎年秋の恒例となったフェリー研修に参加してきました。授業は２本見られました。１本目は６年生の「比と割合」です。比と歩合などは，同じ「割合」の別表現です。したがって同じことを表しているのですが，実際には使い分けがなされていて，よく目にします。どちらのほうが分かりやすいのか，という問題に直接対峙した授業構想でした。　今日は授業の展開より，この問題に私なりに感じたことを綴りたいと思います。２つの使い分けがなされる右の２つの問題が提示されました。２つのものを混ぜるときには「比」が使われ，割り引きなどを表す場合には「歩合」(百分率)が使われます。この2つの問題に特化して，めあてが再設定されました。　上記のめんつゆの問題を，歩合で表わすとすると，「おでんのだしは，めんつゆの５倍の水で薄めます。めんつゆ500mlだと水は何mlになりますか。」となり，それほど違和感もありません(５倍希釈など，この表現も使われる)し，問題自体も簡単になっています。ただ現実におでんを作るときは，めんつゆも水も自分で分量を設定する必要があります。算数の問題だからめんつゆ500mlが設定されているので，簡単に見えるのではないでしょうか。　一方，割り引き問題を比で表わすと，「割引額と肉の代金の比を3:10にします。肉が260円の時割り引き額はいくらですか。」となり，違和感しかありません。そもそも割引額のほうを求めるのも不自然で本来は代金のほうを求めるのでしょうが。(売る側から見れば，割り引きを強調したいので割り引きの方を示すようになる。)　割り引きの場合，もとにする「代金・定価」は，買う側から決めるものではないので，示された代金に指定の「歩合」で計算すればよいことです。つまり２つの数字の関係を表していますが，一方の値には自由度がないのです。　以上の２つをまとめると，日常生活の中で２つの量を「主体的」に決める場合は「比」，１つの量は与えられもう一方だけ考えればよい場合は「歩合」ということになるのでしょうか。　授業では，子どもたちが自分のイメージにしたがって，いろいろな発言が見られおもしろい授業となりました。特に，左のような「図」は初めて見ました。よく使われる「比例数直線」の，下の部分(本来は「1」や「0.3」が書かれるところ)に，線分図的に比を表したものは斬新に感じました。　この日の研究会は，授業ごとに行われたので，この研究会には参加できなかったので，どんな話し合いになったのか大変気になりました。特にこの授業をKD研の「SK先生」がこられてみていたので，どんな話をしたのでしょうか。「それはこちら」いろいろと興味深い授業となりました。ありがとうございました。にほんブログ村
01Jan
- 新年のご挨拶
  　新年あけましておめでとうございます。令和８年，２０２６年がスタートしました。毎年新年には，数字にまつわることを綴らせてもらっています。　２０２６は偶数ですので，素数ではないことはすぐに分かります。２で割ると「１０１３」になるので，この数が素数なのかどうかを考えてみたのですが，いくら考えても見つからないので，どうやら素数のようです。　去年の「２０２５」は，４５の平方数という際立った特徴がありました。九九の全ての数を足すとこの数になることも分かり，今年最後の授業に使わせてもらいました。そのもう１年前の「２０２４」は，「２～２２までの偶数の平方数の和」だったり「２から９までの立法数の和」だったりして，面白い特徴がありました。それに比べると今年の「２０２６」はかなり平凡な数のようです。　調べてみると，「２０２６」の素因数である「１０１３」は，「２２の二乗+２３の二乗」となっているので「平方数」というのはいろんなところに潜んでいることを感じました。　ということで今年はどうやら平凡な年になるかもしれません。最近いろんな事件・事故・災害が起こっているので，そんな年になることが一番なのかもしれません。わたしにとっては，今年が「定年退職」の年になるので，そんな１年になれば幸いです。ただし，算数の授業だけは，波乱万丈のドラマが生まれることを願いながら取り組んでいきたいと思っています。今年も本ブログ「授業がんばりMATH」をよろしくお願いいたします。　にほんブログ村
30Dec
- テストの考え方(裏テスト)
