Webで数学！中国の算法：百鶏算

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
中国の算法：百鶏算についてです。

百鶏算は、
中国の算数本「算経」に掲載されていた算法で、
その起源は3世紀とも6世紀とも言われていますが、
詳しいことはわかっていません。
中国の数学者：張邱健の「算経」は、
6世紀前半に出版されたあと、
中国からインドを通ってヨーロッパに伝わったと
言われていますので、
長い歴史を経て語り継がれてきた算術だといえますね。

さて、
この百鶏算、
現在の数学では不定方程式と呼ばれています。

不定方程式は、
方程式の数よりも変数のほうが多い難解な問題で、
数学オリンピックの頻出問題としても知られています。

では早速、問題をみてみましょう。

雄鶏は１羽：５銭、
雌鶏は１羽：３銭、
雛鶏は３羽：１銭です。
今、１００銭で１００羽の鶏を飼うとします。
できるだけ多くの雄鶏を買いたいとき、
雄鶏、雌鶏、雛鶏をそれぞれ何羽ずづ買えばよいでしょうか？


答えは次のようになります。

雄鶏をA羽、
雌鶏をB羽として考えてみます。

雛鶏Cは　１００－（　A　+　B　）羽ですが、
これは３の倍数になります。

　５×A　＋　３×B　＋（１００－AーB）/ ３　＝１００
　 雄鶏　　　  雌鶏　　　　　　雛鶏
　　
という式が成り立ち
整理していくと、

　７×A　＋　４×B　=　１００

　７×A　＝　４×（２５－B）

この式からAは４の倍数だとわかります。

　A　＝　４ｎ

と式を置いて整理してみましょう。

　B　=　２５－７ｎ

　C　=　３ｎ＋７５

となり、

　B　=　２５－７ｎ　≧　０　が成立するのは

　ｎ　≦　３　つまり
　ｎが０，１，２，３のいずれかであるとわかりますね。

　A　＝　４ｎ　が最大になるのは
　ｎ＝３なので、

　A　＝　４×３　　　　＝　１２

　B　=　２５－７×３　＝　４

　C　=　３×３＋７５　＝　８４

が算出され、
　
　雄鶏は１２羽：　６０銭、
　雌鶏は　４羽：　１２銭、
　雛鶏は８４羽：　２８銭　
　　　１００羽：１００銭
　
だとわかります。

与えられた条件を整理して式にしていくと
解決案が見つかっていく感じです。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！和算：鶴亀算の応用編

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
和算：鶴亀算の応用編についてです。

鶴亀算は、
以前にもご紹介しましたが、
中国の算数本「孫子算経」が日本に伝わり、
キジとウサギがツルとカメに置き変わって、
語り継がれてきた算術です。

川などの流れのある場所を上り下りする場合の
時間・距離・速度を求めるときに使います。

基本的な問題は、
頭の総数と足の総数から
ツルとカメの数を算出するものです。

今回は、鶴亀算の応用です。

問題。

中学校の修学旅行で遊園地に来た
７５人の生徒たちが、
池のボートに乗ろうとしています。
この池には2人乗りのボートと
　　　　　5人乗りのボートがあります。
全部で20艘のボートに生徒全員が分かれて乗るとき、
5人乗りのボートは何艘必要になるでしょう？


答え。

鶴亀算の応用なので、
「全部が2人乗りのボートに乗ったとき」
を基準に考えてみましょう。

　2人　×　20艘　＝　40人
となり、40人しか乗ることができませんね。

　75人　－　40人　＝　35人

まだ、35人が乗れないわけです。

5人乗りは1艘あたり
これに3人分の座席を追加すると考えると

　5人　－　2人　＝　3人

となり、

　（75人　－　40人）　÷　3　＝　11・・・2

なのですが、
余り2人が出ていますのでプラス1隻となり、

　11艘　＋　1艘　＝　12艘

12艘の5人乗りボートが必要だとわかります。

生徒のみなさん、
秋の修学旅行の1日を
ボート遊びで楽しんでくださいね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！和算：流水算とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
和算：流水算とは？です。

