授業がんばりMATH -2ページ目

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26May
- 研究大会に向けて(算数を学ぶ会)
  　先週の土曜日に，「算数を学ぶ会」を行いました。今回は，今年地元で行われる「県レベルをこえた研究大会」で，授業をされる先生と，研究発表をされる先生が来られていました。さらに，郡の研究会で授業をされる方もいて，総勢１０人となりました。　最初に２年生の「１０００までの数」で，数の大きさ比べをする学習について話し合いました。上の位の数字からくらべていくことを学習します。このような場合は「ゲーム」にして，子どもたちから，「もう絶対勝ちだよ。」「だめだ，もう勝てない。」など，上の位で決定してしまうことを引き出す展開にする必要があります。　次に５年生の「小数のわり算」で，立式した後答えを出す時間について話し合いました。教科書にはいろんな方法が出ています。しかしこれらが「自力解決」で登場してくるとは思えません。改善策として，数値をかえて，「２．５ｍが１００円のリボンがあります。このリボン１ｍは何円でしょう。」という問題に変え，式を作る前にとにかくこの問題の答えを力業で導き出させる展開を考えました。この場合，１００÷５をして，０．５ｍ分のねだんを求める方法があります。また，２倍して「５ｍが２００円」という方法もあります。とにかくそのような感じで答えを明らかにした後，「１００÷２．５=４０，となるためには，どんな計算をすればいいんだろうか。」と，答えと式の順を逆にして考えるのはどうかと提案されました。　その他，６年生の分数÷分数などの話をして，具体的な授業について２時間，語り合いました。気温上昇に負けない，暑い半日となりました。　にほんブログ村
25May
- かけ算の意味拡張
  　「小数のかけ算」の単元に入ります。第１時は「×小数」の導入で，算数教育の世界でいう「かけ算の意味拡張」の場面です。私は，小学校３大難関教材と呼んでいます。　左のような文章題で導入です。板書・視写の後自力解決に入りましたが，この反応でこれまでの学習状況がある程度見えてきます。自力解決できない児童が圧倒的に多いのです。その中で「２４×６」という，出てきた数字をそのまま当てはめる，というのがその典型です。そのような学習場面しか経験がないのでしょう。イメージすることをストップさせています。　もちろん「２４×３」と倍関係のイメージがもてている児童も数人います。逆に「２４÷２」をして１ｍの重さを求めてから考える児童が，たった１名しかいませんでした。これも大きな問題と言えます。　この２つの考えを発表させますが，「３」の意味を全体に広げていくのにもかなりの時間が必要でした。一方，式が示されると１ｍの重さを求める方法(帰一法)の意味は比較的よく伝わったようです。どちらの方法でも答えは「７２ｇ」になりました。　次に数字を「４ｍで４８ｇの針金１０ｍの重さ」に変えます。帰一法を知った子どもたちは，１ｍが１２ｇ(さっきと同じ)になることを利用して「１２×１０」で求めています。一方，倍関係でみる児童も「２．５倍」になることを見つけ「４８×２．５」とすんなりと立式している児童もかなりいます。ここは揺さぶりをかけなければいけません。　「４８×２．５」の場合，線分図を使うと「４８+４８+２４」というたし算になり，同数累加とは言えなくなります。このことに「違和感」をもつ児童と「まあいいんじゃない。」という児童に分かれます。これが大切で，形式だけ見ると似ているので「まあいいか。」と考えるのも真。同数累加の意味にこだわって違和感をもつのも真。ここはその両方が出てくれば成功です。　さらに「３ｍで３６ｇの針金７．５ｍの重さ」になると，帰一法を使っても，最後は同数累加にならない「違和感」になります。そうすると，この立式を認めなければかなり難しい式になってしまいます。そこで，「じゃあ仕方ない。まあいいことにするか。」というのが，数学の「約束」の作られ方です。　ただしこのことを，単純に認めるだけでは安易です。この日，考えてきた針金の長さと重さを表にまとめていきます。整数値で示された結果を眺めると「比例関係」になっていることが分かります。その表の中に「７．５ｍで９０ｇ」という結果を組み入れます。一瞬違和感もありますが，これまでの比例の約束である「２倍，３倍…になるともう一方も２倍，３倍…になる」という約束が，小数倍でも成り立っています。だから表の中に入れ込んでも性質が変わらないことを押さえ，かけ算の立式を認める約束をします。　これまでの「×整数」の性質と，今回の「×小数」の考え方が，今までの約束のルールを守りながら新しく組み入れています。このように考えを進めていくことを「拡張」と言い，拡張の結果今までのものを包摂しながら１つにすることを「統合」と言います。　日本の算数教育が挑戦してきた本質の流れを大切にいながら。わたしなりに進めている授業構想です。　にほんブログ村
22May
- ×純小数
