Webで数学！フーリエ変換とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回はフーリエ変換とは？についてです。

前回、音波を数式に当てはめると、
三角関数になるとお話ししました。

三角関数とは、
三角形の角の大きさと辺の長さの関係を用いて
展開・拡張する手法のこと。
　・sin（正弦・sine）
　・sec（正割・secant）
　・tan（正接・tangent）
　・cos（余弦・cosine）
　・csc（余割・cosecant）
　・cot（余接・cotangent）
の６つがあります。

比較的わかりやすい理論なので、
さまざまな分野に応用されていますが、
音の合成や解析にも利用されているのです。

フーリエ変換には幾つかの利用法があるのですが、
今回は、
音の信号を波の成分に分解する方法としてご紹介します。

数式や理論などの難しいところはすべて省いて、
実際にわたしたちが音を認識する仕組みから
お話ししますね。

音が波として伝わる仕組みは、前回

①物体が振動すると
　　空気がおされてその部分の空気濃度が濃くなる。
　　　　　↓
②空気濃度が濃い部分は、さらに近くの空気を押し、
　　濃い部分は移動する。
　　　　　↓
③人間の耳に届き、音として認識する。

とお伝えしました。

ふつうに生活をしていると
私たちは「単音」のみを聴くということは
めったにありません。
健康診断で受ける聴覚の検査が
完全な密閉状態の室内での検査でない限り
１つの音だけという状況を作り出すことのほうが
難しいといえるでしょう。

通常は、
複数の高さ、大きさ、音色の違う音を
私たちは聞き分けています。

耳は聞こえてくる音の波を周波数ごとに分解して、
その振動の中に含まれる情報を
脳に伝達しています。

つまり、
音というデータの持つ情報を
人に伝わりやすい形に変換するということです。

フーリエ変換とは、
音の信号を波の成分に分解して、
わたしたちが理解できる形にしてくれる
とても便利な方式のことです。

毎日お世話になっている耳こそが、
その変換機器！
大切に使いたいものですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！音波と数学の関係

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は音波と数学の関係についてです。

前回、音楽と数学の関係の回で、
古代ギリシャの数学者：ピタゴラスが
「ドレミファソラシド」という音階を発案したと
お話ししました。

ピタゴラスは、
音に対してはじめて科学的なアプローチを試み、
弦を振動させたときの弦の長さで音程を決め、
「音程は数の比で表わされる」ことを発見した人物です。

今回は、その音の伝わる仕組みを通して、
数学とどのように関係しているのかを探ってみたいと思います。

ピタゴラスは弦を振動させて音を研究しましたね。
音は、この弦のような物体の振動が
空気中を伝わってきたものです。

ではそのとき、
空気中ではどのようなことが起きているのでしょうか？

①物体が振動すると
　　空気がおされてその部分の空気濃度が濃くなります。
　　　　　↓
②空気濃度が濃い部分は、さらに近くの空気を押し、
　　濃い部分は移動していきます。
　　　　　↓
③そして、人間の耳に届き、
　　わたしたちはそれを音として認識します。
　　　　　↓
④音は波として伝わります。（音波）

まとめると、
　●　音は振動している物体から生じる。

　●　空気を媒介して伝わる。（真空空間は除く）
　　　　※個体や液体を媒介しても伝わる。
です。

私たちの耳に聞こえる音の周波数帯は、
約２０Hz～２００００Hzだといわれています。
年齢とともに幅が小さくなり、
聞こえる音の周波数帯が狭くなるということです。

モスキート音（蚊の羽音）は
年齢が高くなると聞こえない音であると
報道されていました。
そのモスキート音の周波数は１７０００Hz前後の高周波、
30歳を超えると聞こえにくくなるといいます。


これらの特徴を持つ音波を数式に当てはめると、
三角関数で表すことができます。

正弦波という波の形の基本形が、
純音を出すという研究があります。

次回はこの辺りを深めていきましょう。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！四色定理とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は四色定理とは？についてです。

