次世代を担う子供たちの現在そして未来 -54ページ目

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志望校合格はゴールじゃない，スタートだ

　東日本大震災から丸二年が経過した今日，皆さんの日常は「気兼ねなく勉強に集中できる」生活に戻っているでしょうか。中学生，高校生，あるいは小学生であっても，今日無事に「机に向かうことができること」は幸せなんだ，と今晩だけは改めて感じてほしいものです。まだまだ勉強に集中できる環境を取り戻せていない皆さんには，心からお見舞い申し上げます。「勉強しよう」という姿勢を忘れず，日々できることを着実に進めていきましょう。「自分自身に毎日水を与え続ければ，必ず花はひらく」と私は信じています。

　そんな中，今日は埼玉県公立高校入試の合格発表でした。

合格した人，不合格だった人，今日の思いは人それぞれだと思いますが，私がお伝えできることは，

高校入試なんて長い人生の中では通過点でしかない

ということです。もちろん，進学した学校によって自分の人生が変わっていくということは間違いないでしょう（出会う友人が変わりますよねｗ）。でも，今日の結果にかかわらず，自分の人生はこれからどうにでも変えていくことができるのです。

　大学入試だけを考えるのであれば，より偏差値が高く評判のよい高校へ合格できた方が有利かもしれませんが，たとえ第一志望の高校でなかったとしても，今の時代予備校の選択肢だって数えきれないほどあります。情報だってネットにあふれています。３年後の結果は，これからの自分の心がけと着実な積み重ねによってどうにでも変えられます。

　長い人生で考えると，この先「今日より何倍も悲しいこと」「今日より何倍も苦しいこと」は，誰の身の上にも起こるものです。「七転び八起き」という言葉の通り，人生はトータルでよいことと悪いことが同じだけ起こると考え，これから先の未来であなたに訪れるであろう「よいこと」に期待したほうが，毎日楽しいですよね。

　最後に，皆さんが今日のために頑張ってきた努力や時間は，不合格だったからといって無駄になることはありません。今日の合格発表は皆さんにとって，ゴールではなくスタート　です。合格・不合格jにかかわらず，無駄にしてしまうかどうかは皆さんの今後次第なのです。

　胸をはって，前を見据えて一歩ずつ前進しよう！

2013年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その７

　時間があるときに，できる限り更新していこうと思います。今晩はＷＢＣの試合をＴＶ観戦する人も多いでしょうから，いまのうちにｗ

　第７弾は，千葉大学（前期）大問２です。

a，bを100以下の正の整数とする。２つの分数a/27，31/bがどちらも既約分数であり，かつ，和a/27 ＋ 31/bが整数であるとする。このような(a，b)の組をすべて求めよ。

中学生でも充分手を出せる問題です。整数問題としては標準的なレベルですから，数え漏れのないよう処理したいところです。

a/27 ＋ 31/b＝(ab＋27×31)/27b　・・・①

①が整数であるとき，必ず分子は27bの倍数。ここで分子に注目すると，aは27の倍数ではないから，bが27の倍数であれば(b＝27k：kは自然数）

ab＋27×31＝27ak＋27×31＝27(ak＋31)

と，分子が27の倍数となる。

これを用いて，①を　27(ak＋31)/27b＝(ak＋31)/b＝(ak＋31)/27k・・・②

と変形して，②が整数となる場合を考えればよい。次に，

1≦b≦100より，1≦27k≦100　　∴k＝1，2，3

がわかるから，②にkの値を順に代入して考える。

【１】k＝1を②に代入すると，分母が27であるから，分子＝a＋31　が27の倍数。これを満たすaの値は，a＝23，50，77（このとき，b＝27)

【２】k＝2を②に代入すると，分母が54であるから，分子＝2a＋31　が54の倍数。ところが2a＋31は奇数であるから，2の倍数になることはない（よって，54の倍数にもならない）

【３】k＝3を②に代入すると，分母が81であるから，分子＝3a＋31　が81の倍数。ところが，3a＋31＝3(a＋10)＋1であるから，3の倍数になることはない（よって，81の倍数にもならない）

よって，求める(a，b)の組は，(a，b)＝(23，27)，(50，27)，(77，27)

整数問題は，中学・高校・大学いずれの入試にも登場するテーマです。算数・数学の学びなおしを考えている方のスタートとしても最適な題材です。

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2013年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その６

第６弾は，前回に引き続き関西学院大学（文系）　大問１（２）の確率です。（改・一部略）

前回同様，高校受験が終了した中学生向けの「高校準備講座」で扱うのに最適な題材です。

１から９までの番号が１つずつ書かれた９個の玉が袋に入っている。その中から同時に２個の玉を取り出す。このとき，

（１）取り出す２個の玉の組合せの総数を求めよ。

（２）取り出した２個の玉のうち番号が偶数である玉の個数をＸとするとき，Ｘ＝0，Ｘ＝1，Ｘ＝2となる確率をそれぞれ求めよ。

（１）では「組合せ」とハッキリ書いてありますので，「ＰとＣの区別がよくわからん」と嘆く人にも優しい問題となっていますｗ

（１）もちろん，9Ｃ2＝36(通り）

（２）【Ｘ＝0】　取り出した玉が２個とも奇数　5Ｃ2/36＝5/18

　　【Ｘ＝1】　奇数１個と偶数１個を取り出しているので，5Ｃ1×4Ｃ1/36＝5/9

　　【Ｘ＝２】　取り出した玉が２個とも偶数 4Ｃ2/36＝1/6

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2013年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その５

　第５弾は，関西学院大学（文系）の大問１（１）です。（改・一部略）

　高校受験を終えた中学生向けの「高校準備講座」あたりで扱うのがちょうどいい感じでしょうか。正弦・余弦定理を学ぼうとも「三平方の定理を使って気合と根性で解く」姿勢を忘れないでほしいものです。

　半径ルート２の円に内接する△ＡＢＣについて，ＡＣ＝２，ＢＣ＝ルート６とし，∠Ａ＞90°とする。

（１）∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣの大きさを求めよ。

（２）ＡＢの長さを求めよ。

（３）△ＡＢＣの面積を求めよ。

それでは（１）からサクサク解いていきます。

（１）△ＡＢＣの外接円の中心をＯとすると，ＯＡ＝ＯＣ＝ルート2，ＡＣ＝２より，△ＯＡＣは直角二等辺三角形。よって，∠ＡＯＣ＝90°，∠ＡＢＣ＝1/2∠ＡＯＣ＝45°

　次に，ＣからＡＢに下ろした垂線の足をＨとおくと，∠Ａ＞90°であることよりＨはＢＡの延長線上にくる。∠ＨＢＣ＝45°，∠ＢＨＣ＝90°より，△ＢＨＣは直角二等辺三角形となるので，ＢＨ＝ＨＣ＝ＢＣ×1/ルート2＝ルート３　ここで直角三角形ＡＨＣに注目すると，ＡＣ＝2，ＨＣ＝ルート3より，この直角三角形が30°，60°の三角定規形とわかり，∠ＨＡＣ＝60°より，∠ＢＡＣ＝180°－60°＝120°

（２）　（１）より，ＢＨ＝ＨＣ＝ルート３，ＡＨ＝ＡＣ×１/２＝1であるから，

ＡＢ＝ルート3－1

（３）　求める面積＝ＡＢ×ＣＨ×1/2

＝ルート3×(ルート3－1)×1/2＝(3－ルート3)/2

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