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Webで数学、
中国の算法：百鶏算についてです。
百鶏算は、
中国の算数本「算経」に掲載されていた算法で、
その起源は3世紀とも6世紀とも言われていますが、
詳しいことはわかっていません。
中国の数学者：張邱健の「算経」は、
6世紀前半に出版されたあと、
中国からインドを通ってヨーロッパに伝わったと
言われていますので、
長い歴史を経て語り継がれてきた算術だといえますね。
さて、
この百鶏算、
現在の数学では不定方程式と呼ばれています。
不定方程式は、
方程式の数よりも変数のほうが多い難解な問題で、
数学オリンピックの頻出問題としても知られています。
では早速、問題をみてみましょう。
雄鶏は１羽：５銭、
雌鶏は１羽：３銭、
雛鶏は３羽：１銭です。
今、１００銭で１００羽の鶏を飼うとします。
できるだけ多くの雄鶏を買いたいとき、
雄鶏、雌鶏、雛鶏をそれぞれ何羽ずづ買えばよいでしょうか？
答えは次のようになります。
雄鶏をA羽、
雌鶏をB羽として考えてみます。
雛鶏Cは １００－（ A + B ）羽ですが、
これは３の倍数になります。
５×A ＋ ３×B ＋（１００－AーB）/ ３ ＝１００
雄鶏 雌鶏 雛鶏
という式が成り立ち
整理していくと、
７×A ＋ ４×B = １００
７×A ＝ ４×（２５－B）
この式からAは４の倍数だとわかります。
A ＝ ４ｎ
と式を置いて整理してみましょう。
B = ２５－７ｎ
C = ３ｎ＋７５
となり、
B = ２５－７ｎ ≧ ０ が成立するのは
ｎ ≦ ３ つまり
ｎが０，１，２，３のいずれかであるとわかりますね。
A ＝ ４ｎ が最大になるのは
ｎ＝３なので、
A ＝ ４×３ ＝ １２
B = ２５－７×３ ＝ ４
C = ３×３＋７５ ＝ ８４
が算出され、
雄鶏は１２羽： ６０銭、
雌鶏は ４羽： １２銭、
雛鶏は８４羽： ２８銭
１００羽：１００銭
だとわかります。
与えられた条件を整理して式にしていくと
解決案が見つかっていく感じです。