  　まずは前時までの復習です。「１ｍが８０円のリボン」の問題で，２から４ｍの長さを求めます。式を確認し，その式になる理由を比例関係を使って説明する練習も行います。さらに長さを「２．５ｍ」と小数にしても，同様の説明で式が作れることを確認します。計算方法は，かける数を整数に直して計算し，もとに戻すことで求めていきます。ここまでの結果は短冊にまとめ，表のような形にしておきます。（写真２）　ここで本時の問題に入ります。この日は，リボンの長さが「０．５ｍ」になりました。出題したとたん，「４０円や。」と，答えが一番に飛び交いました。半分になっているのですぐにイメージできるのでしょう。そこで，「じゃあ，式はどうなりますか。」と発問します。数人がいろいろと呟いています。「わり算」というような声も聞こえてきました。それでも最初に発表した児童は，「８０×０．５」と言ったので，これまで同様の説明が成り立つのかどうか。さらに計算方法も今まで通りにやると，イメージできた「４０円」になることも分かりました。　このような，かける数が１より小さくなったのは初めてです。まずこれをめあてとして確認し，いくつかの場面で立式をします。比例関係を使った「四ます関係表」を利用します。　計算も，これまで同様にやっていきますが，頭の中で処理できる人は，ここから離れてすぐに答えをかいてもよい，ということにします。　「今日計算している問題は，今までに絶対にありえなかったことがあるんですが，なんだかわかりますか。」と発問します。子どもたちは気づいていません。いくつかのヒントを言いながら，かけ算の答えが，もとの数よりも小さくなっていることに気づかせていきました。これは子どもたちにとっては意外だったようです。一人の児童が，「そりゃそうだろ。１のときが…」と，語り始めたので，続けさせると，洗練されててはいませんが，この場面で扱いたい内容に近いことをしゃべっています。その児童の言葉を拾いながら，かける数と積との関係をまとめていきました。　そのあとは，教科書の練習問題をして終了しました。指導書の２時間分を進めたことになっています。　にほんブログ村
21May
- 整数×小数の計算
  　前時に，かけ算の意味を拡張しました。本時はそれを使って立式し，計算方法を考えていきます。　まず，リボンの長さと代金の関係を使って，立式を確認します。簡単な比例の最後の時間にやった「かけ算になる理由」を確認しながら，×整数をやっておきます。そのあと，「×２．５」になるようにします。この場合も，整数のときと同じように「２．５倍」を使えば，立式してよいことを前時に約束しているので，式を作ることができます。さらに，その答えは，線分図と意味に立ち返って「８０×２．５=２００」を押さえます。しかし毎回このような線分図をかいて答えを求めるのは大変なので，その計算方法を考えていくことにしました。　計算方法については。教師主導で全体指導していきます。まず，×２．５はできないので，×２５をします。この計算で求められた数字は「リボン２５ｍの代金」であることを確認します。次にこの代金をどうすればよいのかを考え，１０倍しているので「÷１０」をする必要があることを引き出します。そのことを，計算の性質だけではなく，比例の表を使って，逆向きの見方を押さえながら一般化していきます。　この考え方を「図」でまとめていきます。式と矢印を使って，１０倍して計算したものを１/１０に戻すイメージを作ります。いずれにしても，結果的に計算しているのは「整数の計算」であることを押さえ，まとめてしまいます。　最後に少し練習題をした後，その時の数字を使って，その以外の方法に触れます。教科書には，「0.1ｍの代金」を使う方法や，「２ｍと0.3ｍに分ける考え方などもあったので，それを見せた後，教科書の練習題をして終了しました。　にほんブログ村
20May
- かけ算の裏の比例
  　前時に「簡単な比例」の定義までやらなければならなかったのですが、時間不足でできなかったので、その部分を最初にやってしまいます。ゴールデンウイークの６連休明けになったので、前時の板書を見せて思い出させ、約束をまとめました。　レンガと植木鉢を積み上げる問題で、比例とそうでないものの確認をします。　「ここからは、３年生くらいの簡単な問題をやりましょう。」と言って、小黒板で４問ほど出題します。確かに問題そのものは簡単なので、短時間で解決することができます。これらの問題を解くための「式」と「答え」を確認した後、さらに続けます。「これらの問題には、全て４が入っています。この４を□に変えます。」と言いながら、用意していた「表」の４のところの数字を埋めた後、あとの部分を考えていきます。　最初の３つは、全体で表を埋め、最後の問題だけ個別に表を作らせていきました。本当はもっと一人でやらせるべきですが、時間がないのでそうしました。　表が出来上がった後、「この４つのうちで、比例になっているのはどれかな。」と尋ね、２つが比例していて、あとの２つは比例していないことを確かめました。そして、「比例するものとしないものはどう違うんだろうね。」と発問しました。返ってきたのは、「比例するほうは、数字が２つで、市内方は３つ使っている。」というのです。これを全体に広げ、比例しているものは、シンプルに２つの数字で１つの計算になっていることを確認しました。しかもその時の演算は「かけ算」です。　このように、今まで何気なく使ってきた「かけ算」ですが、それが使える場面では、その２つの数の間に「比例関係」があったわけです。比例関係が成り立っていることが前提なのです。そのことを少しでも意識させるためら授業で、私はこの授業を「かけ算の裏に潜んでいる比例」と呼んでいます。　にほんブログ村
