前回は正12面体の対蹠点同士の合成抵抗を求めた結果、7/6となりました。
今回は隣合う2点の合成抵抗を求めます(19/30)。
◯隣合う2点は図の中央付近のI'(1)とD'(0)を選びます。
◯I'(1),D'(0)からの距離は、
・O,B'(3,3)、B,O'(2,2)
…この4点は両点からの距離が等しいので電位は1/2です。
・A,G'(3,4)、C,F'(4,3)
・D(4,5)、I(5,4)
・E,H'(2,3)、H,E'(3,2)
・F,C'(1,2)、G,A'(2,1)
です。
◯I'(1)と辺で繋がっている頂点はF(1,2),D'(0),C'(1,2)の3点なので、
電流の和は、
(I'-F)+(I'-D')+(I'-C')=3-(F+0+F)
=3-2F…(0)
です。
◯A(3,4)についての式
3A=O+D+E=1/2+D+E
3A=D+E+1/2…(1)
◯D(4,5)についての式
3D=A+I+G'=A+(1-D)+A=2A-D+1
4D=2A+1…(2)
◯E(2,3)についての式
3E=A+F+H'=A+F+E
2E=A+F…(3)
◯F(1,2)についての式
3F=B+E+I'=(1/2)+E+1
E=3F-3/2…(4)
A(3,4),D(4,5),E(2,3),F(1,2)の4文字についての
(1)~(4)の4本の式が立ちました。
連立方程式を解きます。
◯式(4)を式(3)に代入
2E=A+F
2×(3F-3/2)=A+F
A=5F-3…(5)
◯式(5)を式(2)に代入
4D=2A+1
4D=2×(5F-3)+1=10F-5
D=(5/2)F-(5/4)…(6)
◯式(4),(5),(6)を式(1)に代入
3A=D+E+1/2
3×(5F-3)={(5/2)F-(5/4)}+{3F-3/2}+1/2
(19/2)F=27/4
F=27/38…(7)
◯式(7)を式(0)に代入すると、電流の和は、
3-2F
=3-2×(27/38)=30/19
◯よって合成抵抗は19/30になりました。
前回の対蹠点の値7/6=35/30より小さくなっています。
各頂点の電位を求めていきます。
◯式(7)を式(4)に代入
E=3F-3/2
E=3×(27/38)-3/2
E=12/19…(8)
◯式(7)を式(5)に代入
A=5F-3
A=5×(27/38)-3
A=21/38…(9)
◯式(7)を式(6)に代入
D=(5/2)F-(5/4)
D=(5/2)×(27/38)-5/4
D=10/19…(10)
よって、
・I'(0,1)…1=38/38
・F,C'(1,2)…27/38
・E,H'(2,3)…12/19=24/38
・A,G'(3,4)…21/38
・D(4,5)…10/19=20/38
・B,O'(2,2)…1/2=19/38
・O,B'(3,3)…1/2=19/38
・I(5,4)…9/19=18/38
・C,F'(4,3)…17/38
・H,E'(3,2)…7/19=14/38
・G,A'(2,1)…11/38
・D'(1,0)…0=0/38
になりました。距離の比の順になっています。
次回は4つ離れた点同士の合成抵抗を求めていきます(17/15)。
他の正多面体
