Webで数学！循環小数の規則性

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
循環小数の規則性についてです。

今回は、
循環小数、回る小数についてです。
「回っている」状態の小数のことを
循環小数といいます。

以前にお伝えした例を示します。

分数　１　を小数で表わすとき、
　　　３
計算式は　１　÷　３　
答えは、０．３３３３３３３３３３３３...　

分数　  ７ 　は、
　　　２２
計算式は　７　÷　２２　
答えは、０．３１８１８１８１８１８１...　

このように割り算の答えが
割り切れずに続く場合に
同じパターンの数が
無限に繰り返されるような小数のことを
循環小数といいます。

循環小数には書き方は・・・
　　　・
　０．３　　　＝　０．３３３３３３３３３３３３...
　　　　・・
　０．３１８　＝　０．３１８１８１８１８１８１...

と、
繰る返し現れる数のうえに「・」をつけて記すのです。

3ケタ以上の繰る返しがある場合は、
　　　・　・
　０．８２３　＝　０．８２３８２３８２３８２３...　

と、
繰り返される最初の数と最後の数に「・」をつけます。


どんな場合に循環小数が現れるかというと・・・
これも以前にお伝えしたのですが、
分母が素数になっている分数を小数にしたとき、
でしたね。


それでは問題です・・・

５÷７を計算してみてください。
答えの数の小数第100位はどんな数字になるでしょうか？


答えは・・・

　　　　　　０．７１４２８５７１４２８５・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　７）　５．０
　　　　　　４　９　
　　　　　　　　１０
　　　　　　　　　７　　
　　　　　　　　　３０
　　　　　　　　　２８　
　　　　　　　　　　２０
　　　　　　　　　　１４　
　　　　　　　　　　　６０
　　　　　　　　　　　５６　
　　　　　　　　　　　　４０
　　　　　　　　　　　　３５　
　　　　　　　　　　　　　５０
　　　　　　　　　　　　　４９　
　　　　　　　　　　　　　　１０
　　　　　　　　　　　　　　　７　
　　　　　　　　　　　　　　　３０
　　　　　　　　　　　　　　　２８　
　　　　　　　　　　　　　　　　２０　
　　　　　　　　　　　　　　　　１４　
　　　　　　　　　　　　　　　　　６０
　　　　　　　　　　　　　　　　　５６　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　４０　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　３５　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５０　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　

このように筆算だと結果がわかりやすいですね。

５÷７の商は循環小数になるので、
その繰り返される数字の現れる規則性に注目します。

今回の場合は、
　７１４２８５
という6桁の数が繰り返されています。

問題の小数第100位をこの6桁で割ると、
　商：１６
　余り：４
となります。

小数第100位までに、
７１４２８５は16回繰り返されていて、
それが小数第96位になります。
それから4番目の数は、
「２」になりますね。


わり算していて、
循環小数が見つかると
「やった！」
となぜか嬉しくなってしまいます。

秘密の宝物を見つけたような
そんな気持ちのなるのです。

数って不思議ですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！和算：継子立て（ままこだて）

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
和算：継子立て（ままこだて）についてです。

今回はまたまた和算です。

継子立て（ままこだて）は、
室町時代に流行った碁石遊びのことで、
吉田兼好の徒然草の中にも登場していました。

題名の継子（ままこ）とは、
血のつながりのない子を意味しています。

黒白の碁石をそれぞれ15個ずつ、
合計30個をある順序に則って円形に並べ、
ある碁石を起点にして10番目にあたる石を
順次取っていって、
最後に残った碁石が勝ちとなります。

白石が実子、
黒石が先妻の子
に見立てたところから
「継子立て（ままこだて）」の名がついたといわれています。

問題：
むかしむかし、
ある商家でその家の後継ぎを決めることになりました。

この家の子供は全部で30人、
そのうち15人が母親の実子（白石）でしたが、
あとの15人は先妻の子（黒石）でした。

母親は30人の子供たちを円形に並ばせ、
時計回りに数えて、10人目ごとに円から
外れさせていって、最後に残った子供に
家を継がせるといいました。

さて、ゲームが始まりました。
するとどうでしょう？
円から外れていくのは、
なんと！黒石ばかりではありませんか！！！

この状況をみて、
最後に残った先妻の子供が、
「お母さん！あまりに不公平なので、
　今度は私から数えてもらえませんか？」
と提案しました。
さて、その結果はどうなったでしょうか？