19May
- かけ算になる理由
  　「簡単な比例」の最後の時間です。前時と同じような「文章題」を３問見せ、「この中で、かけ算ですっとできる問題はありますか。」と投げかけます。３つのうちの２つがそれであることは明白です。その問題を確認した後、「と、いうことは針金の、長さと重さにはどんな関係がありますか。」と、私から見れば前時の確認のつもりの発問を出しました。しかし子どもたちからは反応が返ってきません。前時のことを思い出すよう想起しても出てきません。どうやら、「比例」という言葉は知ったものの、「関係を表す言葉」という認識が内容なのです。考えてみればそれは仕方ありません。私の発問がまずかったのです。　そこで、前時と同じように、長さと重さを表にまとめ、「これはどんな関係になっていますか。」と発問すると、ようやく反応が返ってきました。ここまでで大反省です。　ただし、「どうしてかけ算になるんですか。」とたずねるのですが、「１ｍが１５グラムの針金を６ｍかったから。」と、問題文をなぞる説明しか出てきません。これでは不十分です。そこで本時のめあてとして、「かけ算である理由を説明する」ということを設定しました。　まず基本の問題で、数直線を確認します。１ｍが２倍、３倍…になっていくと、重さも２倍、３倍、…になっていく様子を見せます。さらにこの問題文にある数字を「整理」させます。３つの数字があるので、これを「表」のようにそろえてかくと「四ます関係表」が見えてきます。これを見ると、倍関係が分かりやすくなっています。　この図を使って、かけ算になる理由を言葉にまとめます。一方が〇倍になると、もう一方も〇倍になる、という比例関係を使って説明することができます。　この説明が、別の問題でもできるかどうかを確認していきます。「１」が示されていない問題になると難しくなりますが、基本の形から倍関係のイメージを言葉で作っていきます。　さらに、かけ算にならない問題についてもその理由を考えておきます。鉛筆以外に、消しゴムも買うと、値段にずれが生じて比例関係が崩れることを線分図で確かめました。ここまでの学習は、次の「小数のかけ算」への助走です。　にほんブログ村
18May
- 「簡単な比例」導入
  　「簡単な比例」の単元に入りますが，子どもたちには，「もう体積はしっかり求められるようになったかな。」と言いながら，体積を求める問題を出題します。しかし見取り図で示された直方体には，高さが示されていません。子どもたちには，「この紙の裏に，高さが書いてあるんですが，見せません。きっとこの数字だろう，というのを３つくらい予想してノートに求めてください。」と投げかけます。子どもたちは適当な数字を決めて計算しました。　予想した長さと，計算した結果の体積を求めていきますが，なかなかかくれていた数字が出てきません。かなりやってようやく「１４」が出てきました。ここまでの結果は全て「短冊」に書き込みましたが，貼るのはバラバラに貼っています。その時，「たくさんの結果が見えてきましたが，これを見て何か気づいたことはありませんか。」とたずねました。　最初の児童は，「４０ずつ増えている。」と言いました。しかし短冊はバラバラなので，どこのことを言っているのかがよく分かりません。そのとき一人の児童が，「並べ替えたらいい。」と言ったので，並べ替えてもらいました。　並べ替えて説明してもらったのですが，その児童は「下の数を上の数で割ると４０になる。」という，「変化」とは違うことをしゃべり始めました。まだ学期初め，話すことが十分にできていません。こちらで修正をかけながら，「変化」と「商一定」に関してはまとめていくことができました。　しかし，比例の見方である「横に見る」意見は出てきません。これは今までも経験してきたことで，横に見る見方は「４０ずつ増える」から脱却しにくいのです。そこで「５㎝」とと「１０㎝」の２つの短冊を並べて，「この２つを見て気がつくことはありませんか。」という直接的な発問を出さざるを得ませんでした。　ここでも最初は「２００増える」という変化しか出なかったのですが，別の児童が，「上が２倍になると，下も２倍になっている。」という意味のことを発言したので，それを少しずつ広げていく活動に入ります。しかしこの活動もまだ十分には浸透しておらず，かなりの時間がかかりました。　結局，他の場所での２倍関係や，３倍，１００倍関係などの押さえはできました。　そのあと，教科書の「レンガ」と「植木鉢」を積んでいった時の「高さ」の関係を表にまとめ，レンガの方は先と同じような気づきができるのに対し，植木鉢の方は「同じ数ずつ増える」は成り立っていますが，他の２つについては成り立っていないことを見せて授業は終了しました。　教材のさることながら，子どもたちがまだまだ十分に育ち切っていないことがこの授業の停滞の原因になっています。少しずつ鍛えていく必要があります。　にほんブログ村
