一辺が１の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨを対角線ＥＣを軸に回転しでできる立体の体積を求めよ。というのは有名問題で東京工業大学等で出題されている。概形を求めるのは灘中学でも出ている。
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これを煩瑣な積分計算を使わないでカバリエリの原理と中学生の知識で求めてみよう。大筋だけを述べるので後は各自で研究されたい。
概形は次のようになる。わかりやすいように誇張している。あくまでもイメージの図である。
次に、これを４つの部分に分ける。
１．円すいの２つ分・・・・中学範囲でＯＫ
２．下図の赤で示した円柱・・・・中学範囲でＯＫ
３．最後に残った「円柱の外側にあって回転一葉双曲面の内側にある部分」は回転軸に対してねじれの位置にある線分（ＡＤなど）が回転した部分だから以前、紹介した手法 （←クリック）を用いれば良い。（東京大学受験必須テクニック）
対角線上に見て、できる正六角形を考える。
図のルート６分の1と高さ3分のルート３だけから求められる。
円すいの体積に等積変形：
底面積（１／６π）×高さ（３分のルート３）×１／３
なお、ねじれの位置にある線分の回転については、下の京都大学２００２年後期の出題を参考されたい。この問題は文系で出題されている。京都大学を受験しようとする生徒には文系でも数Ⅲは押さえておきたいものだ。
できる子を私のレベルの講師が教えるというのは恐ろしいもで・・灘中学の中2
に、すべて準備授業をして「必要な知識はすべて教えた。後は自力で解いてください」というと完璧な解答でした。