授業がんばりMATH -3ページ目

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03Aug
- ガウスの計算
  　１学期最後の授業です。終業式の後の２時間目になります。特設の「ガウスの計算」です。１～９までの和を求める簡単な問題です。しかし，「まさか，５年生のみんなが，前から順に足したりしないよねえ。」と，あおり，計算の工夫を求めます。　子どもたちからまず出てきたのは，前と後ろを足して「１０を作る」方法です。１０のペアが４つできて，真ん中の５が残るので「１０×４+５」となります。　次に出てきたのは「９を作る」方法です。９を残してペアを作ると，９のかたまりが５つ作れるので「９×５」となります。しかしこの時，「最後の９だけペアがいないのはかわいそうだね。」というと，前に「０」をつけ足すと，９にもペアがいる，という話になりました。　次に，数字を２桁にします。さっきと同じように「１１０のペア」を作って真ん中の「５５」を足す方法が出てきました。しかし今度は今までと違う方法も出てきました。　それは，「位ごとに考える」という方法です。１０+２０+…+９０が「４５×１０」の４５０になることを利用して，残った一の位の和である４５を足す，という方法です。先の結果を利用した素晴らしいアイデアです。　ここまでくると子どもたちの方から，「次は，111+222…やな。」という声が上がってくるので，どんどん答えを求めていきます。これらの結果を縦に並べると，答えのきまりが見えてきます。　最初は「方法」がクローズアップされていましたが，ここからは「結果」についてのきまり発見に進んでいきました。　ここまでの活動を生かして，今度は「９のかけ算」の結果についてきまり発見に進んでいきました。「なぜ」にはほとんど触れず，学期の最後の時間をふしぎ発見で終了しました。　にほんブログ村
31Jul
- 計算で遊ぶ
  　翌日が「終業式」となる猛暑の一日。こんな日は，少しでも楽しくやらなければならないということで，「計算で遊ぶ」と題して，一番(３７×６)から五番(３７×１８)までの計算問題を出しました。どれも「３７×３の倍数」になっています。子どもたちは「簡単」と言いながらやっています。　しかし六番，七番には式がかいていません。そのため「問題がないよ。」という人もいましたが，ここまでの計算結果を眺めると「ぞろ目」が続いています。かける数を見てみると，その変化も見えてきます。それが分かれば式が見えてくる児童が増え，七番まで計算していきました。　答え合わせをしていく中で，「８番もある。」「０番もある」という意見が出てきました。算数では，このように「先を見通す」ことや「元に戻る」ことが「発展的な考え方」になります。　続いて「１４２８５７」の計算に進めます。この数字は「１÷７」をした時の循環小数部分の数字になっています。この数字に「２から６」をかけると，全く同じ数字が順番を変えてならびます。まずその面白さに気づかせます。さらに，「７をかけてみましょう。」と言ってやると，「９９９９９９」と９のぞろ目になるのです。１/７×７なので，１に戻るはずですが，近似値なのでそうはならず，１に近い９が続く数字になるのです。これで子どもたちは大喜びです。　あとは，教科書の残っているページを消化して終了しました。　にほんブログ村
30Jul
- 階段問題
  　啓林館の小単元「もう１回，もう１回」の第２時です。教科書は，正方形を階段状に並べていった時の「段数と正方形の個数」の関係を扱った問題と，三角形をピラミッド状に並べた時の問題になっています。　その問題は「教科書の練習題」とし，私はスペシャリテの「周りが赤い階段」で導入します。正方形の周りが「１辺」「２辺」「３辺」赤く塗られたものが２枚ずつ，合計６枚あります。それを階段状に並べます。それも「周りが赤く」なるようにします。　段数をどんどん増やしていった時の，それぞれの正方形の枚数がどうなるかを考えていきます。４段になると「０辺」という正方形が必要になってきます。５段から６段あたりまで考えると，数字の変化が見えてきます。　３辺は，２枚で変わりません。その「２」は「スタート」と「ゴール」地点にあたる２枚のことになっています。２辺は，１枚ずつ増えていきます。足を置いて登っていくための段が１増えるからです。１辺は２ずつ増えます。それは１段増えると，上と右に広がっていくので，右と下にすき間ができるのです。　さらに，０辺は，「全部の数」と同じような変化をします。これは同じ階段状に増えていくからです。このように，数字の変化の理由がきっちりと見えてくるのがこの教材のよさです。　この教材は，４年生用に開発したものなので，５年生では簡単に扱い，教科書の練習題までこなして終了しました。　にほんブログ村
29Jul
- 紙を折って切る