15May
- 単位の関係
  　「体積」単元の最後の時間は，「単位の関係」です。以前は６年生でまとめてやっていたことを，各学年でその都度やることになっています。　まず，これまでに学習した「体積の単位」である「?」「c?」「mL」「dL」「L」を示し，大小関係を確認します。２年生などで学習したそれぞれの単位換算を復習しましたが，なかなか理解できていない児童もかなりいます。　ここで新しい単位「cL」(センチリットル)を指導します。これを加えることで，Lがついた単位を全て「１０倍」の関係で繋げることができます。　次に，1?と1mLが等しかったことを思い出し，さらに１０㎝の立方体の体積である「1000?」と「１L」が等しいことを押さえて縦に並べます。　さらに，１Lを１０００倍にした「1kL」(１キロリットル)という新しい単位を教え，１０００倍になっていることを指導します。すると，これが「1?」と同じことになっているので縦に並べて，全体のまとめが完成です。　この後は，応用問題です。内のりを示した水を見せ，これをもう一方の入れ物にうつした時，ちゃんと入るのか，漏れてしまうのかを判断させます。これは２つの直方体の体積を求めればわかりますが，「理由の説明」の練習として，計算結果をきちんと文章に直して説明する練習をしました。　さらに，ちゃんと入ることが分かったので，もし全部入れると，高さが何㎝になるのかを考えます。このタイプの問題は，子どもたちの大変苦手とするものです。２段階の思考が必要になるからでしょう。子どもたちは苦戦しながら，問題に取り組んでいました。イメージがちゃんと持てるかどうかが大きなポイントです。　にほんブログ村
14May
- 大きな体積
  　体積を求める復習から入ります。第１問は，計算すると「8000?」になりました。その時に，「これは何Ｌですか。」とたずねます。前時に「１Ｌ=1000?」を学習しているので，「８Ｌ」と正しく答えられなければなりません。　第２問は，１つの辺だけ「ｍ」で表示されているので，「単位をそろえ」なければならない問題です。これも既習ですので，確認します。そして第３問です。今度も一つの辺だけ「３ｍ」ですが，あとの辺は「２００㎝」「１００㎝」です。これも「㎝」にそろえますが，結果がとても大きな数になります。そこでこんな場合は「ｍにそろえる」ことも可能であることを指導します。　この時考えたことは，一辺が１ｍの立方体がいくつ分になっているのかということです。この立方体の様子を画像で見せます。子どもであれば５人以上は入れそうな感じです。この新しい単位の書き方・読み方を指導します。　また，?との換算も「100×100×100」で「1000000?」になることをアニメーションで見せておきます。　この新しい単位も，体積公式がそのまま使えます。その練習として見取り図で出題しました。簡単な計算なのでどうということのない問題ですが，これはこのまま今自分たちがいる「教室」の体積を表していることを教えます。大体どこの教室もこれに近い体積だと思います。　そのあとは，小黒板問題と教科書の練習題，もっと練習をします。ｍになっただけなので特に問題はありません。　最後に，教科書にある「量感問題」をします。適切や単位・数字を選ぶ問題ですが，多くの児童が引っ掛かっていました。見た目の数字に左右されてしまうのです。頭の中だけに入った「単位」ではこんなことになってしまうのでしょう。　にほんブログ村
13May
- 複合図形
  　直方体や立方体の体積・容積の求め方を学習しました。この日は，「それとは違う立体の体積を求めるよ。」と言いながら，実物を見せました。子どもたちは「階段」などと言っているのでそのネーミングを使いながらめあての設定をしました。　見取り図を与えて「自力解決」をさせます。初めての経験でしたが，約半数は何らかの方法で解決できていました。もちろんこれだけではできない児童もいますが，全員をここで高めるのではなく，ある程度の時間で切って，考え方の発表に移り，それを聞いてできるようになることを目指します。　最初の発表は，分けて求める方法です。式だけを発表させ，どの部分を求めたのかを全体で追求していきます。その話の中で，「上の部分を出した。」という話が出てきたので，上と下に分けるというイメージができました。　次に出てきたのは，ない部分を補って考える方法です。自力解決ではこれが一番多かったようです。最初の式がどんな意味になるのかを考える中で，「かけている部分」という言葉が使われました。この言葉をもとに，アイデアのイメージを作ります。その部分を補って大きな直方体を作り，補った部分を引いて求めることが分かりました。　「まだある。」という言葉で出てきたのが，左右に分割する方法です。さっきが「上下」だったので，今度は「左右」という言葉で説明していきます。　これで全てのアイデアが出ましたので，それぞれの考え方は，全てどこかに「直方体を見つける」という作業になっていることを押さえます。直方体の組み合わせでできているのです。　教科書の練習題をした後は，複合図形の問題が８問も入ったブリントをわたし，どんどん考えさせていきます。いろんな複雑問題もありますが，それぞれの力に合わせて進めていくためには，多めの問題があった方が個に応じられます。　この場面は，研究授業などでよく使われる場面ですが，私は比較的あっさりと進めています。　にほんブログ村