  　長い間記事にしていなかった「裏テスト」について久しぶりに綴りたいと思います。　当地では，各教科のテストは「県内の教科部会」が作ったものを使うことが一般的です。夏休みに，市内の全算数主任が集まり，目の前の子どもたちに合わせたテストを毎年改定していきながら作っています。(算数・理科・社会に関しては，ワークブックも同様)当地の素晴らしいシステムの１つで，私はこのようなことをしている「算数部会」に誇りをもっています。　そのテストは，表だけに問題があり，裏は白紙になっています。その白紙の部分に「考える力」を見取るための問題を印刷して，テストに臨ませている取り組みが，私の「裏テスト」です。　ところが，いま私の勤めている学校は，その部会作成テストを採用せず，「市販テスト」を使っているのです。正直に言って，カラー刷りできれいなだけで，質・量ともに「こんなのでいいのだろうか。」と思っています。私なりに「抗い」ましたが，学校全体のシステムを変えることはできていません。このテストは裏にも問題(問題ではない場合も多い。コラムだったり配点のないクイズだったり。どうしてテストにそんなものが必要なのでしょうか。)があるので，「裏テスト」はA4用紙に印刷したもう１枚のものになり「プラステスト」と呼んでいます。今回，３年生の「分数」単元のプラステストが左のものです。同分母分数の加減文章題が５問あります。このようなものは「本テスト」にもあるのですが，私の問題は，２番から５番までの４問は「逆思考」にしてあります。これらに対して正しく立式できるかどうかを「見取ろう」としたわけです。　１番は，順思考の問題なので，正答率１００％でした。本テストではこのタイプしか出ません。２番と４番は加法の場面の逆思考でひき算になり，正答率はどちらも８０％ほどになります。３番は減法の場面の逆思考でたし算になり，正答率は９４％です。同じ逆思考でも，加減によって差が出ています。　一方，最後の５番の正答率は９７％です。間違った一人もケアレスミスのようです。この問題は場面が減法でひき算で求めるので，何も考えずにひき算にしたので正答率が上がっているのでしょう。　これらの傾向は，２年生で学習する逆思考の場面と類似しています。正答率は２年生時よりよくなっていると思いますが，「本テスト」では絶対に分からない問題点です。テストにも「授業観」があることを意識したいと改めて感じました。　にほんブログ村
29Dec
- 特設(2025最後の授業・九九の和)
  　２学期最後の授業となりました。それを板書した後，以前に何度か使った「九九パズル」を見せて，完成させます。もうすっかり慣れてきたようです。黒板に九九表が並んだあと，「今日は，九九の各段の数を全部足してみたいと思います。」と投げかけ，「一の段」から計算してみることになりました。　ほとんどの児童が，左から順に普通に足しています。この程度の数字ならばこの位の計算はできるでしょう。これで「４５」になることは分かりましたが，「もうすぐ４年生だから，もう少し工夫はできないかなあ。」と投げかけると，一つのアイデアが出てきました。それは両端を足して「１０」を作り，それをだんだん内側に寄せてくる「ガウスの計算」です。１０が４つでき，真ん中の５が余ったので足する４５になりました。　この方法を「２つの数を組み合わせて考える」とまとめると，別のまとめ方が出てきました。それは右端の９はそのままにして，「１と８」「２と７」などをペアにする方法です。そうすると，９が４つでき，最初からある９と合わせて「９が５つ」になって答えが求められました。この２つの工夫はそれぞれ「１０×４+５」「９×５」と式にまとめられていきました。　新しいアイデアが出てきたので，その考え方を使って「２の段」「３の段」も考えていきました。まだ左から順に足す児童もいましたが，ほとんどの児童が，どちらかの「ペア」を作って計算で求めるようになっていきました。ここまでで，これらのアイデアによる計算を定着させます。　できた式は，黒板に直接書かず，短冊に書きます。するときまりが見えてきたときに「動かす」ことができます。２つのペアの取り方を，色を変えて短冊に書いていたので，次の段の式も見えてきました。　こうして，残りの段の和も無事計算することができました。そうすると今度は，それらの答えをすべて足せば「九九全部の数の和」が求められることになります。　この計算は，筆算など，丁寧に計算するしかありません。９つの計算を一生懸命がんばりました。しばらくするとその結果があちこちで呟かれ始めました。「２０２５になる。」今日の授業の終着点は「２０２５」を求めることでした。これで今年も無事終われます。「めでたし，めでたし。」　にほんブログ村

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