前回は正12面体の2つ離れた点(面の対角線)の合成抵抗を求めました(9/10)。
今回は3つ離れた点の合成抵抗を求めていきます(16/15)。
◯O(1)から流れる電流の和は、
(O-A)+(O-B)+(O-C)
=3-A-B-C…(0)
です。
◯A(1,3)についての式は、
3A=O+D+E=D+3/2
D=3A-3/2…(1)
◯B(1,2)についての式は、
3B=O+F+G=1+(1-B)+1/2
4B=5/2
B=5/8…(2)
B(1,2)の値がいきなり求まりました。
◯C(1,4)についての式は、
3C=O+H+I
3C=H+I+1…(3)
◯D(2,4)についての式は、
3D=A+I+G'
3D=A+I+1/2…(4)
◯H(2,3)についての式は、
3H=C+G+E'=C+1/2+1/2
C=3H-1…(5)
◯I(2,5)についての式は、
3I=C+D+F'…(6)
◯F'(3,4)についての式は、
3F'=I+E'+B'=I+1/2+(1-F')
I=4F'-3/2…(7)
A(1,3),C(1,4),D(2,4),H(2,3),I(2,5),F'(3,4)の6文字についての式が、
式(1)、式(3)~(7)の6本立ちました。
なお、唯一値が求まった
B(1,2)=5/8…(2)
は他の式には一切出てきません。
◯式(1),(7)を式(4)に代入すると、
3D=A+I+1/2
3×(3A-3/2)=A+(4F'-3/2)+1/2
8A-4F'=7/2
F'=2A-7/8…(8)
◯式(5),(7)を式(3)に代入すると、
3C=H+I+1
3×(3H-1)=H+(4F'-3/2)+1
8H-4F'=5/2
H=(1/2)×F'+5/16…(9)
◯式(8)を式(9)に代入すると、
H=(1/2)×F'+5/16
H=(1/2)×(2A-7/8)+5/16
H=A-1/8 …(10)
◯式(1),(5),(7)を式(6)に代入すると、
3I=C+D+F'
3×(4F'-3/2)=(3H-1)+(3A-3/2)+F'
11F'-3A-3H=2…(11)
◯式(8),(10)を式(11)に代入すると、
11F'-3A-3H=2
11×(2A-7/8)-3A-3×(A-1/8)=2
16A=45/4
A=45/64…(12)
◯式(12)を式(1)に代入すると、
D=3A-3/2
D=3×(45/64)-3/2=39/64…(13)
◯式(12)を式(8)に代入すると、
F'=2A-7/8
F'=2×(45/64)-7/8=17/32…(14)
◯式(14)を式(7)に代入すると、
I=4F'-3/2
I=4×(17/32)-3/2=5/8…(15)
◯式(12)を式(10)に代入すると、
H=A-1/8
H=(45/64)-1/8=37/64…(16)
◯式(16)を式(5)に代入すると、
C=3H-1
C=3×(37/64)-1=47/64…(17)
◯式(2),(12),(17)を式(0)に代入すると、電流の和は、
3-A-B-C
=3-(45/64)-(5/8)-(47/64)=15/16
で、合成抵抗は16/15になりました。
4つ離れた点の合成抵抗、17/15より若干小さくなっています。
◯各頂点の電位は、
・O(0,4)…1=64/64
・C(1,4)…47/64
・A(1,3)…45/64
・B(1,2)…5/8=40/64
・I(2,5)…5/8=40/64
・D(2,4)…39/64
・H(2,3)…37/64
・F'(3,4)…17/32=34/64
・E,G(2,2)、G',E'(3,3)…1/2=32/64
・B'(4,3)…15/32=30/64
・H'(3,2)…27/64
・A'(4,2)…25/64
・O'(5,2)…3/8=24/64
・F(2,1)…3/8=24/64
・D'(3,1)…19/64
・C'(4,1)…17/64
・I'(4,0)…0=0/64
◯B(1,2)とI(2,5)が5/8=40/64、
F(2,1)とO'(5,2)が3/8=24/64
で異なる距離の組み合わせの点が同じ電位になっています。
なお、これらの点同士は繋がっていません。
◯距離の比が同じB(1,2)…5/8=40/64とD(2,4)…39/64では、
前回と同様に、距離の遠いD(2,4)の方が1/2に近いです。
◯正12面体の合成抵抗は、
・1…19/30
・2…9/10=27/30
・3…16/15=32/30
・4…17/15=34/30
・5…7/6=35/30
で当然、遠くなる程大きくなりました。
正12面体
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