  　啓林館独自の「文章題」単元です。今の教科書では「もう１回，もう１回」となっています。その意味は１ずつ何かを増やしていくとどう変わっていくのかを考えさせようとしているためでしょう。「表を使って」など，過去にはいろんな名前で受けつがれてきた小単元です。　教科書の素材を少し変えた「紙を折って切る」で始めます。長い紙テープを１回折り，その真ん中をはさみで切り離します。そうすると，３つのパーツに分かれます。　これを２回折りでやるとどうなるでしょう。子どもたちの予想としては「５」と「６」に分かれました。子どもなりの根拠も説明されていくのですが，なかなか全体には伝わりません。それでも「２と３になる」などはなかなか鋭い意見です。紙が３枚になるのはミスコンセプションです。　さらに３回折りになると，紙の状態を考えることに加え，これまでの結果から数字上で予想しようとする者が出てきます。３から５になったので，次も２増えて７になる，という予想です。ところがそれに対して，「1回も折らなかったら，2枚だから2増えていない。」という鋭い意見も出てきました。このあたりは，予想が行き詰まれば，実際に切って確かめます。　ただし，このあたりで「短いのはいつも２枚だ。」長いパーツと短いパーツがあるのですが，短いパーツはいつも２枚だというのです。切り離したパーツを眺めていて気付いたことです。だから，長いパーツの数を考えればいいという意見も出てきました。これはこの後使えるアイデアです。　４回折りになると「１３」「１５」「１７」，という意見に分かれました。その中で「比例」という言葉が行きかいはじめました。部分的には，折る回数が２倍になるとパーツの数が２倍になるところがあり，それをもとに考えようとしているのです。比例が意識されているのは素晴らしいことですが，この場合は他の場面で成り立っていないので使えない考え方です。これも実際に切り取って，１７パーツになることが分かりました。そしてやはり短いパーツは２つでした。　そこで，１７のうちの２つを除いた１５パーツは，何の数になっているのかを考えると先が見えてきます。しかし時間がほとんどなかったこともあり，強引に教科書の問題に進めました。　教科書の問題は，同じように折っていった時の「長方形の数」と「折り目の数」です。その数を簡単に確認しながら，「表」にまとめていきます。「パーツ」「長方形」「折り目」の３つの表を上下に並べました。すると，折り目の数に１を足すと長方形の数。長方形の数に１をすと，パーツの数。さらに言えば「折り目の数に２を足すと「パーツの数」になります。折り目に足される「２」とは何かを発問し，強引に「折り目の数」になっていることを押さえて終了しました。　この教材は子どもたちにとっても興味深いものです。学期末の先を急がなければいけない時間では扱いにくいものと言えます。２時間くらいかけてゆっくのやるべきだったと反省させられる授業となってしまいました。　にほんブログ村
28Jul
- 多角形の内角の和
  　多角形の内角の和を考える時間です。最初に「多角形」という言葉を指導します。ここで初めて出てくる用語です。そのうえで，それらの全部の角を足すと何度になるかを考えていきます。　前時に，簡単に考えていました。右の２つのアイデアです。一つ目は，対角線を１本引き，三角形と四角形に分ける考え方です。「１８０+３６０」で出ます。この時使った角を色別に分けて，三角形と四角形の角を全部合わせると，五角形の角になっていることを確認します。　同様に，対角線を２本引いて，三角形３つにしたものでも確認します。基本的にはこれで五角形の内角の和は完結しています。しかしここから，「これから少し遊ぶよ。」と断言して，失敗した考え方の確認をします。前時にうまく考えられなかった児童は，１本対角線を引いた後，また全然違う対角線を引いているのです。これではうまく考えが進みません。三角形３つに分ける方法は，まず１つの頂点を決めて，そこから図形の頂点に向けて対角線を引いているのです。この方法を「言葉で規定」してやります。　そうすると，この「点」は先の頂点だけでなく，別の頂点でも考えられることは分かります。点を移動していくうちに，「ここでも大丈夫かな。」と言いながら，辺の上で止めます。多くの児童は「だめ」だと言います。しかしその点から「言葉で規定」した通りに直線をつないでいくと，４つの三角形が見えてきます。そうすると７２０度になり，１８０度多いことになります。ということは「余計の部分」があるはずです。　そこで，４つの角に色をつけていきます。するとそのうち「余分な部分」が少しずつ見え始めた児童が出てきます。辺上に決めた点の周りに１８０度の余計な部分があるのです。　これを「図形の内部」にすると，今度は決めた点の周りに「３６０度」の「余計な部分」が見えてきます。これを引いてやれば「５４０度」になります。　そうすると今度は「外部」という話になります。外部の点から５つの頂点を結ぶと，４つの三角形が見えます。そうすると，今度は図形の外側に「余計な三角形」が見えてきて，それが「余計な部分」になっていることが分かります。　こうして，どの考えかたでも５４０度になることが分かりました。余計な活動で「遊んで」います。　最後は，その他の多角形の内角の和を「あっさり」確認し，比例関係にはなっていないことを確認し，教科書の練習題をして終了しました。練習題に，合同条件にならない三角形を作図すると２通りの三角形ができてしまうことを確かめて終了しました。　にほんブログ村
27Jul
- 「内角の和」応用