12May
- 容積
  　「昔の人は，水やお酒を飲むときに何を使っていたと思いますか。」と発問することからスタートです。子どもたちの答えは，「竹」「ひょうたん」などが出てきましたが，その中に「升」というのがありました。その写真も見せてやり，「今日は，この升の体積について考えましょう。」と，導入しました。　そして，体積が同じになる２つのますを見せます。どちらも縦・横・高さが等しいので同じ体積です。ただ，板の厚さが1㎝と2㎝です。「でも違うところはありませんか。」とたずねると，板の厚さが違う，中に入る量が違う，などが出てきました。そこで，「今日は升の中に入る体積について考えよう。」と，めあてを設定しました。　まず，入れ物の中に入る体積のことを「容積」という言い方をすることを指導します。すると，「容器の中に入る体積や。」と返ってきたので大したものです。　ここから，２つのますの中に入る体積を考えます。縦と横の部分は，板の厚さが２つ関係します。高さの部分は，下の部分だけが減ります。そのようなことを考えて，必要な長さを求め，計算で体積を求めました。　こうして，中に入る体積を求めるために，必然的に利用してきた長さのことを「内のり」ということを教えます。同じようにして，もう1つの升の体積も求めていきました。外側の体積は同じでも，厚さが１㎝変わるだけ５００立方㎝もの差が出ることに驚きました。　小黒板問題は，外側は直方体なのですが，中に入る部分の内のりを考えると，内側は立方体になる問題です。計算すると「1000立方ｃｍ」になりました。ここでこの容積と，他の単位の関係を教えます。１Ｌを媒介にして，１立方ｃｍが1ｍＬと同じことであることも触れていきました。　最後は教科書の問題を練習題として終了しました。　にほんブログ村
11May
- 公式練習
  　前時に，体積の公式を学習したので，この日はシンプルにそれを使う練習をします。欠席者のために公式を確認した後，小黒板で一問ずつ出題していきます。最初の問題は「見取り図」で３つの辺の長さを示した最も簡単なものです。これで公式の使い方を確認します。(数字の順番にこだわらないことも)　第２問は，図を示さず，ことばで出題するタイプです。教科書やテストなどではよくあるので，抵抗感をなくすためにこのタイプでも出題します。次は，見取り図で示した問題を２つ同時に出題します。１つ目は，立方体で，長さが２か所しか示されていません。それでも立方体なのでこれで全く問題はありません。　ところが，もう１つの問題になると，子どもたちから「おかしい」という声が上がります。「高さがない。」というのです。確かにそうなっています。「しまった。何㎝だったかな。」と言いながら，探し始めたのですが，見つかりません。そのうち「あっ。」と言いながら，１枚の短冊黒板を見つけ，みんなに見せました。そこには，「答え９０立方センチ」と書かれているのです。「やらせや。」などの声もありましたが，これで高さが分かるということで，作業は進んでいきました。　ここからは，教科書の練習題に入ります。教科書に直接書いていきます。特に問題が出たのは，左の問題です。何も考えずに「１×５０×４０」としている人が何人かいたのです。これでは単位がそろっていないので，結果がおかしくなることを確認し，「単位をそろえる」ということをまとめました。　以下「もっと練習」や「ブリント」をして終了しました。　にほんブログ村
08May
- 「算数」と「数学」
  　最近，一般のニュースでもよく取り上げられていることに，次期学習指導要領における「算数」と「数学」の名称問題です。教科名を，統一するか現状のままでいくかが議論されているようなのです。　もともと「算数」という言葉は戦前(1941年)に生まれた言葉で，それまでは「西洋算術」「幾何学」「算術」などの言葉が組み合わされたものになっていました。それまでの日本は，「算術」と言えば「そろばん」のことでした。しかしそんな中に「西洋」の計算方法や，初等教育で扱われるべき数学の内容を組み入れた体系を作り出したのです。そのころは「算術」と「幾何学」を同じ学問として扱うことに抵抗があったのでしょう。並列的な名前になっていたようです。現代の「理科」における「化学」と「地学」のような関係でしょう。　