Webで数学！和算：虫食い算の応用編

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
和算：虫食い算の応用編です。

虫食い算は、
いくつかの数字が伏せられて与えられた計算式で、
筆算の形をとるのだと前回お伝えしました。

こんなイメージでしたね。

では今回は、
これを少し発展させた問題を解いてみましょう。


問題。。。

かけ算の筆算で、
A、B、C、Dはすべて異なる数字になります。
さあ！A、B、C、Dはどんな数字になるでしょう？

　　      A B C A B 
　　　　　　      ９　
　×）D D D D D D


答え。。。

かけ算した結果：DDDDDDは、
ある数：ABCABの9倍になるということ。

９の倍数は、
各桁の数字の和が９で割り切れる・・・

ということを利用すると、
D＋D＋D＋D＋D＋Dは９で割り切れることになります。

９で割り切れるということは、
３でも割り切れるということです。

なので、
Dの数になるのは、
　３
　６
　９
だとわかります。

１の位
　９をかけてD:３になるのは、
　　B:７（９×７＝６３）

　９をかけてD:６になるのは、
　　B:４（９×４＝３６）

　９をかけてD:９になるのは、
　　B:１（９×１＝９）

１０の位
　９をかけて6を足してD:３になるのは、
　　A:３（９×３＋６＝３３）

　９をかけて３を足してD:６になるのは、
　　A:７（９×７＋３＝６６）

　９をかけてD:９になるのは、
　　A:１（９×１＝９）
　　　D:９だとA:１、B:１になり、
　　　A、B、C、Dはすべて異なる数字という条件に
　　　当てはまりません。
　　　したがって、D:９ではないとわかります。

１００の位
　９をかけて３を足してD:３になるのは、
　　C:０（９×０＋３＝３）

　９をかけて３を足してD:６になるのは、
　　C:０（９×０＋６＝６）

D:３の場合
          　　A　 B　 C　 A　 B　
　　       　３　７　０　３　７
　　　　       　　　　　　　９　
　×） D    D    D    D    D    D
          3    ３　３　３　３　３


D:６の場合
          　　A　 B　 C　 A　 B　
　　       　７　４　０　７　４
　　　　       　　　　　　　９　
　×） D    D    D    D    D    D
         ６    ６　６　６　６　６

となります。


これは、中学受験によく出る問題だそうで
日本の小学生の算数力は大したものですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！マザーグースの数学

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
マザーグースの数学についてです。

この問題は、
紀元前１８００年ごろにエジプトのパピルスに
書かれていた世界最古の数学パズルで、
13世紀初めのピサの算術書や
18世紀イギリスの童謡集：マザーグースにも
掲載されている算術です。

パピルスに書かれていた問題は、次のとおりです。

７軒の家で
７匹ずつネコを飼っています。
ネコ１匹で、７匹のネズミを捕り、
ネズミは、ムギの穂を７本ずつ食べます。
ムギの穂からは、７ますずつのムギが採れます。
さて、これらの数を合わせるといくつになるでしょう？

さて、
では計算してみましょう。

式は、

　　　７＋７^２＋７^３＋７^４＋７^５

となり答えは、

　＝　１９６０７

です。


さて、
では、マザーグースの方の問題も見てみましょう。

セント・アイブスへの道すがら、
７人の妻を連れた男に出会った。
どの妻も袋を７つ持ち、
どの袋にもネコが７匹、
どのネコにも子ネコが７匹。
　子ネコと
　ネコと
　袋と
　妻、
セント・アイブスへ向かうのは
合わせていくらかな？

ではこちらも計算してみましょう。

式は、

　　　７＋７^２＋７^３＋７^４

答えは、

　＝　２８００

ですね。


類似問題は１２０２年、
レオナルド・フィボナッチが書いた「算板の書」にも
出ています。

こちらの式は、

　　　７＋７^２＋７^３＋７^４＋７^５＋７^６

で答えは、

　＝　１３７２５６

になります。


日本にも「からす算」という類似問題がありますが、
こちらはまた、後日お話ししますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！和算：油分け算

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
和算：油分け算についてです。

油分け算は、
江戸時代の算術書：塵劫記（じんこうき）に
掲載されている算術です。

塵劫記は江戸時代、
数学書のロングセラーとなった書物ですが、
著者の吉田光由は、
中国の数学書：算法統宗を研究して、
それをもとに塵劫記を出版したといわれています。

塵劫記には挿絵が多く採用されており、
掛け算の九九のような基礎から、
円の面積の求め方や魔方陣などの応用まで、
学習しやすい内容になっていたといいます。

さて油分け算ですが、
油などの液体を与えられた容器を使って、
ある一定の分量に分けるといった問題です。

では問題です。

１２リットル、
　９リットル、
　７リットルの容器があります。
そのうち１２リットルの容器にだけ、
油が満タンに入っています。
その油を１リットルだけ容器に移してください。

？？？なんだかちょっと難しそうですね。

解法の手順は次の通りです。
3種類の容器（A・B・C）があって、
容量がA＞B＞Cの場合。。。

　①　Bが空ならば、Aの油をBにそそぐ。

　②　Bに油が入っていたときは、　
　　　　a.　Cが一杯でなければ、Bの油をCにそそぐ。
　　　　b.　Cが一杯なら、それをAにあけてから、
　　　　　　a.を行う。

