2013年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その1
今年もこの季節がやってまいりましたｗ
自分自身のデータベースとして，あるいは難関高校志望の中学生や私立中学生を指導されている皆様のネタとして，このシリーズが機能することを願っています。
今年度の第１弾は，立命館大学（薬学部）大問１（１）です。
四角形ＡＢＣＤにおいて，ＡＢ＝5，ＢＣ＝3ルート2，∠ＡＢＣ＝45°，∠ＤＡＢ＝∠ＢＣＤ＝90°であるとき，
対角線ＡＣの長さを求めよ。
対角線ＢＤの長さを求めよ。
という問題。中学生にとって慣れないのは「図がない」という１点だけ。図を描く時間も含めて３分以内で解ききればＯＫでしょう。
では，中学生仕様の解説です。
（対角線ＡＣ）
ＣからＡＢに下ろした垂線の足をＨとおくと，△ＣＨＢは直角二等辺三角形であるから，ＢＣ＝3ルート2を用いて，ＣＨ＝ＨＢ＝3 よって，ＡＨ＝2
ここで，△ＡＨＣに三平方の定理を用いて，ＡＣ^2＝2＾2＋3＾2
∴ＡＣ＝ルート13
（対角線ＢＤ）
∠ＤＡＢ＝∠ＢＣＤ＝90°より，ＢＤは四角形ＡＢＣＤの外接円の直径。外接円の中心をＯとおくと，∠ＡＢＣ＝45°であるから，∠ＡＯＣ＝90°ＡＯ＝Ｒ（半径）とおくと，ＡＯ：ＡＣ＝1：ルート2より，
Ｒ＝ルート13/ルート2＝ルート26/2
∴ＢＤ＝２Ｒ＝ルート26
余弦定理，正弦定理無しで解ききれてしまいますので中学生にもお勧めです。
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