中学校の社会科の時間に白地図を使いましたね。
今回は地図に色を塗るというお話です。

ちょっと数学とは無関係のようですが、
最後までお付き合いください。

日本の都道府県は全部で４７ありますね。
この４７都道府県を隣り合う部分が同じ色に
ならないように塗り分けをするとき、
何色が必要になるか？
というのが問題です。

答えは４色。


では、アメリカ合衆国の州の数：５０州ではどうでしょう？

こちらも答えは４色です。


ではでは、世界地図で２００ヶ国を塗り分ける場合は？

はい、答えは４色なんです。


一見単純なことのようにも思いますが、
この「四色定理」は長い間、証明されないまま
難問として知られていました。

１９７６年に二人の数学者、
ケネス・アッペルとヴォルフガング・ハーケンに
よって証明されるまでは、
「地図を塗り分けるのは５色」だとされてきました。

ようやく４色問題が証明されたのですが、
数学界は二人の証明に冷ややかでした。

なぜなら、
彼らはコンピュータを使ってこの定理を解決したから。。。

１９７６年といえば、
スティーブ・ジョブスがアップルというマイコンを
発売した年です。

当時のコンピュータは当然、
今のような誰でもが使いこなせるようなマシンではなく、
専門知識を持つ特定の人だけが利用できるものでした。

そんな時代背景の中でも
「証明は人の手で！」という雰囲気が
数学界にはまだ、色濃く残っていたのでしょうね。

なにはともあれ、
今はこの「四色定理」の証明は確実なものとなり、
異論を申し立てる人はいないとそうですが。。。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！アレフゼロとは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回はアレフゼロとは？についてです。

前回までは、
量子力学や宇宙の数学という
とてもスケールの大きなお話しをしてきました。

今回からは「Webで数学！」の初心に戻って、
自然数の性質について、
もう一度見ていきたいと思います。

自然数は１から始まって、
順に１を足していくことで
２になり、
３になり、
次の数字をつくることができ、
そして、それは終わりなく続くのでした。

自然数には必ず次の数があって、
終わりの数はありません。
それは、無限∞の記号で表わされ、
自然数の無限のことを「アレフゼロ」と表わすのでしたね。

では、１より小さい数についてはどうでしょうか？

はじめに
１より小さい数を分数の形で表わしてみましょう！

　 １　　１　　 １　　 １　　 １　　 １　　 １　　 １　
　１０　１０²　１０³　１０⁴　１０⁵　１０⁶　１０⁷　１０⁸
・・・・・
と続きます。

つぎにこれを小数の形にしてみます。

　0.1　0.01　0.001　0.0001　0.00001　0.000001
　0.0000001　0.00000001・・・・・
となり、
０(ゼロ)はいつまでも続きます。

１を１０で割るという単純な計算ですが、
この計算にも終わりがありません。
そして、
この計算の答えはどんどん０(ゼロ)に近づいていきますが、
０(ゼロ)になることはありません。

このように無限とは、
大きい方向へも
小さい方向へも
向かっているのですね。

宇宙もまた無限の広がり。
数は私たちに何を教えてくれているのでしょうね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！超ひも理論とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は超ひも理論とは？についてです。

超ひも理論は、物理学の仮設の一つで、
万物の根源である素粒子は粒状ではなく
ひも状になっているというものです。

前回、量子力学の回では、
プラトンが著書「ティマイオス」のなかで、
宇宙を構成する元素に正多面体を割り当てていると
お話ししました。
つまり、素粒子は粒状であると考えられていました。

1960年代、
ノーベル物理学賞を受賞した南部陽一郎さんなど
数名の科学者がこの超ひも理論を発見しました。

超ひも理論は超弦理論と呼ばれ、
アインシュタインの相対性理論と
現代物理学のベースとなる量子力学とを
統合させる理論として、
ビッグバンやブラックホールの謎の解明やなどに
応用され、研究が進んでいます。

素人考えですが、
弦が振動することによって周りに情報が
伝わるのであれば、情報の伝達が速いイメージになりますね。

そして、
ユークリッドの「原論」第1巻冒頭部分の
「点は部分を持たない」
という主張からもまた、
超ひも理論は
代数と幾何を結び付けています。

やはり２１世紀は
問題解明の世紀となりそうな予感で充ちています。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。