この議論が行われている理由が「小学校と中学校のつなぎ」の問題だというのですが，名前を変えた(ずっと数学にする)からつながるということではないように感じます。名前を変えることで抵抗感をなくすために，全部算数で統一するという話もありますが，それだけでクリアできる問題ではないと思います。　私は「算数」の内容は，「数学」からの要請が強い単元と，「生活」からの要請が強い単元があると思っています。「時計」の学習などは，６０進法ですから，本来難しい数学です。しかし生活のためには必要なことなの低学年から扱っています。「数学」になれば純粋に「学問」としての体系を学習しますが，「数学基礎」のように，生徒によってはそちらのアプローチが必要になる場面もあるでしょう。　結局いろんな子どもたちがいて，いろんな条件で変わってくるものだと思います。個人的には，今のままで十分だと思っています。　にほんブログ村
07May
- 地元の悉皆テスト
  　３年ぶりの５年生担任となり，地元で行っている「悉皆学力テスト」を行いました。全国学力・学習状況調査と同じ日程で行われました。　４年生までの内容の中から，各領域の問題がバランスよく出題されていましたが，その中で毎回話題となる「割合」についてみてみました。４年生では「簡単な割合」や「小数倍」について学習しています。その範囲で，牛乳・お茶・ジュースの量を問題にしています。問題把握のために，イラストだけでなく，それに対応させた「テープ図」や「数直線」も同時に示されています。これはかなり親切な提示と言えるでしょう。洗練された出来上がった数直線になっています。　このシチュエーションを使っての出題は２問です。１問目は，牛乳とジュースの関係を求めさせる問題です。小さいものから見て大きいものの「～倍」を見つけるので，最も簡単な場面です。この設問は，「助走」で，次につながる問題だとみていました。この結果をもとに「割合」という言葉まで出しています。　２つ目の設問は，先と同じ「牛乳」をもとにした時の「お茶」の割合になっています。状況的には何も変わっていません。小さいものから見た大きいものの～倍です。数字が変わっただけで，しかも結果の「１．４倍」を示しています。これだと，その答えになる式を考えてしまうかもしれません。一方，解答として「２００×１．４=２８０」とか「２００×□=２８０」というのも出てくるでしょう。「正答表」には「２８０÷２００」しかありませんが，どう扱えばよいのでしょう。　いずれにしても，私はこの出題を見て，「割合」についてきちんと出題しましたよ。結果もまずまずでしたよ。という結論を得たいがための問題のように感じました。本当に問題となるのは，「～倍が１より小さくなる場合」であり，そこを設問にすべきで，最後に「解説」として入れているだけなのはどうなのかと感じました。　このような「調査」の性格がよく表れているように感じました。　にほんブログ村
01May
- 公式へ
  　前時は，「体積」の意味や単位について学習しました。この時間はそれを使って，いろいろなものの体積を調べていきます。　まず基本である「単位体積のいくつ分」の定着のために，見取り図で描かれた図形の中に，単位がいくつ入っているのかを見つける問題です。よく「知能テスト」などに使われるものでもあります。見えていない部分を想像しなければいけないので結構大変です。ただ，体積とは「単位がいくつ分」だということを理解させるにはいい素材です。　次に，工作用紙で作った８つの立体(直方体６つ，立方体２つ)に，１立方ｃｍのキューブを入れて体積を求めます。班が８つあるので，最初に１つずつ渡して求め，できたら他の班の立体と交換してどんどん求めていく活動です。協力と分担でやっていきます。ただし，途中で，「計算でできるよ。」などの声も聞こえます。　結果発表していくと，「ク」だけ体積のずれが出てきました。うまく入っていないか，数え間違いがあるようです。そこで全員で，アニメーション上でどうなるのかを考えていきました。　まず１列に３個並びます。一番下の段に，その３個が５列できるので１５個になります。その１５個が上に４段積み重なるので，合計６０個になることが分かりました。これがそのまま「公式」を作る手順になっています。私が用意していたのが偶然にもこの立体だったのでうまく流れにはまりました。　これで直方体の公式を作り，小黒板問題で練習します。最初は素直な３つの辺を表した問題。次は，１つの辺の長さを２個かいて，条件過多にしている問題です。案の定引っかかった児童がいて，その修正の中で「３つの長さが必要」ということを押さえました。　続いて，１つの辺の長さしか書いていない立方体を示し，「あっ，ごめん。これじゃわからないね。」と促言を出し，そうでないことを語らせた後，１つの辺の長さだけで分かるので，立方体の公式を付け加えました。　この日はここまでで，教科書の練習題には行けませんでした。一般的には，単位面積のキューブを入れる活動はしないからそうなるのでしょう。私は大切にしたい活動だと考えています。　にほんブログ村
30Apr
- 実際に入れてみる