  　前時に，三角形と四角形の内角の和について学習しました。この日はそれを使って応用問題に取り組みます。　まず，１つの角の大きさが「？」になった基本問題を確認します。全部の和が分かっているので，明らかになっている角を使えば，のこりの角はすぐに分かります。まずこれが基本中の基本です。　ここから少しずつ「ひねった」問題に進めます。二等辺三角形で，一つの角しか分かっていないときの残りの角を考えます。一見すると条件不足のようですが，「二等辺三角形の２つの底角は等しい」という性質を思い出せれば，「隠れた情報」が見えてきます。底角を求める場合と，頂角を求める場合でそれぞれ確認します。　さらに「正方形の１つの角が６０度」になっていることを式で表現させます。内角の和が１８０度で，３つとも等しいので「１８０÷３」になることを押さえます。　この後の問題は全てこのような思考が必要です。自分の頭の中に入っている「様々な図形の性質」を駆使してチャレンジしていきます。　次の問題は「外角」の問題です。この場合は２段階の思考になります。まず，三角形の分からない内角を求めます。その後「半回転(一直線)は１８０度」という性質が分かれば，外角を求めることができます。ただし，それを「１つの式」にするのはなかなか困難です。この場合は２つになってもいいでしょう。　「ひし形」の中にできる３つの角を一気に求める問題です。まず(あ)を求めます。ひし形なので，対角線で切った三角形が二等辺三角形になることが見抜ければ，さっきの問題と同じことになっていることに気づきます。そのあとは「合同の性質」なども使って，次々に求めていくことができました。　最後に少し時間が残ったので，「五角形の内角の和」を少しだけ考えました。３分ほどの自力解決で，三角形３つに分ける意見は出ていたようです。これを使って，次時に確かめていきます。　にほんブログ村
24Jul
- 「図形の角」一般化
  　前時に「図形の角」の導入で，正方形から台形までに共通する性質として「上と下の角を足すと１８０度になる。」ということを明らかにしました。これが「一般四角形」になると，どうなるのでしょう。そこで，一般四角形の全ての角について調べていくことになりました。とうとう成り立たなくなります。ところが，これまでとは違うことがクローズアップされてきました。それが，「４つの角を全部足すと３６０度になる。」ということでした。確かに調べた２つの四角形はたし算をするとそうなっています。　　これを正方形や長方形に当てはめると「９０×４」という式になるのでいつでも成り立つことが分かります。また平行四辺形と台形については「１８０×２」という式で，いつでも成り立つことが分かります。ただ，一般四角形は，個々の図形のたし算でしか結果が出ません。これでは一般化できません。　そこで，一般四角形は「？」でとどめておき，「三角形の３つの角の和」について調べていくことにします。　正方形は既習で「６０×３」で１８０度なります。直角三角形や直角二等辺三角形は，三角定規だとたし算で１８０度になります。しかしこれでは一般化できません。特に直角三角形はいろいろな形ができるからです。こんな場合の考え方として，もう１つ合同な形を登場させることを伝えます。　合同な直角三角形２枚を組み合わせると，「長方形」になります。長方形は，４つの角の和が３６０度になることが分かっているので，「360÷２」の計算で，１８０度になることを共通理解していきました。　次に「二等辺三角形」に進めます。これも２つ合わせると「平行四辺形」になることは既習です。(本当はひし形)したがって先と同じ「３６０÷２」が成り立ちます。最後の「一般四角形」も同様です。合同な２つを組み合わせると平行四辺形になることは，数時間前にやっています。(このためにあえてやっていた)こちらも「３６０÷２」で一般化できるので，全ての三角形の内角の和は１８０度になることが約束されました。　そうすると，残っているのは一度棚上げされた「一般四角形」です。これに対して数人から，「四角形は，三角形２つに分けることができる。」という話になりました。対角線で２つの三角形に分けると，形は違いますが２つの一般三角形になるので，「１８０×２」という式が成立するので，演繹的に「四角形の内角の和は３６０度」が立証されました。　こうして，一気に，三角形と四角形の内角の和が明らかになりました。もちろん演繹的説明だけでなく，実際の角を１点に集め，１８０度や３６０度になるところを見せて，イメージ化をはかっておきます。　そのあと，この知識を使って，簡単な角を求める問題をします。１つだけ分からない角がありますが，すべて計算で求めることができます。求めるときの式は，できるだけ１つにすることも約束しました。一気に「図形の角」が進んでいきました。　にほんブログ村
23Jul
- 「図形の角」導入
  　前時の最後に，「正方形」について知っていることをどんどん出させました。７つのことが出てきました。「辺」に関することが２つ。「角」に関するものが１つ。「対角線」に関係するものが４つ出てきました。これらのことが，どんな正方形でも(大きいものや小さいもの)成り立っていることを確認し，今日は「どんな○○形でもいえること。」を考えていきます，と約束しました。　そのうえで，まずこの日は「長方形」からスタートです。どんな長方形でもいえることを考えていくと，正方形のときと全く同じことがいえるものがたくさんあります。そのようなことについては「〃」でつなぎ，違うものは長方形独自の短冊として書いていきます。「対角線で切ると二等辺三角形になる」は違うので「×」になり，新しく「向かい合う辺の長さが等しい」という短冊を加えます。　「平行四辺形」に進めます。「角の大きさが全て９０度で等しい」は違ってきます。「〃」のものもありますが，×も増えてきました。そこで，「できるだけ〃で繋げたいので裏ワザはないかなあ。」とたずねます。その時に一人の児童が，「正方形も，向かい合う辺の長さが等しい。」と言ったので，それを取り上げ，その短冊を最初の正方形の「全部の辺の長さが等しい」に重ねます。