流水算とは、
以前にご紹介した通過算の一種で、
中学受験、
就職SPIテストにも登場する算法です。

川などの流れのある場所を上り下りする場合の
時間・距離・速度を求めるときに使います。


では、問題例です。

２４Kmの川を上るのに６時間かかり、
　　　　　  　下るのに４時間かかる船があります。
さて、
この川の流れの速さは時速何キロで、
船の速さは時速何キロでしょう？


答えは、

２４Kmの川を上るのに６時間かかるので、

　船の速さー川の流れの速さ＝２４Km÷６時間＝４Km/h

　　　　　  　下るのに４時間かかるので、

　船の速さ＋川の流れの速さ＝２４Km÷４時間＝６Km/h

　川の流れの速さ＝（下りの速さ＋上りの速さ）÷２
　なので、
　川の流れの速さ＝（６Km/h＋４Km/h）÷２
　　　　　　　　＝１Km/h
　となり、
　船の速さ＝６Km/hー１Km/h
　　　　　＝５Km/h

　この川の流れの速さは時速１キロ、
　船の速さは時速５キロでした。

今日も頭の体操になったでしょうか？

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！和算：年齢算とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
和算：年齢算とは？です。

年齢算は、
以前にお伝えした鶴亀算や通過算などの和算と同じく
小学校算数だけでなく、
中学校受験、
就職SPIテストにも採用されている、
算法の一つです。

年齢差は、
年を経ても変わらないことを利用して
親子の年齢計算を解く問題として出題されます。

では、問題例です。

小学校4年生のリク君は10歳になりました。
そして、リク君のお父さんは40歳で、
リク君の4倍になっています。
では、
リク君がお父さんの年齢が3倍になるのは
今から何年後でしょう？

答え。。。

「二人の年齢差は常に一定」
という性質が年齢算を解くポイントです。

リク君とお父さんの年齢差は、
いつまで経っても30歳ですね。

お父さんがリク君の3倍になる、
ということは年齢差30歳が、
リク君の年齢の2倍になるということです。

ですから、
リク君が15才になったときに
リク君とお父さんの年齢は3倍になります。

今リク君は10歳なので、

　15歳　ー　10歳　＝　５年

となり、
5年後にリク君がお父さんの年齢が3倍になります。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！素因数分解で年齢がわかる？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
素因数分解で年齢がわかる？についてです。

素因数分解については、
以前にもお伝えしましたが、
ちょっとおさらいです。

まず、
素数とは、
１と自分自身以外には約数を持たない数のことでした。
また、素数でない数のことは合成数と呼ぶのでした。
そして、
素因数分解は、
与えられた数を素数の積に分解することでしたね。

エラトステネスのふるいを使うと、
簡単に素因数分解できることもお話ししました。

ちなみに、
２から１０までの自然数を素因数分解すると、
　　　２＝２，
　　　３＝３，
　　　４＝２^２，
　　　５＝５，
　　　６＝２×３，
　　　７＝７，
　　　８＝２³，
　　　９＝３^２，
　　１０＝２×５
となります。


ではここで問題です。

数秘学を学ぶ友人のなおこさんが言いました。
「きょうは私の誕生日！
　年の初めの1月1日から今日が何日目かという数字と
　私の歳をかけ合わせると１１１１１という
　エンジェルナンバーになるのよ！」
さて、
なおこさんは何歳で、
誕生日は何月何日でしょうか？
　※うるう歳ではないとします。

答えを導くのは素因数分解でしたね。
１１１１１を素因数分解すると、

　１１１１１　＝　４１　×　２７１

となり、
　年齢が４１歳
だと算出されました。

２７１日目の割り出し方は、
月ごとの日数を足していくことで求められます。

各月の月末の通算日数は次の通りです。
　 １月：31日 　　31日
　 ２月：28日 　　59日
　 ３月：31日　　 90日
　 ４月：30日　  120日
　 ５月：31日 　 151日
　 ６月：30日　  181日
　 ７月：31日　  212日
　 ８月：31日　  243日
　 ９月：30日　  273日
　10月：31日　  304日
　11月：30日　  334日
　12月：31日　  365日

8月31日が243日目ですから、
271日目　－　243日目　＝　２８日
で、
誕生日は９月２８日
だとわかります。

すっきりしたところで
「なおこさん、お誕生日おめでとう！」

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。