2013年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その３
第３弾は，早稲田大学政経学部の大問４です。
新課程として数学Ａに登場した「整数」の派生版として，この冬中学生に解かせた「慶應志木高の入試問題」の類題（高校入試の方が難しい！）でした。
自然数の組（x，y，z)が等式x^2＋y^2＝z^2を満たすとする。
（１）すべての自然数nについて，n^2を4で割ったときの余りは0か1であることを示せ。
（２）xとyの少なくとも一方が偶数であることを示せ。
（３）xが偶数，yが奇数であるとする。このとき，xが4の倍数であることを示せ。
ではさっそく（１）から考えていきましょう。難関高校受験志望の中学生なら，受験直前期には10分以内で解ききれてほしいレベルの問題です。
（１）自然数nが奇数，偶数のときに分けて考える。
（Ａ）奇数のとき 自然数kを用いて，n＝2k－1 n^2＝(2k－1)^2＝4(k^2－k)＋1 であるから，4で割った余りは1
（Ｂ）偶数のとき 自然数kを用いて，n＝2k n^2＝4k^2 であるから，4で割った余りは0
よって，n^2を4で割った余りは，必ず0か1のいずれかとなる。
（２）中学生であっても背理法の考え方には慣れておきましょう。
x，yをともに奇数であると仮定する。（１）より，x^2，y^2，z^2をそれぞれ4で割った余りは1である。このとき，x^2＋y^2を4で割った余りは2となるが，このとき，4で割った余りについて等式x^2＋y^2＝z^2の条件に矛盾する。よって，xかyのどちらか一方は偶数。
（３） （１），（２）より，xが偶数，yが奇数のとき，zは奇数。
自然数p，q，rを用いて，x＝2p，y＝2q－1，z＝2r－1とおいて等式x^2＋y^2＝z^2に代入すれば
(2p）^2＋(2q－1)^2＝(2r－1)^2 両辺を4で割って，
p^2＝ｒ^2－r－q^2＋q＝r(r－1)－q(q－1)
ここで，rとr－1は連続する２数であるからどちらかが偶数。よって，r(r－1)も偶数。同様にq(q－1)も偶数であるから，p^2も必ず偶数となる。したがって，pも偶数(p＝2s，sは自然数）。
よって，x＝2p＝2×2s＝4s であるから，必ず4の倍数となる。
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2013年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その２
第２弾も，立命館大学（薬学部）からです。大問１（４）
１から５までの数字を１つずつ書いたカードが１枚ずつ，合計５枚のカードが箱に入っている。この箱から無作為にカードを１枚取り出し，カードの数字を記録して箱に戻す。この操作を４回繰り返すとき，次の確率を求めよ。ただし，答えは既約分数にすること。
(a)記録された４つの数の和が奇数となる確率を求めよ。
(b)記録された４つの数の積が６の倍数となる確率を求めよ。
では，さっそく(a)から見ていくことにします。
(a)４つの数を「最初の２数の和」「あとの２数の和」に分けてみれば，公立高校入試レベルになります。
１回の試行で奇数のカードを取り出す確率は3/5，偶数のカードを取り出す確率は2/5だから，
２つの数の和が偶数になる確率は，
「偶→偶」と選んだときの2/5×2/5＝4/25・・・①
「奇→奇」と選んだときの3/5×3/5＝9/25・・・②
を考え，①＋②＝13/25 よって，２数の和が奇数になる確率は１－13/25＝12/25
求める確率は，（最初の２数の和，あとの２数の和）＝（奇，偶），（偶，奇）となる場合を考えて，
13/25×12/25＋12/25×13/25＝312/625
(b)余事象を用いて基本通りに考えてみます。
Ａ・・・４数ともに３以外 (4/5)^4＝256/625・・・③
Ｂ・・・４数ともに奇数 (3/5)^4＝ 81/625・・・④
ただし，ＡとＢの共通部分をダブルカウントしていることを忘れないように。
共通部分（４数ともに１または５） (2/5)^4＝16/625・・・⑤
よって，求める確率＝1－（③＋④－⑤）＝1－321/625＝304/625
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2013年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その1
今年もこの季節がやってまいりましたｗ
自分自身のデータベースとして，あるいは難関高校志望の中学生や私立中学生を指導されている皆様のネタとして，このシリーズが機能することを願っています。