すると，それは正方形・長方形にも当てはまるので，〃で繋げることができるのです。このような考え方を「統合的な考え方」と言います。　さらに平行四辺形の角で知っていることとして「向かい合う角の大きさは等しい」の短冊を作ると，「それも裏ワザで正方形に重ねると，〃で繋げることができるよ。」という意見が出て，整理されていきました。　「台形」になると，「１組の辺が平行」が裏ワザでつながりましたが，角に関しては何もありません。そもそも台形の角について調べた経験などないからです。そこで，いくつかの台形を与え，その角を測って何かきまりがないかどうかを探します。　すると，「上と下の角を足したら１８０度になる。」ということが見えてきました。それを裏ワザで正方形のところに当てはめると，正方形・長方形は成り立ちます。しかし「平行四辺形」は不明なので，ここでも図形を与えて調べさせ，帰納的に成り立っていることを見つけます。　その上で，平行線の図を見せ，その間に書かれた直線が作る角について調べます。すると，上下にできる角を足すと必ず１８０度になっていることが分かります。これを言葉でまとめていきました。(平行線間の同側内角の和は１８０度)これで何となく「演繹的」に約束ができました。(本当はこの場面を帰納だけで進めている)　最後は「一般四角形」です。辺の平行は×になりました。残ったのは角についてだけです。ここでも一般四角形を与えて，角度を調べさせます。時間的にこの活動までで終了となりました。次時はこの結果から，次の考察に進めていきます。　この教材の特徴は，四角形について考えていく中で，自然に「四角形の角の和」に話が進んでくところです。「どうして三角形や四角形の内角の和を考えなければならないのか。」という違和感に挑戦した教材です。　にほんブログ村
22Jul
- 四角形の作図
  　前時の最後に「合同な四角形の作図」をしましたが，発表された方法は，正しいものではありませんでした。まず正しい作図方法と，前時の作図のどこがおかしいのかを確認します。　まず，別の作図方法として，分度器とコンパスを使って，与えられた条件で正しく作図しているものを紹介します。これは与えられた条件をすべて満たしています。これと比べて，前時の方法を画面に写した前時の板書と比べてみます。前時のものは，条件として与えられていない「対角線が７㎝」ということを利用して作図しています。しかしこの対角線は本当に７センチなのでしょうか。コンパスを使って確かめてみると，７センチよりは短く６．７㎝になることが分かりました。「隠れた情報」を見つけることは大切ですが，「思い込みの情報」は使えないことを確認します。　しかし，前時の間違った作図方法と同じく，情報は５つ使うと作図することは共通しています。どうやら予想していた４つではなく，５つになるように感じてきました。そこで，一番基本的な「正方形」を白紙に描くときのことを考えます。下の辺の長さをかき，その両端から９０度に上がり長さを測ると，やはり５つの情報で作図することになります。　また，四角形は「三角形が２つ」でできていることから，半分の三角形を作図するのに３情報，もう１つの三角形は，１辺が分かっているので２情報で作図できることになります。トータル５情報になることをイメージさせました。　この後は，作図の練習をします。対角線を使ってコンパスで作図するものや分度器を使うものなどを作図します。さらに４情報しかない「台形」の場合，最後の１情報は，向かい合う辺が-平行になる，という情報が加わるので，やっぱり５情報になることを確認しました。　ここからは，次時への導入をやっておきます。「正方形」について知っていることをどんどん出させていきました。子どもたちからは右のようなものが出てきました。これを利用して，次の時間から「図形の角」に進みます。　にほんブログ村
21Jul
- 作図練習
  　前時に，合同な三角形の作図について考えました。この日はまずこの作図を徹底練習します。最初に，６つの情報が全て入った三角形を示し，自分の好きな方法で作図させます。コンパスを使う方法が人気のようですが，分度器を使う児童も結構います。このような出題だと，自分の好きな方法で作図することができます。それぞれの作図の仕方を再確認します。さらに使った情報は，いつでも「３種類」であることも確かめます。　しかし実際の「問題」になると，情報は最小限しか与えられないことが多くなります。そうすると「作図方法」が限定されてしまいます。さらに作図するための「元図形」の示し方として，「図」で表されている場合と，「言葉」で表されている場合が出てきます。特に「言葉」の方は，どういう意味で使われているのかを，実際の図と比べながら読み取っていきます。　図と言葉で示された６つの作図練習をします。マス目のあるノートではなく，白紙の紙の上で作図は行います。何度もやるうちに少しずつ慣れてきたようです。　ここで，作図対象を四角形にします。「四角形を作図するとすると，情報はいくつ必要かな。」とたずねます。多くの児童が「４種類」と言います。そこで一つの四角形を見せました。それは「平行四辺形」で，情報が３つ入っています。３つではさすがに作図できませんが，「隠れた情報」があります。平行四辺形なので，向かい合う角の大きさや，向かい合う辺の長さが等しいので，全部で６つの条件が示されていることになります。このうちの何個を使うとよいのかを作図で確かめていきます。　子どもたちは自力解決をして，できたもの同士で確かめ合っています。半数以上の児童ができたので，その方法を発表していきます。その時点で残り時間は７分ほどだったので，全部を取り上げることはできないと考えながら進めていました。　最初に取り上げた児童が発表したのは左のような方法です。この方法は，コンパスを使って分度器は使っていません。できた形は確かに「平行四辺形」です。(向かい合う辺の長さが等しい)しかし，対角線の長さが７㎝とはどこにも条件に入っていません。その結果出来上がった平行四辺形は，「６０度」の角になっていないのです。この方法は，もちろん次の時間に訂正しますが，逆に「対角線を利用した作図もある」というアイデアにはつながります。間違いを生かしつつ，次の時間に進めていきたいと思います。　にほんブログ村