  　前時に，１０×８の長方形の四隅を切って作ったふたのない箱についてさらに考えていきます。子どもたちの予想では，１㎝で切った箱と２㎝で切った箱は，同じだという話になりました。この日はそれを，本当に砂糖を入れて調べていきます。　用意した砂糖は，実際には「ビーズ」で作られていますが，形は「金平糖」なので砂糖と言っても間違いはありません。一部の班には「丸砂糖」という形で配りました。これを箱の中に詰め，その数を数えていきます。すりきりなので，箱の上の部分に出ないようにして数えました。それぞれの班の結果を一覧表にまとめます。すると，同じになるはずだったのですが，１つの班を除いて，ほとんどの班が違った結果になりました。しかも，アが多かったりイが多かったりとバラバラです。その結果を眺めているうちに，子どもたちから自然に意見が現れてきました。「ぼこぼこしてるからだよ。」「形が悪いんだよ。」「すき間ができてるからバラバラになるんだ。」と大切な内容がどんどん出てきます。これらの言葉は，量のもつ「稠密性」を表しています。ではどのような砂糖だったらうまくいくのでしょうか。「粉砂糖だったらできる。」という意見に対し，「数えられない。」という返しがありました。「重さをはかったらいいよ。」というきりかえしも，うまく取り上げれば使える考え方です。（写真４）「角砂糖がいい。」という意見をもとに，立方体の形をしたブロックを使って，再度詰めていきました。そうするとほとんどの班が「４８個」という結果になりました。(１つの班だけは再確認して正しく直した)　ここまで活動が進めば，あとは必要なことを「教えて」いけばいいだけです。「体積」「立方㎝」「単位」などの指導をします。　この後，このブロックで作った立体を，書画カメラでいろんな角度から見せて，何立方センチなのかを考える活動を行って終了しました。　にほんブログ村
28Apr
- 自由進度学習(学ぶ会から)
  　先日の土曜日に，今年度最初の「算数を学ぶ会」を行いました。8年前にも今の学校でやっていたのですが，そのころは「図書室」を利用していました。今は大型テレビなどを使って，教科書や過去の実践の板書を全員で見ながら検討するので，「教室」で行っています。　今年は初めて，県下すべての小学校に案内を出しておきました。(去年までは市内だけだった)そのせいか，総勢１０名となり，結構たくさんの方が集まってくださいました。純粋に案内を見てきた人に加え，過去に一緒に勤務していた人なども参加してくださり，懐かしい思いもさせていただきました。　話し合いの中で「自由進度学習」が話題になりました。前担任がやっていたのでそのまま続けてやってみると，意外とできているので驚いた，という話でした。この話を聞いて，「できているの内容が問題だろう。」と直観しました。教科書の答えだけを求めることができるというのであれば比較的簡単です。しかしその中身として，クラスの仲間たちとのやり取りがあって，みんなで問題解決をしていった，という思いまで持てているのだろうか，と思ってしまいました。　そのあとは，各学年のオープニング単元について話し合いをして終了しました。県レベルを超えた研究大会での発表が当たっている方もいて，今年も盛り上がりそうです。　にほんブログ村
27Apr
- 「体積」導入
  　「体積」の単元に入ります。導入教材は，スペシャリテの「四隅を切って箱を作る」です。授業の最初に，「今日の算数は，計算などは一切しません。そのかわりにこの工作用紙を使って勉強します。」と，最初にくぎを刺しました。これをしておかなければ「先取り学習」が頭をもたげてくる恐れがあるからです。　１０×８の長方形の四隅の正方形を切ると，ふたのない箱が作れます。１㎝，２㎝，３㎝の正方形で切るとる３つの箱ができるので，これに「砂糖」を入れた時に，いちばんたくさん入る箱を見つけます。　箱を作る前に「予想」を発表します。最初の児童は，切った面積が一番小さいものが多く入る，という典型的なミスコンセプションの反応でした。次の児童は「高さ」の話を始めました。さらに次の児童は，「全部同じになる。」という結論の話の中で，「広さ」という言葉を使いました。これは「底面積」のことを表現しています。この場面で大切にしたい「高さ」と「広さ」が出てきたので十分でしょう。　ここからは，班ごとに工作用紙を使って３つの箱を作ります。４人班なので，１人は「一番多く入りそうな箱を作る」ということで各班作業を行いました。箱が出来上がれは，３つの箱を眺めながら班で話し合います。　しかし最初は，建設的な話し合いが進みません。なんとなくで進めたり，イメージでの話(予想の段階と変わらない)に終始する班が多くなります。そこで「促言」を出します。「おっ，この班はアの箱の中に入れて比べてるねえ。」これを聞いて，いくつかの班が入れ始めたのですが，最初はそれだけでは比較できません。ところがある班が，「分かった。」と叫びました。その班は，箱の方向を変えて入れたのです。そうすると，底面が半分になり，高さが２倍になっていることが見えてきました。