今年度の第１弾は，立命館大学（薬学部）大問１（１）です。
四角形ＡＢＣＤにおいて，ＡＢ＝5，ＢＣ＝3ルート2，∠ＡＢＣ＝45°，∠ＤＡＢ＝∠ＢＣＤ＝90°であるとき，
対角線ＡＣの長さを求めよ。
対角線ＢＤの長さを求めよ。
という問題。中学生にとって慣れないのは「図がない」という１点だけ。図を描く時間も含めて３分以内で解ききればＯＫでしょう。
では，中学生仕様の解説です。
（対角線ＡＣ）
ＣからＡＢに下ろした垂線の足をＨとおくと，△ＣＨＢは直角二等辺三角形であるから，ＢＣ＝3ルート2を用いて，ＣＨ＝ＨＢ＝3 よって，ＡＨ＝2
ここで，△ＡＨＣに三平方の定理を用いて，ＡＣ^2＝2＾2＋3＾2
∴ＡＣ＝ルート13
（対角線ＢＤ）
∠ＤＡＢ＝∠ＢＣＤ＝90°より，ＢＤは四角形ＡＢＣＤの外接円の直径。外接円の中心をＯとおくと，∠ＡＢＣ＝45°であるから，∠ＡＯＣ＝90°ＡＯ＝Ｒ（半径）とおくと，ＡＯ：ＡＣ＝1：ルート2より，
Ｒ＝ルート13/ルート2＝ルート26/2
∴ＢＤ＝２Ｒ＝ルート26
余弦定理，正弦定理無しで解ききれてしまいますので中学生にもお勧めです。
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2013年度埼玉県公立高校入試数学大問３ の話＋α
2013年度の埼玉県公立高校入試が，３月４日に行われた。
最近高校入試の最前線から離れたところにいたので・・・，なんて軽く思っていたらビックリ。
一昔前なら「難関私立高校受験生向け」のレベルにあたる問題が，チラホラ出題されている。
例えば，この大問３（２）。
公立中学のカリキュラムが「二次関数→相似」と進むので，いわゆる「座標平面上の図形」とよばれる融合問題は，それなりの塾とそれなりの教材を使って学校に頼らず準備をしてかなければならない。
ところが，この問題である。
図を見ながら考えてほしいが，ＢＤ：ＤＣ＝1：3であれば公立生向けの問題としても理解ができる。
しかし，「ＡＢ：ＢＣ＝1：3」となれば話は別である。
青山学院ではかつて同じ形で「ＡＢ：ＢＣ＝1：8」の出題例があるし，慶應女子高でも（96年）pだとqだのといった文字が多数出てくるとはいえ全く同じ「ＡＢ：ＢＣ＝1：3」が題材になっている。
こういった具体的な出題例を挙げると，この大問３（２）が「いわゆる普通の中学生」にとって，いかにハードルの高い１問であるかがおわかりいだだけるのではないだろうか。
この問題の詳しい解説をここで進めていくつもりはないが，一応ヒントだけ書いておくと，
難関高校受験生なら「ＡＢ：ＢＤ：ＤＣ＝1：1：2」にすぐ気づくよ
（Ｂのy座標：Ｃのy座標＝1：4だから）
となる。受験生諸君はこの後をしっかり考え，学校や塾の先生に相談してみよう。
結局何が言いたかったかというと，
「いまどきの公立高校入試問題（数学）」を舐めたらアカン
ということ。易しい問題を大量に解いて「絶対にミスをしないロボットのような仕上がり」が求められたのはもう昔のこと。「100点持ちの減点法（何問ミスしたかで決まる）」ではなく，「0点から何点積み上げられるか」という思考・準備が求められている。
だから，普段の勉強からして「教科書ワークレベルの問題を何度も何度も解きなおすだけ」では通用しなくなっているのだ。もちろん基礎基本を頭と身体にしみ込ませる過程においては，解きなおしも必要だ。
でも，それが中１・中２の段階であったとしてもそれだけじゃダメ。
正解まで至る途中経過に「いくつもの手数を要する」問題に触れ，慣れておくこと。
特に保護者の方々は，目先のテストの結果（得点）だけで判断するのではなく，その中身まで吟味してほしい。今はそんな時代なのだ。これが「脱ゆとり」。
言い方を変えよう。大学受験で「中高一貫生たちと同じ土俵で闘う」ことを想定しているのであれば，上記のような「隠れた準備」は保護者・生徒にとってマストであるということだ。
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４月からは次のステージに向かいます
本日の授業を持って，私の早稲田塾における役割はすべて終了しま
した。
2010年度から3年間，現役高校生専門塾に中学生部門を作り
軌道に乗せるミッションに沿って仕事を続けてきました。途中震災
もあり，自分の力不足も重なって紆余曲折がありましたが，何とか
3年で道筋をつけることができたと思います。
自分の仕事はこういうもの。立ち上げて道筋をつけたら「大きく
育ててくれる方」に引き継ぐ。寂しいなんて言ってるヒマはありま
せん。
ちょっと３月だけはゆっくりしますが，４月以降は色々と新しい
ステージに挑戦していきたいと思ってます。
早稲田塾の皆様に花をいただきました。最後までお気遣いいただ
きまして本当に感謝しています。有難うございました。