20Jul
- 夏休み初旬研修３(１年　かずのせいり)
  　夏季研究会３本目は，１年生の「かずをせいりしよう」です。まず「○○君のお花物語」が始まりました。○○の部分には授業者の名前が入れられています。そのお話は次のようなものでした。・○○君が，先生からいくつかの花の種をもらう。・○○君は，もらった種を１組，２組，３組と書かれた１２個の植木鉢に植える。(植木鉢はクラス別にばらばらにおかれている。)・一生懸命水やりをする。・月曜日に，初めて４本の花が咲く。・以下，火曜日２本，水曜日１本，木曜日３本，金曜日２本咲いていく。・咲いていく花の色は３種類がバラバラに咲いていく。が続いて，最終のイラストになりました。　このお話は，とてもよくできていると感じました。統計的に調べていくための３種類の情報がちりばめられていきます。表でまとめると右のように「曜日ごと」「色ごと」「クラスごと」に整理することができます。　素材は素晴らしいので，これをどのような提示・展開していくとよいのでしょうか。この日は，まず「曜日ごと」の絵グラフが，教師から提示されました。花は全部「赤色」で塗られていました。　次に「色ごと」の絵グラフも同様に提示され，それと同じものを個々の児童が「赤鉛筆」で塗っていきました。出来上がると先生のところに持っていって丸を付けてもらっていました。　こうしてできた２つのグラフを見て気が付いたことなどの発表に入りました。子どもたちは，グラフからわかる花についてのことだけでなく，グラフ自体のよさなどについても言及していて，とても素晴らしい話だったと思います。しかし私は，この展開ではせっかくのよい素材が生かし切れていないのではないかと感じました。　代案１としては，最終のイラストを見ながら，自由に絵グラフを作らせる方法です。「色」と「クラス」に分かれて，自然に２つのグラフが出てくるような展開です。　代案２は，どんなグラフができそうなのかを話し合い，それではまず「クラスごと」(「色ごと」)からやっていこうと，方向性を定めてから作業の入る展開です。その中で「クラスごと」はどうやっても４ずつになるよ，などこの場合はあまり意味がないことが話し合えると批判的思考の萌芽になるかな。　代案３は，どこかで「曜日ごとの絵グラフを作ろう」と投げかける。すると，もう忘れたよというので，もう一度アニメを見ながらメモを取る児童が出てくると自然な作業になる。　代案４は，曜日ごとの絵グラフを色別に塗らせる展開です。その結果，「青い花は咲くまでに時間がかかる」「赤い花は早く咲く」などが見えてくると，複数のグラフを組み合わせたことにつながる。　以上，１年生としては難しい面もありますが，あまりにも「レールを敷いた」展開だったので，そのように感じてしまいました。　若い授業者は，いつも意欲満々の授業をされ，いくつかの研究会でお目にかかったことがあります。感謝したいと思います。　にほんブログ村
17Jul
- 合同の作図
  　まずは前時に不十分に終わった部分を補足します。合同な２つの三角形を組み合わせて四角形を作りました。そうすると，どんな三角形(一般三角形)でも「平行四辺形」になることを，実物を作りながら確認していきました。平行四辺形を対角線で２つに分けると，合同な一般三角形になることの「逆」です。　ここからが本時の問題です。小黒板を２枚組み合わせて作った「三角形」を見せます。全ての辺の長さと全ての角の大きさが情報として示されています。これと同じ三角形(合同な三角形)を白紙の上にかくことが今日の課題です。「作図」という言葉はここできちんと教えました。　子どもたちは思い思いに作図をしていきます。分度器とコンパスは用意するように言ってあったのですが，どちらか一方しか持っていない人もいます。それでも持っているものを使えば何とか作図することができます。　発表させると，２辺とその間の角を使う方法が出てきました。これが一番多いようです。続いて，３辺を使うものが出てきました。これは少ないのかと思いましたが，意外とやっていました。分度器がなかった児童が多かったのも影響しているかもしれません。１辺とその両端の角は，１人しかいませんでした。　これで３つの作図が出てきたので，アニメーションで再確認をしながら，「約束」をしていきます。一つ目の約束は「作図に使った線は消さない」です。さらに「使った情報は書いておく」ということです。逆に「使わなかった情報は書かない」も徹底します。　最後にもう１つ作図を練習して終了です。自分の得意な方法ということでやらせてみましたが，分度器を使う児童とコンパスを使う児童が半々だったようです。　にほんブログ村
16Jul
- 対角線で切ると
