以前の記事の続きです。
受験算数界の定番テクニックの一つ「ケタばらし」が使える今年の出題例です。
連続する整数の各位の数字の和を考えます。例えば、109から111までの各位の数字の和は1+0+9+1+1+0+1+1+1=15です（甲陽学院2024第2日）
⑴ 1から100までの各位の数字の和を求めなさい。
100は最後に考えるとして、1から99までの各位の数字の和を考える。
- このとき1を「01」、2を「02」のように99個すべて2ケタの数とみる。また最初に数「00」をつけて100個ちょうどにする（こうしても0の数がふえるだけなので「各位の数字の和」は変わらない）
- すると00から99まで2ケタの数が100個あるから、各位の数字の個数はぜんぶで 2×100＝200個
- この200個の中身を考えると0～9の10種類の数が均等にあらわれる。つまり（200÷10＝20より）0～9の数が20個ずつある
したがって分配法則を使ってその和を計算すると
0×20+1×20+2×20+…+9×20
＝(0+1+2+…+9)×20＝45×20＝900
よって最後に100にある1を足してその和は901
⑵ 1から10000までの各位の数字の和を求めなさい。
10000は最後に考えるとして、1から9999までの各位の数字の和を考える。
- このとき1を「0001」、2を「0002」のように9999個すべて4ケタの数とみる。また最初に数「0000」をつけて10000個ちょうどにする
- すると0000から9999まで4ケタの数が10000個あるから、各位の数字の個数はぜんぶで 4×10000＝40000個
- この40000個の中身を考えると0～9の10種類の数が均等にあらわれるから（40000÷10＝4000より）0～9の数が4000個ずつある
したがって分配法則を使ってその和を計算すると
(0+1+2+…+9)×4000＝45×4000＝180000
よって最後に10000にある1を足してその和は180001
⑶ 1から2024までの各位の数字の和を求めなさい。
❶1～999、❷1000～1999、❸2000～2024の3つに分けてしらべると
❶1から999まで
- 000から999まで3ケタの数が1000個あるとみると、各位の数字の個数はぜんぶで 3×1000＝3000個
- この300個の中身を考えると0～9の10種類の数が均等にあらわれるから（3000÷10＝300より）0～9の数が300個ずつある
したがってその和は 45×300＝13500
❷1000から1999まで
- まず下3ケタの各位の数字の和は❶でしらべた13500
- また4ケタの数が1000個だから千の位の1も1000個あるので 1×1000＝1000
したがってその和は 13500+1000＝14500
❸2000から2024まで
最後にこの4ケタの数25個についてケタごとにしらべると
- 千の位…2が25個あるから2×25＝50
- 百の位…0
- 十の位…1が10個、2が5個あるから 1×10+2×5＝20
- 一の位…2000から2009まで45、2010から2019まで45、2020から2024まで 1+2+3+4＝10。これらを合わせて 45+45+10＝100
したがってその和は50+20+100＝170
よって❶+❷+❸＝13500+14500+170＝28170 