の①と②を繰り返します。

答えは次のようになります

　　回数　　１２リットル　９リットル　７リットル
　　　　　　　　　A　　　　　 B　　　　　 C
　　　１　　　　１２　　　　　０　　　　　０
　　　２　　　　　３　　　　　９　　　　　０
　　　３　　　　　３　　　　　２　　　　　７
　　　４　　　　１０　　　　　０　　　　　２　
　　　５　　　　　１　　　　　９　　　　　２

５回目でA：１２リットルの容器の油が
１リットルになりましたね。

今度は、
塵劫記の問題を解いてみましょう。

斗桶に油が１斗（１０升）あります。
これを二等分したいのですが、
升は７升と３升しかありません。
７升と３升を使って、
５升ずつにしてみてください。

答えは次のようになります。

　　回数　　１斗（１０升）　７升　　　　３升
　　　　　　　　　A　　　　　 B　　　　　 C
　　　１　　　　１０　　　　　０　　　　　０
　　　２　　　　　１　　　　　７　　　　　２
　　　３　　　　　８　　　　　２　　　　　０
　　　４　　　　　５　　　　　２　　　　　３　
　　　５　　　　　５　　　　　５　　　　　０

　①　１斗（１０升）から、
　　　３升ますで3回、７升ますへ入れる。

　②　３回目は３升ますに２升残ります。

　③　７升ますの油を１斗（１０升）に戻す。

　④　３升ますに残った２升を７升ますへ入れる。

　⑤　もう一度、１斗（１０升）から、
　　　３升ますに油を入れます。
　　　これを７升ますに加えると、
　　　１斗（１０升）と７升ますに５升ずつとなり、
　　　めでたく二等分できました。

今日も頭の体操になりましたか？

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！数のマジック：魔法三角形

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
数のマジック：魔法三角形についてです。

魔法三角形は、
三角魔方陣とも呼ばれていて、
魔方陣と同じように、
三角形に数字を配置して、
どの辺の和も同じ数になるよう
配置する数のパズルです。

正方形の魔方陣よりは、
少し難しく感じるかもしれません。

次のような形をイメージしてください。

このなかに、
１から９までの数字を当てはめてみましょう。

配置する条件は、
　・１から９までの数字をすべて使用する
　・１から９までの数字を２回以上使ってはならない
　・どの辺の和も同じ数にする
です。

どうでしょう？

答えは次のようになります

　　　　　　　１

　　　　　３　　　６

　　　７　　　　　　　８

　９　　　４　　　２　　　５


ちょっと見にくいかもしれませんが、
ご容赦ください。

　１＋３＋７＋９＝２０
　１＋６＋８＋５＝２０
　９＋４＋２＋５＝２０

と、
辺の和がすべて同じ数：２０になっていますね。

このうち辺の内側の数は入れ替え可能です。
例えば、
　３と７　→　７と３
　６と８　→　８と６
　４と２　→　２と４
の順番でもOKです。


さて、ではこれを応用してみましょう！

次の図をイメージしてみてください。

各辺の真ん中の数を「５１」「４３」「６４」としたとき、
頂点に当たる個所の数はどんな数字になるでしょうか？

しかし、こちらは魔法三角形ではありませんので、
配置する条件、
　・１から９までの数字をすべて使用する
　・１から９までの数字を２回以上使ってはならない
　・どの辺の和も同じ数にする
は当てはまりませんよ。


　　　　　　　　（　A　）

　　　　５１　　　　　　　　　４３

　（　B　）　　　　６４　　　　（　C　）

こんな感じです。


　５１＋４３－６４　＝　A×２

という式が成立することがとわかると、

　A=１５　だとわかります。

あとは計算で、
　B=５１－１５
　　＝３６

　C=４３－１５
　　＝２８

　　　　　　　　１５

　　　　５１　　　　　　　４３

　３６　　　　　６４　　　　　２８

四角形から三角形へ、
パズルの形が変わると頭の使い方も
少し変わってきますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！数のマジック：魔方陣

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
数のマジック：魔方陣についてです。

魔方陣とは、
方陣と呼ばれる正方形に数字を配置して、
その縦・横・斜めの列の合計がどれも同じ数になるよう
配置する数のパズルです。

ちなみに「魔法陣」ではありませんので、
区別しておきましょうね。

また、正方形の形ですが、
２×２の魔方陣は同じ数字を使わないと
条件が成立しないため、
存在しないことになります。
ですから、
魔方陣の最小形は３×３（三方陣）になります。

では３×３の魔方陣、
早速、数字を当てはめてみましょう。

配置する条件は、
　・１から９までの数字をすべて使用する
　・１から９までの数字を２回以上使ってはならない
　・縦・横・斜めの列の合計がどれも同じ数にする
でしたね。

考え方は、
１から９までの数字をすべて足すと４５になるので、
それを３列３行に割り振ると
各列各行の和が１５になることがわかります。
なので、
３つの数字の合計が１５になる組み合わせを見つけて
配置すればよいのすね。

　　１＋５＋９
　　１＋６＋８
　　２＋４＋９
　　２＋６＋７
　　２＋５＋８
　　３＋４＋８
　　３＋５＋７
　　　　・
　　　　・
　　　　・

三方陣だと手計算でもできますね。


答えは、次の呪文を唱えてください。

「憎し（２９４）と思えば、
　七五三（７５３）、
　六一坊主に蜂（６１８）が刺す」

つまり、次の図が答えとなります。

三方陣は答えがひとつだけですが、
四方陣では、８８０通り、
五方陣になると、約３億通りの答えが存在します。

こうなるとスーパーコンピュータの力を借りたほうが
よさそうですね。

しかし、
昔の人たちはどうやって計算したんだろう？
ちょっとしたミステリーですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。