以前の記事の続きです。
今年の入試問題より規則性の第4回です。
縦の長さも横の長さも,それぞれ2cm、3cm、4cm、…、99cm、100cmのいずれかとなるような、長方形や正方形のタイルを考えます。このようなタイルとして考えられるものをすべて、面積が小さい順に左から一列に並べます。ただし、同じ面積のタイルは、縦の長さが最も短いタイルのみを並べます。次に、あるタイルXが、並べられている他のタイルのうちいずれか1種類を、何枚かつなげて作ることができる場合は、タイルXを列から取り除きます。例えば、縦の長さが2cm、横の長さが4cmのタイルは、縦の長さが2cm、横の長さが2cmのタイルを2枚つなげて作ることができるので、列から取り除きます。このようにして取り除けるタイルをすべて取り除いたところ、下のようなタイルの列ができました。（渋谷教育学園幕張2024）
① 左から7番目にあるタイルの面積は何㎠ですか。
- 長めの問題文だが、まとめるとタイルの縦・横の長さ(cm)を素数にするということだからその面積は「素数×素数」の計算結果になる
- そこで素数どうしの積を表にしてみる。このとき「同じ面積のタイルは、縦の長さが最も短いタイルのみ」並べるから一番上の列が横の長さ、左はしの列が縦の長さと考える
- この積が小さい順に①、②、③、…と番号をつけていくとそれがそのまま左から1番目、2番目、3番目…のタイルの面積(cm)となる
よって左から7番目のタイルの面積は 21㎠
② タイルの列に、面積が60㎠以下のタイルは何枚ありますか。
小問①の表の計算をつづけると積が60以下のものは次のようにあらわれる。
よって
- 横2㎝のタイルが10枚
- 横3㎝のタイルが7枚
- 横5㎝のタイルが3枚
- 横7㎝のタイルが1枚
の合計21枚
⑵ どの面の形も⑴の列にあるタイルのいずれかと同じ形であるような、直方体や立方体を考えます。ただし、体積が同じ立体がいくつか考えられるときは、向きが違うものは区別しないで、そのうち一つだけ考えるようにします。こうして考えられる立体をすべて、体積が小さい順に左から一列に並べます。左から10番目にある立体の体積は何㎤ですか。
「体積＝底面積×高さ」だからこんどは一番上の列を底面積、左はしを高さとする計算表を新たに考える。
- このとき「どの面の形も⑴の列にあるタイルのいずれかと同じ形」の立体だから小問⑴②で求めた積（素数×素数）を底面積と考えてこれを表の一番上の列にする
- これと高さとの積について「体積が同じ立体がいくつか考えられるときは…そのうち一つだけ考える」から同じ積には同じ番号をつけて小さい方から数えていくと10番目に小さい数は45
よって左から10番目の立体の体積は45㎤ 
