前回は隣合う2点(辺)の合成抵抗を求めた結果、19/30となりました。
今回は正12面体の4つ離れた2点の合成抵抗を求めていきます(17/15)。
◯4つ離れた2点をE(1),H(0)とします。
◯E(1),H(0)から各頂点への距離は、
・O,B(2,2)、B',O'(3,3)
この4点は、E(1)からの距離とH(0)からの距離が等しいので、電位は1/2です。
・A,F(1,3)、C,G(3,1)
・D,I'(2,3)、I,D'(3,2)
・G',C'(2,4)、F',A'(4,2)
・H'(1,5)、E'(5,1)
となります。
◯E(1)から流れる電流の和は、
(E-A)+(E-F)+(E-H')=(1-A)+(1-A)+(1-H')
=3-2A-H'…(0)
です。
◯A(1,3)についての式は、
3A=O+D+E=1/2+D+1=D+3/2
D=3A-3/2…(1)
◯D(2,3)についての式は、
3D=A+I+G'=A+(1-D)+G'
4D=A+G'+1…(2)
◯G'(2,4)についての式は、
3G'=D+H'+B'
3G'=D+H'+1/2…(3)
◯H'(1,5)についての式は、
3H'=E+G'+C'=1+G'+G'
3H'=2G'+1…(4)
A(1,3),D(2,3),G'(2,4),H'(1,5)
の4文字についての式が、(1)~(4)の4本立ちました。
連立方程式を解きます。
◯式(1)を式(2)に代入すると、
4D=A+G'+1
4×(3A-3/2)=A+G'+1
G'=11A-7…(5)
◯式(1),(5)を式(3)に代入すると、
3G'=D+H'+1/2
3×(11A-7)=(3A-3/2)+H'+1/2
H'=30A-20…(6)
◯式(5),(6)を式(4)に代入すると、
3H'=2G'+1
3×(30A-20)=2×(11A-7)+1
68A=47
A=47/68…(7)
◯式(7)を式(1)に代入すると、
D=3A-3/2
D=3×(47/68)-3/2
D=39/68…(8)
◯式(7)を式(5)に代入すると、
G'=11A-7
G'=11×(47/68)-7
G'=41/68…(9)
◯式(7)を式(6)に代入すると、
H'=30A-20
H'=30×(47/68)-20
H'=25/34…(10)
◯式(7),(10)を式(0)に代入すると、電流の和は、
3-2A-H'=3-2×(47/68)-25/34=15/17で、
合成抵抗は17/15です。
各頂点の電位は、
・E(0,4)…1=68/68
・H'(1,5)…25/34=50/68
・A,F(1,3)…47/68
・G',C'(2,4)…41/68
・D,I'(2,3)…39/68
・O,B(2,2)…1/2=34/68
・O',B'(3,3)…1/2=34/68
・I,D'(3,2)…29/68
・F',A'(4,2)…27/68
・C,G(3,1)…21/68
・E'(5,1)…9/34=18/68
・H(4,0)…0=0/68
となりました。前回(辺)と同じく、距離の比の順になっています。
次回は面の対角線(2つ離れた点)について求めていきます(9/10)。
等しい文字の組が減り、式と文字の数が増えて難しくなります。
他の正多面体
