前回の記事の続きです。
カードと同じように、ボールも入試問題の題材としてよく使われます。
たとえば次のような問題があります。
分配算（日本大学中2022）
右の図のような箱A、B、Cがあり、その中に玉が10個ずつ入っています。この箱の中の玉を2分ごとにすべてとなりの箱へ、同時に移しかえます。つまり、AのとなりはBだけなので、Aの中の玉はすべてBに移ります。BのとなりはA、Cの2つあるので、Bの中の玉はAかCにそれぞれ移ります。CのとなりはBだけなので、Cの中の玉はすべてBに移ります。
このとき,次の各問いに答えなさい。
⑴ 5分後にAの中に玉が8個入っているとき、BとCにはそれぞれ玉が何個入っていますか。
まず玉は「2分ごとに」移しかえるから、5分後の状況は4分後と同じ。
2分後と4分後の状況を書いていくと、
- 2分後にはAとCの玉の合計20コがBに集まる。またBにあった10コの玉ぜんぶがAかCに移動する（下の図はたとえばAに3コ、Bに7コ移動したと仮定）
- 4分後にはAとCに移っていた合計10コの玉がBに戻り、Bにあった20コの玉ぜんぶがAかCに移動する。このとき、Aに8コの玉が入っているのなら、Cには12コの玉が入っている
よってBには10コ、Cには12コの玉が入っている
⑵ 35分後にAの中に玉が3個入っているとき、BとCにはそれぞれ玉が何個入っていますか。
つづけて6分後、8分後と書いていくと規則性が見えてくる。
❶0分後、4分後、8分後には10コの玉がBに集まる（残り20コはAかCに行く）
❷2分後、6分後には20コの玉がBに集まる（残り10コはAかCに行く）
という4分の周期をくり返すこと。そうなると❶❷は分けて考えるのがいいことがわかる。下の図は❶の動きを下段に、❷の動きを上段に書いたもの。
そこで「35分後にAの中に玉が3個入っているとき」を考えると、34分後の状況を考えればよいから、34÷4＝8あまり2。これは上記❷のパターンなので、Bには20個入っている。
そして「Aの中に玉が3個入っている」からCには7個入っている。
次の(ア)～(エ)にづいて、正しいものに〇、正しくないものには×を書きなさい。
(ア) 7分後にAに玉が入っていないことがある。
(イ) 15分後にBには必ず玉が入っている。
(ウ) 19分後に2つの箱に玉が入っていないことがある。
(エ) 25分後に3つの箱に入っている玉の個数が同じになることがある。
(ア) (イ)…上に見たとおり、いつも「Bには必ず玉が入っている」（10コか20コ）。残りはAかCに入ることしか決まっておらず（個数までは決まっておらず）ぜんぶがCに入って「Aに玉が入っていない」こともある。よって ア…〇、イ…〇
(ウ)…Bには必ず玉が入り（10コか20コ）、AかCのどちらかには必ず玉が入る（残り20コか10コのうちの一部か全部）。よって、どれか1つの箱に玉が入っていないことはあっても「2つの箱に玉が入っていないこと」はないので ウ…×
（エ）…「25分後」は24分後の状況と同じ。これは❶のパターンとなるのでBに10コあるのは確定。残り20コはAかCに入るが、AとCに10コずつ入れることもできる。このとき「3つの箱に入っている玉の個数が同じになる」から エ…〇
数字の並べ方（聖光学院2022）
1～5までの整数が書かれた赤、白、青の3色の玉が1個ずつ、合計15個あります。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 15個の玉の中から5個の玉を選んで一列に並べる並べ方のうち、左から順に赤、赤、白、白、白と並ぶような玉の並べ方は全部で何通りありますか。
同じ色でもすべて違う番号がついているので、15コぜんぶを別のものとして取り扱う、並べ方（順列）の問題となります。
「赤、赤、白、白、白」という並べ方を考えると
- 赤はぜんぶで5コあるので、最初の赤の選び方は5通り、2番目の赤は残りの4通り。
- 白もぜんぶで5コあるので、3番目の白の選び方は5通り、4番目の白は残りの4通り、最後の白は残りの3通り。
以上すべて同時に起こるので、5×4×5×4×3＝1200通り
⑵ 15個の玉の中から3個の玉を選んで一列に並べます。玉に書かれた数字を左から百の位、十の位、一の位として3桁の数を作るとき、
(ア) 3桁の数が144となるような玉の並べ方は全部で何通りありますか。
「144」の並べ方を考えると
- 百の位の1は、1が書かれた「赤、白、青の3色の玉」から選ぶので3通り。
- 十の位の4の選び方も同じように3通りあり、一の位の4は残りの2通り。
以上すべて同時に起こるので、3×3×2＝18通り
(イ) 3桁の数が18の倍数となるような玉の並べ方は全部で何通りありますか。
「18の倍数」ということは❶9の倍数でもあり❷2の倍数でもあるということ。2つの条件をみたすものを考えていく。
❶たして9になる
まず3ケタにすると9の倍数になるということは、3つの玉の和は最高でも15なので、和が9の場合だけ。そうなる3つの組み合わせは
①（5，3，1） ②（5，2，2） ③（4，4，1）
④（4，3，2） ⑤（3，3，3）
の5つの場合がある。それぞれについて次に考える。
❷2の倍数（偶数）
上の①～⑤で偶数になる並べ方を考える。①（5，3，1） と ⑤（3，3，3）はどうならべても偶数にはならないので、それ以外をみていくと
②（5，2，2）…3×3×2×2＝36通り
偶数になる並べ方は522と252の2パターンある。
このうちたとえば522だと、最初の5が3通り、真ん中の2が3通り、最後の2が2通りあるので 3×3×2＝18通り。252でも同じく18通りある。
③（4，4，1） …3×3×2×2＝36通り
偶数になる並べ方は414と144の2パターンある。あとは②と同じ。
④（4，3，2）…3×3×3×6＝108通り
偶数になる並べ方は432、342、324、234の4パターン。
このうちたとえば432だと（3つとも数が違うため）すべてのケタで3色から自由に選べるので 3×3×3＝27通りできる。
同じことがほかの5パターンについても言え、それぞれ27通りできる。
以上の合計で180通り
⑶ 15個の玉の中から4個の玉を選んで一列に並べ、玉に書かれた数字を左から千の位、百の位、十の位、一の位として4桁の数を作ることを考えます。
いま、ある4個の玉を選んだところ、それぞれの並べ方から作られる数の総和は、106656となりました。玉に書かれている4つの数の組み合わせとして考えられるものを、下の例のかたちですべて答えなさい。
例 3, 2, 2, 4 → 小さい順に (2,2,3,4)
「ある4個の玉」の並べ方は4×3×2×1＝24通り。同じ数でも色が異なるので、これがそのまま「4桁の数」の個数となる。
このとき 106656÷24＝4444 より、1つの数の平均は4444。この各ケタの数をたすと16なのでたして16となる4つの数の組合せを見つければよい（そのようなたして16となる4つの数を並べかえて24コの数を作るとその和は必ず106656になる）。
これは左から小さい順に書くと次の4つ。
（1，5，5，5）（2，4，5，5）（3，3，5，5）（3，4，4，5）