  　最初に，「正方形」「長方形」「平行四辺形」「ひし形」「台形」を見せます。その中から正方形を提示して，「この正方形を，どこかで切って２つの合同な形にしたいけど，どこできればいいかな。」と発問して授業はスタートです。子どもたちからは，「対角線で切る」という意見が出てきました。実際に画用紙で作った正方形でやってみると，確かに合同になっています。そこでさらに，「この２つの三角形の名前は何かな。」とたずね，最終的には「直角二等辺三角形」ということにまとめました。「今日は，他の形でもこんなことをやっていきます。」と言いながら，めあてである「四角形を対角線で切ると…」を示し，図形をわたして子どもたちに操作させました。子どもたちは，印刷された図形の周りを切り取り，対角線を引きます。できるだけ隣同士で話し合って，別の対角線で切るように指示します。小さな形なので大変ですが，台形以外は「合同」になることが確かめられました。「ここからは，合同になる理由を考えていきます。」と言いながら，２つの三角形の「対応する辺」を考えていきます。この時「小黒板にかかれた元の図形」と，「画用紙で作り実際に２つに分けた図形」の両方を用意します。対応する辺は，画用紙の図形で確認します。その対応する辺が同じ長さになる理由を説明させるときには，「小黒板の図形」を使わせます。考察の対象にしている図形と，説明のために使う元の四角形は分けてやった方が分かりやすくなるのです。　ここからは，台形以外の形で，対角線を２本引いた時にできる図形について考えていきます。長方形や平行四辺形は，上下と左右の三角形が合同になりそうです。それぞれの対応する辺を見ていくと，「図形の辺に関する性質」と「図形の対角線に関する性質」を使うと，合同であることが説明できます。子どもたちは直感的に見抜いていますが，性質そのものはわすれていることが多いようです。４年生のときの教科書を見せながら，学習した性質を使うと，合同が判断できる経験を積ませていきました。　最後は短い時間でしたが，ここまでの「逆の活動」すなわち，合同な２つの三角形を組み合わせると「何でもない四角形」にはならず，「名前のある四角形」になることを確かめて終了しました。このことは，あとの学習で使うので取り入れています。　にほんブログ村
15Jul
- 合同の性質
  　前時に，「合同」の定義がなされました。その最後に，二等辺三角形を２つに分けた時，合同になる分け方と，そうでない分け方を再確認して，合同の意味を確かなものにしました。この日はその「合同」の性質について学習していきます。　まず，小黒板にかかれた三角形と，画用紙で作った三角形を見せます。この２つが「合同」になることをぴったり重ねて確認します。さらに，画用紙の方の三角形を裏返しにしてとなりに貼ります。そして，「頂点Aは，さっき重ねた時にどこと重なったかな。」とたずね「頂点D」であることを確かめ，そのことを「頂点Aに対応する頂点D」と算数では表現することを教えました。　そのあと，のこりの「頂点」についても同じように見つけたり，「対応する角」や「対応する辺」についても同様に見つけたりしていきました。「辺」に関しては，対応する点同士の順になるように表現することは押さえました。　次に，同じような展開で図形を四角形に変えました。最初に合同であることを確認し，画用紙の図形を「裏返して逆さにする」といういやらしい置き方にしました。こうなるとそう簡単には見つけられません。それでも「頂点」から順に調べていきます。小黒板は使いまわしができるようにしてあります。対応する辺は，対応する頂点が見つけられていれば，その記号で判断できます。　対応する頂点・角・辺の意味が分かれば，ぴったり重なるのでそれぞれの大きさが等しくなることは明白です。これが「合同の性質」となります。このことをノートにきちんとまとめます。　さらにそのことを理由にすると，小黒板にかかれた「長さ」や「角度」の入った三角形と合同な画用紙の三角形の辺や角の大きさが分かります。　ここまでに学習したことを利用して，教科書の練習題に進みます。その最後の問題は，２つの四角形があり，４つ描かれている本の長さは全て等しいのですが，辺の位置が異なるので合同にはなりません。その理由を『ノートにしゃべろう』のお題としました。「隣り合う」「右と左」など，辺の場所に関する言葉がかけていれば及第点と言えるでしょう。　にほんブログ村
14Jul
- 「合同」導入
  　「合同」の単元に入ります。導入は，円周上に等間隔で８つの点をうちます。このうちの４つの点を選んでつなぎ，四角形を作っていきます。できるだけたくさんの四角形を見つけることを課題とします。最初に全体で２種類目まで見つけ，そこから用紙をわたして自力解決に入りました。　８分ほどで発表に入ります。最初に「ひし形」のような形が出てきました。これで３種類です。次に出てきたのが「正方形」のような形です。するとすぐに，「同じ形だよ。」「回したらいっしょになるよ。」という声が出てきました。そのことを実際に回して確認し，そのような場合があることを板書します。これではまだ３種類のままです。　そのあとは，７種類目まで順当に出てきました。しかし８種類目のときに，再び，「同じ形になる。」という呟きが生まれました。しかし今度はそう簡単に同じ形になるかどうかわかりません。実際に形を切り抜いて重ねてみても，ぴったりは重なりません。そのうち児童から，「ひっくり返したらいいよ。」という意見が出てきました。