答え：
最後に残った先妻の子供が、
一番最後まで残ってその家の跡を継ぎました。

上図の右側の円を見ると、
青い点がゲームを始めた基点となる実子の位置。
黒の１５番目が
最後に残った先妻の子供の位置です。

このパズルは、
基点となる位置の石が最後に残ることになっていて、
母親は最初に白石、つまり自分の実施を基点にして
ゲームを回しはじめましたが、
継子の提案により、それが崩れてしまうことになりました。

なので、
途中から基点となった最後に残った先妻の子供の位置が
最後に残ることになり、
黒の１５番目の子供が後を継ぐことになりました。

さあ、
あなたならどこからはじめますか？

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！囚人のジレンマとは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
囚人のジレンマとは？についてです。

前々回のジョン・フォン・ノイマンのおはなしのなかで、
「囚人のジレンマ」について触れましたので
今回はもう少しだけお話ししたいと思います。

囚人のジレンマとは、
前回にお話ししたゲーム理論で起きる事象の一つで、
個人個人では最適な選択をしたとしても、
全体を通してみると決して最適にはならないという状況を
説明したものです。


問題：
二人の共犯の強盗があえなく警察に捕まりました。

連行された警察署で
犯人Aは、取調室①に
犯人Bは、取調室②に
収容され、刑事たちがそれぞれを取り調べています。

状況証拠が少なかったため、
刑事たちは「自白」を引き出そうと
あることを犯人たちに言います。

取調室①の犯人Aには、
「もしお前が、犯人Bの罪を証言すれば、
　犯人Bは懲役５年にするが、
　お前は懲役１年にしてやろう！」
といい、
取調室②の犯人Bには、
「もしお前が、犯人Aの罪を証言すれば、
　犯人Aは懲役５年にするが、
　お前は懲役１年にしてやろう！」
といいました。

さらに
「だが、二人とも自白したらお前たち二人とも懲役３年だ！」
「もし、二人とも黙秘したらお前たち二人とも懲役２年だ！」
「どうだ！わかったな！！！」
と犯人A、犯人Bに告げました。

さあ、この状況で
犯人A、犯人Bの二人はどのような行動に出るでしょうか？


答え：
犯人A、犯人Bの行動と刑期を表にまとめてみましょう。

　　　　　　　　　　　　犯人B　　
　　　　　　　　　　  黙秘　　  自白
　　　　犯　黙秘　（２，２）（５，１）
　　　　人
　　　　A　 自白　（１，５）（３，３）

　　　　　　※（５，１）は（A、B）の刑期を表わします。

犯人Aは、
　①　犯人Bが証言したとき、
　　　　自分が黙秘した場合：刑期は５年、
　　　　自分も自白すれば、刑期は３年で済むので、
　　　　自白したほうがよい。

　②　犯人Bが黙秘したとき、
　　　　自分も黙秘すれば、刑期は２年、
　　　　自分が自白した場合：刑期は１年で済むので、
　　　　自白したほうがよい。
と考えます。

どちらにしても自分が自白したほうが
刑期が短くなるわけですから、
犯人Aは「自白」すると結論を出します。

犯人Bも、
同様に「自白」すると結論を出します。

しかし、
犯人A、犯人Bの二人ともが「黙秘」を選ぶと、
二人とも刑期は２年で済むことになりますので、
実際は「黙秘」のほうが得ですね。

なのに、
犯人A、犯人Bの二人ともが
わざわざお互いに損になる選択肢を選ぶことになります。

このように
犯人A、犯人Bは各々、
自分にとって最適な答えを選んだつもりでも、
全体を見たときに、
明らかに最適ではない結論に達してしまう・・・
こんな状況のことを
囚人のジレンマと言います。