そこから，上半分を切って移動させれば同じ形になることが説明されました。　さらに，イの箱を２つ作っていた班がその２つをアに入れると，底がぴったりそろって高さが２倍になることが分かりました。なので「同じ」になるという説明が展開されました。　このあたりで，時間が迫ってきたので，次の時間にすることを確認して終了しました。授業としてはまあまあですが，反省点もいくつかありました。　箱の中に箱を入れて比べる，というアイデアが「促言」で引き出されたのですが，いちばん小さそうなウをイの中に入れればすっぽり入るのですぐ比較できます。また，ウをアに入れると，「移動」の話ができるかもしれません。そうすれば先のアイデアが自然に生まれたかもしれません。　さらに，黒板上で使う箱が１種類ずつしかなかったので，子どもたちのよいアイデアをイメージ化することができませんでした。それぞれ２種類ずつは用意しておくべきでした。　にほんブログ村
24Apr
- ○番目の数
  　「整数と小数」単元の最後は、練習なのですが、わずか３時間程度の内容で１時間の「練習の時間」は必要ありません。そこでこの時間の前半は、小数を使ったゲーム的内容を取り入れます。　「1」「3」「5」「6」「7」「8」の５枚の数字カードを使います。これを使って、「何十何点何何何」とという小数を作ります。最初の一人目は適当に、「67.831」を作りました。しかし次の児童は、「8.7653」としました。これには意図がかくれています。その意図を探らせ、「一番大きい数」を作ったということが分かります。するとその次の児童は、「13.567」と一番小さい数を作りました。このように自然に子どもたちが問題設定をしてくれます。「一番は分かったねえ。」という「促言」を大きな声で言うと、誰かが、「じゃあ、２番目だ。」というのにそんなに時間はかかりません。　２番目に小さい数を考えます。最初に出てきた児童は「15.367」としました。すぐに「ちがうよ。」という声が出たので、その児童に作らせると、正しい「13.568」となりました。ここで大切なことは、「なるほど。そこを変えたんだね。じゃあ、さっきの「15.367」は、どう考えたんだろうね。」と発問し、間違いの中にも意図があることを探らせます。その児童は、いちばん上の位はそのままにして、次と次の次の位を入れ替えたのです。一番上の２つの位を替えることは今までたくさんありましたが、その児童は、いちばん上の位はそのままで、２番目と３番目の位を入れ替えたのです。初めて見た誤答ですが、ちゃんと真理が隠されています。　３番目以降になると、一番下はもう替えられないので、その次の位を変えていことになります。こうして「下の位から変えていく」という「考え方」が共有されました。この考え方は、大きい数の方でも適用できます。　そのあとは、「練習」に入ります。表裏のプリントに取り組み、自分で答え合わせをします。さらにできた人は、教科書の練習ページをします。こちらも答え合わせをします。これで単元終了です。　にほんブログ村
23Apr
- ○分の1にすると
  　前時は，小数を１０倍，１００倍，１０００倍した時のことについて学習しました。まずその内容について復習します。小数点は固定されているので動きません。大きくすると，数字の方が左に寄っていくのですが，その数字が縦に並ぶように動かすと，小数点の方が右に寄っていくように見えることを確認します。　この日は，昨日の逆で，小数を1/10,1/100，1/1000にしていくことにします。1/10にすることは既習事項なので，「234.5」という数字を使って考えます。各位の数字が一つずつ右に寄っていくので「23.45」になります。さらにこの「23.45」を1/10にすると，さらに１つ右に寄るので「2.345」となります。このときの2.345をもとの「234.5」から見るとどうなっているかをたずねると，ほとんどの児童が，1/100と言います。しかし全員がイメージできているわけではないので，アニメーションを使って見せていきます。　大きな正方形を見せます。これを1/10にすると，細長に長方形になります。それをアニメーションで見せます。さらにそれを1/10にすると，小さな正方形になります。これをもとの大きな正方形と比較すると，1/100になっていることがイメージできました。　同じことを繰り返し，1/1000まで見せ，できた数字を短冊にまとめます。小数点は基準ですので，固定されています。こうしてできた短冊を，縦に数字が並ぶようにすると，今度は「小数点」が移動したように見えます。このことをまとめとしまいます。　そのあとは，それを生かした「小黒板問題」に取り組みます。そんなに難しくありませんがね最後の「を驪山」になって急に「筆算」をし始めた児童がいました。その児童にとっては「1/1000」にすることと「÷1000」が結びついていないのです。どこかで同じことになっていることを押さえる必要がありました。反省です。　そのあとは，教科書の練習題と，もっと練習をして終了しました。ようやく一般的な授業の展開になりました。　にほんブログ村