ひっくり返すという言葉から「１８０度回転」させてみましたが，重なりません。子どもたちから，「裏返すんだよ。」という言葉が出てきました。それでようやく重なることが分かりました。　このような活動を繰り返し，８種類まで来ました。９種類目を考えていったのですが，どれも結局「同じ形」になってしまいます。「見つけた。」と言ってやってみると，最後の８種類目になります。結論として，８種類ということで落ち着きました。　この日，却下された図形は，何かと同じ形になってしまうものでした。そこでそのようなことを「合同」ということを教え，定義を約束していきました。最後に，ドット上に描かれた「二等辺三角形」を，１本の直線で切って，２つの合同な三角形にする方法を考えました。その方法として，頂点から対辺の中点をつなぐ方法が出てきました。しかし，対称の軸になる場合は合同な２つの三角形になりますが，そうでない方で切ると，微妙に重ねることができないのです。「裏返したらいい。」という意見も出ましたが，それでやっても重なりません。この場合は「合同ではない」ということが分かりました。　Aを教えたいときは，nonAを見せる。似て非なるものを見せることが概念形成につながります。　にほんブログ村
13Jul
- しかけ成功(研修会に招かれて)
  　先日，今年の秋に「県レベルを超えた研究大会」の会場校となっている学校に招かれ，授業研究会を行いました。２年生の「こんにちは　さようなら」という不思議な名前の単元です。計算の順序について考え，「結合法則」につなげるための時間です。「１０+２+６」の場面で，順々に計算する方法と，先に「２+６」をする方法を引き出すことが目的です。２年生の子どもたちにとって，後ろの数字を先に計算する必然性はありません。「自力解決」で簡単に出てくる方法ではありません。そのための「しかけ」として，提示の工夫がありました。　何枚か折り紙をもっていたのですが，それを隠して，先にもらった２枚と６枚の場面を示します。子どもたちはそれで８枚になったと思ったでしょう。ところが最初から「１０枚」もっていたことを告げ，全部で何枚になったのかを考えます。そうすると，あっさりと後ろを先にする方法が出てきたので，しかけは大成功と言えるでしょう。　１３分ほどの自力解決の時間に，子どもたちはワークシートに様々なことを表現していました。テープ図，サクランボ図など，これだけ長い時間を無駄に過ごすようなことはありませんでした。　全体では，それらの考えを取り上げ，数図ブロックも使って全体に広げていきました。３口の計算になったのは，最初の子どもの声を聴いたためで，本当はバラバラの分解式でとらえさせる方がよかったと思います。　適用題は，場面をかえて，さらに今度は「後ろの２つの数字で１０を作る」という問題にしていましたこうして，どちらの問題も先にうしろを計算する方が楽になるという数字にしていました。　「まとめの言葉」や「振り返り」など，いくつかの問題点はありましたが，私はよくまとまった授業になったのではないかと思いました。このクラスの合学級が秋に公開授業をします。私も最後まで協力させてもらいたいと思います。　にほんブログ村
10Jul
- １８周年(全板書)
  　本日７月１０日は，本ブログ「授業がんばりMATH」がスタートして，１８周年という日になります。我ながら長くやってきたものだと思います。スタートしたのは，山の小さな学校の６年生を担任していた時ですから，１８年間で5校に勤めさせていただきました。最初は一部の授業しか報告していなかったのですが，あるきっかけから「それはこちら」全ての授業を報告することにしました。研究授業には決して乗らない「計算練習の時間」などもそのポイントについて報告してきました。　いつもこの日は，「記念記事」として，自分のこれまでの実践についての思いを綴らせていただいています。今回は，このブログと同じ18年間続けてきたことについて綴りたいと思います。それは「全板書を残す」ということです。　ある時期から「デジタルカメラ」というものが大きく普及し始めました。私は特に興味もなかったのですが，自分用の簡単なカメラを買ったことをきっかけに，「板書を残していったら次の時に役立つのではないか。」と思い，この年からすべての授業の「最終板書」をデジカメで撮り，それを年度ごと，単元ごとにまとめていくようにしました。それが左のような「フォルダ」です。一番古いものが「2009年6年生」とありますので，ブログを立ち上げた年度です。ブログは7月にスタートさせているので，スタートしてからの3か月は板書をとるだけでした。しかしそれがきっかけになり，それならこれをみんなに発信していけば何かの参考になるのではないか，と考え，当時流行していた「ブログ」という形で伝えていくことになったのです。　今それぞれのフォルダを見直すと，その時代がよく反映されています。スタートした2009年のものは，右のようなものです。ちょうど「ゆとり」の最後の年度であり，移行措置も行われていました。　６年生なのに，「合同」「体積」「単位量あたり」「倍数と約数」「分数の加減」「平均」などの単元名が見られます。これらは当時５年生で指導されていたのです。この中に「割合」は入っていないので今と同じ５年生で指導されていました。つまり「単位量あたり」より「割合」が先に教えられていたのです。当時とんでもないことだと主張していたことを思い出しました。　今，若い人たちに，このような板書を残していくことを推奨しています。数年前から，教育本として高い人気を誇っている「全板書シリーズ」というのがありますが，私はそのかなり前からやっていたことですが，よい企画だと思っています。　私は今年の３月で「定年退職」(６２歳)をむかえます。今はまだもう少しがんばろうと思っていますが，どこまで続くかは分かりません。最後までこれらの歩みは止めないようがんばろうと思っています。今後ともこの「授業がんばりMATH」をよろしくお願いいたします。　にほんブログ村
