立方体の切り口は、なかなか小学生には難しいようだ。とうふを切って考えなさいといった先生もいるが、これではとうふがいくらあっても足りない。
そこで今回は私が考案した立方体のあらゆる場合の切り口を実際に見て考えることができる方法を紹介しよう。まず写真のようにゾムツールで立方体の枠をつくる。
*ゾムツールの購入方法等は「ＵＢＱ ゾムツール」でご検索下さい。
これをお風呂でも良いし、大きななべでもよいのであるが、水をみたし水面につけるのである。
水面にできた形が切り口である。
写真ではお分かりにくくて申し訳ないのであるが、是非ご家庭で試していただきたい。この方法であらゆる切り口や切り口の変化の様子が観察できる。
また立方体に限らない。正八面体などの他の立体もこの方法で切り口を観察できる。
以下のように、ゾムツールで立方体を作る。
正六角形
平行四辺形
三角形
＊写真ではわかりづらくて申し訳ありません。
立方体の切り口にＵＢＱがこだわるのは、中学受験に頻出のテーマであるだけでなく、中学入学以後大学受験にいたるまで、空間図形の感覚を磨くために重要だからである。
それだけでない。
立方体の切り口を素材にした問題は、大学入試にも現実に出題されているのである。
具体的な例を挙げる。
上は、お茶の水女子大、下は、鳴門教育大の問題で、立方体の切り口を考える問題と、その切り口が六角形になる条件を求める問題である。
京都大学でも出題されたことがある。
立方体を対角線に垂直な平面で切った切り口の面積の最大値を求める問題である。
（変分法の理論に従えば、円に近い形になる場合であるから、正六角形と直観的に予想できる）
東京工業大学でも、１９９３年に次のような問題が出題された。
一辺の長さが１の立方体を、中心を通る対角線のうちの一本を軸として回転させたとき、この立方体が通過する部分の体積を求めよ。
上の京都大学の問題で考えた、切り口が回転してできる円の面積を積分すればよい（以下の写真参照）。
立方体の切り口を苦手にしている小学生は多いようだ。
この原因は教える側にもある。
（ＵＢＱの授業から）
これから立方体の切り口を描くという問題を１０問、といてもらいます。プリントの立方体を指定された３点をとおる平面で斬ったときの切り口を描いてください。
（答え合わせをした後で）
１０問すべて合った人は１００点です。全部違った人は０点です。それ以外の人が一番間違った勉強をしていますからマイナス５０点とします。なぜなら、立方体の切り口は原理に従って描くものです。原理を理解すれば５０問だろうが１００問だろうが全て正解するはずです。
いくつかはできるが，いくつかは間違うというのは、
切り口を記憶に頼って描いているからです。
一つ一つの切り口を覚えてはいけません。原理の方を理解してください。
では原理の方を説明しますから、私が黒板にどちらから、どのように線を引いたか注意してください、最後に出来上がった図だけを写さないようにしてください・・・・・・・・・
立方体の切り口は面が6つなので、三角形、四角形、五角形及び六角形の四種類に限られる。
以下、その様子である。
三角形の場合
四角形の場合
五角形の場合(向かい合う面にできる切り口は必ず平行になるので正五角形はできない）
平行四辺形の一部を切り落とした形になっていることに注意！
六角形の場合（これも平行四辺形を切り落とした形になっている）
上下に無限に長い四角柱（底面が正方形とする）を考えれば、切り口は一般に平行四辺形になる。
立方体はこの四角柱を切り出したものだから、
立方体の切り口は平行四辺形をベースに考えればよい。
立方体の切断面で正六角形ができる場合は、中学受験の必須である。
これは、切断面がわかるように透明な立方体に液体を入れていろいろな切り口が見える様子である。
下の写真は、実際に正六角形のできる様子を示したものである。
ここで、正六角形ができている場合は、全体の立方体の半分の立体ができていることに注意してほしい。
例えば、下の写真のように正六角形ができている立体を考えてみよう。
これを２つ使うと、ぴったりはまるのが下の写真である。
保護者・指導者の方に
小学生なら同じ形ができるから半分ですよねと説明してかまわないであろう。
しかし、さらに高度な理解では、立方体は対角線の交点に関して点対称な図形であるから、対角線の交点を通る平面で切断すれば常に立方体の体積は二等分されるという一般論の指導も重要であろう。
2014年オリジナル
右は１９８４年、左は２００３年初版の参考書
右は１９８４年初版の地学、左は２００３年初版の微分積分の参考書である。
（*左の参考書は版元・著者名が見えなくしております）
昔に比べ、昨今の参考書は、表紙も明るいデザインである。表題も生徒の受けがいかにもよさそうな表現である。そればかりか、本文は一見、とてもやさしい語り口で、読みやすく書かれている。
しかもこの２冊、本の厚さも・・・
御覧のとおり、それほど差はない。
しかし、これらの総ページ数を見てみると・・・
下が地学、上が微分積分の参考書
前者が３６８ページ、ところが、後者は２２２ページしかなく、４割程度、中身が少ないのである
それはなぜか。後者の参考書は、厚い紙を使用しているからだ。
この微分積分の参考書を２０年前の参考書のスタイルで製本すれば、これだけの厚さにはならない。
薄い参考書では、生徒たちが｢勉強した気｣にさせられないからだ。
厚い参考書を制覇すれば、いかにも｢勉強した気｣になれる。
この手法は、何も参考書の出版だけの話にとどまらない。
学習塾の一部には、手続き的な知識・作業でこなせる問題を多量に宿題として出すところがある。
保護者から見れば子供が机に座ってひたすら問題を解いておれば安心するという心理を利用してのことだ。
ネパールで発行されている地図
完全に、北方領土は日本の領土。樺太も択捉も日本の領土。赤い線で切られてるところが国境線。
イスラエルの首都ってどこ？
