以前の記事の続きです。
同じ大きさの角が3つあると正三角形、4つあると正方形（正四角形）、5つあると正五角形…という発想でいると「？」となるところですが、たとえば正2.5角形というものもあります。
これを取り上げた今年の入試問題です。
3つ以上の直線で囲まれた図形を多角形といいます。多角形の中でも、辺の長さがすべて等しく、角の大きさがすべて等しいものを正多角形と呼びます。正3角形（正三角形）や正5角形（正五角形）など、「正●角形」の●には2より大きい数が入ります。
正多角形の1つの内角の大きさを求める式として、次のような式があります。
180°－(360°÷●)…㋐
ただし、式の中の●には「正●角形」の●の数が入るものとします。このとき、次の問いに答えなさい。（田園調布学園2024第2回）
⑴「正●角形」の●には、いつもは整数が入りますが、ここでは●に小数を入れた場合を考えてみましょう。
①●に2.5を入れて、正2.5角形というものを考えてみます。㋐を使って、正2.5角形の1つの内角の大きさを求めなさい。
180°－(360°÷2.5)＝180°－144°＝36°
②正●角形の1つの内角の大きさが100°でした。●にあてはまる数を求めなさい。
180°－(360°÷●)＝100° より 360°÷●＝80° だから ●＝4.5
内角の大きさを⑴の①で求めた角度として、辺の長さがすべて等しくなるように図をかいてみると、下の図のようになりました。
ここでは、(図1)の図形を正2.5角形と呼ぶことにします。このとき、正2.5角形の頂点はA、B、C、D、Eの5つとし、辺はAB、BC、CD、DE、EAの5つとします。
⑵ 正多角形の異なる頂点を結んだ直線のうち、辺ではないものを、ここでは対角線と呼ぶことにします。
正多角形の対角線の本数を求める式として、次のような式があります。
(頂点の数－3)×頂点の数÷2…㋑
このとき、次の問いに答えなさい。
① ㋑を使って、正2.5角形の対角線の本数を求めなさい。
② 解答用紙の正2.5角形に対角線をすべて書き込みなさい。
① (5－3)×5÷2＝5より対角線は5本
②「正多角形の異なる頂点を結んだ直線のうち、辺ではないものを、ここでは対角線と呼ぶ」から次の青で示した線が対角線となる
⑶ 下の(図2)は、正7角形の2つ隣(となり)の頂点同士を結んでできた図形です。次の文の空らんにあてはまる数を求めなさい。
(図2)の𝓧の角の大きさは［ ① ］°であり、この図形は正［ ② ］角形と呼ぶことができる。
正7角形の一つの外角の大きさは 360÷7＝³⁶⁰⁄₇°より、一つの内角の大きさ❶は
180－³⁶⁰⁄₇＝⁹⁰⁰⁄₇°
したがって頂角⁹⁰⁰⁄₇°の二等辺三角形の底角の大きさ❷は
(180－⁹⁰⁰⁄₇)÷2＝¹⁸⁰⁄₇°
よって
① 𝓧＝⁹⁰⁰⁄₇－¹⁸⁰⁄₇×2＝⁵⁴⁰⁄₇°
② これを問題文にある「正●角形の1つの内角の大きさ1つの内角の大きさを求める式…180°－(360°÷●)」にあてはめると
180°－(360°÷●)＝⁵⁴⁰⁄₇° より 360°÷●＝⁷²⁰⁄₇° だから ●＝360÷⁷²⁰⁄₇＝3.5 なので
正3.5角形 