09Jul
- 少人数で(学ぶ会から)
  　先週の土曜日に「算数を学ぶ会」を行いました。この日は参加者４人というアットホームな中での勉強会となりました。　最初に，初任の先生が最初に行う研究授業として，５年生「合同」の内容を検討しました。四角形を対角線で切った時にできる三角形について考える時間です。多くの四角形は，対角線で切り取ると２つの三角形が合同となります。このことについては，実際に図形を切り取って重ねるという操作は欠かせませんが，一方でどうして合同になるのかは，図形の性質からきちんと考えられなければなりません。向かい合う辺の長さや角の大きさが等しいことを見抜いて，当然重なる，というイメージを作る必要があります。そのあたりのための方策についていろいろと話し合いました。　もう一つ，４年生の「折れ線グラフ」についても話し合いました。１つの表の中に２本の折れ線グラフをかいて考察する場面です。別々の２つの折れ線グラフを，１つにまとめることのよさをどうやって感得させるかということを話し合いました。２つのデータの「差」に着目する文脈を作り，１つの表にかいた方がそれが見やすくなる，という経験をさせるという意見になりました。　少人数でしたが，しっかり２時間２つの授業について話し合い，中身の濃い半日となりました。　にほんブログ村
08Jul
- 校務出張から
  　先日，久しぶりに公務出張に行ってきました。県の小中合同での「学力向上推進員研修」です。私は校内の「学力向上推進員」という公務分掌をもっています。前任校は大規模校だったので，学年主任には公務分掌はあたらなかったのですが，今の学校は学年２クラスの中規模校なので，学年主任にも公務分掌があたります。それが「学力向上推進員」でした。以前からよく受け持っていた役割なので，全体的なことはよく分かっています。　この日は，「国立教育政策研究所」から「調査官」の方が来られての講演でした。というと，東京から来られた先生を想像すると思いますが，その方は私の地元の附属中学校出身の方なのです。(まあ，今は東京から来た，と言っても間違いはないのでしょう。)　彼とは，大学院が入れ替わりで名前だけは知っていたのですが，その後彼が附属中学校に勤めるようになると，私は県の小学校算数の事務方代表として「数学教育会」(県内の，小学校・中学校・高等学校・高等専門学校・大学の代表が集まって，県内の数学教育を進めていく会)にいっていたので，親しく話すようになりました。何度かお酒を飲みながら話もしたことがあります。　以前，地元の附属小学校の授業で，数学的にまちがった内容が進められた時，彼と二人で，「あれはおかしいよね。」と話し合ったことは今でも忘れられません。あの時それに気がついていたのは，２人だけだったのかもしれません。　その後彼の授業を見に行ったこともありますし，彼が「学習指導要領解説書」の執筆者になっていることも知っていたので，活躍するだろうと思っていたのですが，案の定でした。　この日の講演は，「全国学テ」の分析内容で，中学校の話が中心でしたが，小学校のことにもたくさん触れられ，中身の濃い講演会となりました。いずれまた地元に帰ってきてくれると思いますので，その時にまた話ができればいいな，と思いながらの午後半日出張となりました。　にほんブログ村
07Jul
- 割合の習熟
  　割合についての「３用法」の問題を一通りやりました。子どもたちはできたような気になっていますが，この問題の場面で全員がすっきり落ちていることは考えられません。この時間に定着をさせていきます。　まず，３用法の問題を一気に３問見せて，「関係図」をかいて考えさせます。問題ごとに図が変わりますし，式も変わります。それを正しく判断できなければなりません。しかし案の定，この段階では，多くの児童が「逆」にしたり演算を間違えたりしています。「関係図」が正しくかけていないことが大きな原因です。　「もとにする量があって割合がある」という原則を確認し，～倍というのが何をもとにしているのかを考えることを指導します。これは何度もやって自分でイメージを作ってもらうしかありません。　この３問で，基本的な考え方を一通り押さえた後，さらに習熟題に入ります習熟題は，８種類の色テープがあり，そのうちの４種類は長さが分かっています。その分かっている長さをもとに，割合の問題を考え，どんどん長さを明らかにしていくようにしていきます。３つの用法と，割合が１をこえるもの・こえないものをセットにして出題しています。　やっていく中で，いちばん間違いが多いのは「第１用法」です。どうしても，大きいものを小さいもので割ろうとするイメージが離れられません。「もとにする量」で割ることで，１にあたるもののいくつ分になっているのかが分かることを印象付けます。　さらに問題を追加して，全ての色の長さを求めることができました。全部求められると子どもたちから「達成感」を表す言葉が出てきます。算数とは無関係なことですが，出題方法も子どもたちにとっては大きいポイントとなります。　にほんブログ村