各々が合理的に行動すればするほど、
当事者間の協力が困難になる状況ですね。

こんな状況は私たちの身の回りにありますね。
例えば・・・
恋愛、受験、就活、環境問題、
そして、
各国の貿易問題など

囚人のジレンマは、
制限されたコミュニケーションの中で、
再選択ができない状況下で生まれます。

そのようなお互いに不利益な状況そのものを
まず見なおして、
全体をみながら話し合いができると、
私たち個人個人の幸せ度もアップするのではないでしょうか？

さて、
あなたは今日、
どんな制限を取り去りますか？

あなたのその行動が、
世界平和をもたらすかもしれませんよ。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！ゲームの理論

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
ゲームの理論についてです。


前回のジョン・フォン・ノイマンのおはなしのなかで、
「ゲーム理論」について触れましたので
今回はもう少しだけお話ししたいと思います。

ゲーム理論とは、
応用数学のひとつで、
ゲームをより有利に展開するために
相手の手のうちを推察しながら、
自分はできるだけ高く得点し、
なおかつ失点を抑えるよう戦略をたてる数学理論です。

わたしがはじめてこのゲーム理論を知ったのは、
大学の経済学の授業でした。

ゲーム理論を簡単に言うと、
経済や社会において、
さまざまな行動や意思決定の相互依存関係を
研究する分野の学問だといえます。

私たちが生きている現実の社会には、
さまざまな立場や思想、ルールに基づいて、
多くの人が経済活動を行っています。

人はそれぞれ、
自分の目的を実現するために、
競い合ったり、
協力しあったりしながら、
活動をする姿を「ゲーム」ととらえて、
ゲーム内での意思決定の相互作用にフォーカスして
理論を立てていきます。

わたしたちの生きる社会では、
人々は決して無関係に行動しているのではありませんね。
たとえば、
私の一つの行動が他の人たちに影響を与え、
反対に、
他の人たちの行動が私の行動にも影響を及ぼしています。


身近な例をひとつ・・・

今朝、友人から
「今日は神戸ルミナリエの点灯式だから、
　行かない？」
と誘われました。
実は、
私は明日、行こうと思っていたのですが、
お誘いLINEがきたので、
明日一緒に行くことになっていた友人に連絡を取って、
今夕に予定を変えました。

・・・

このように私たちの行動は、
相互に作用し、影響しあっているのですね。

上の例は、
個人間の小さな出来事かもしれませんが、
これが企業間だったり、
組織間だったり、
国と国であったりするわけです。

このようにゲーム理論は、
互いに影響を及ぼしあう複数の行動主体の
意思決定や行動分析を数理的な方法で研究しているのです。

まさに、
「風が吹けばおけ屋が儲かる」ということわざのように
その影響範囲を推察するのに、
ぴったりの分野かもしれませんね。

　※「風が吹けばおけ屋が儲かる」の影響範囲と順序は、
　　次の通りです。
　　　①　風が吹く
　　　　　　↓
　　　②　砂ほこりが舞う
　　　　　　↓
　　　③　砂ぼこりが目に入って、盲人がふえる
　　　　　　↓
　　　④　盲人は三味線をひくので、三味線を買う人がふえる
　　　　　　↓
　　　⑤　三味線に張る猫皮が必要になり、猫がいなくなる
　　　　　　↓
　　　⑥　ネズミがふえる
　　　　　　↓
　　　⑦　ネズミはおけをかじる
　　　　　　↓
　　　⑧　おけを新しく買う人がふえる
　　　　　　↓
　　　⑨　おけ屋が儲かる


さて、
あなたは今日、
どんな経済行動をとりますか？

今日のあなたの行動が、
世界経済を大きく動かしてしまうかもしれませんよ。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！天才数学者：ジョン・フォン・ノイマン

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
天才数学者：ジョン・フォン・ノイマンについてです。


今回は、
かの天才：アインシュタインが絶賛した数字の天才、
ジョン・フォン・ノイマンのおはなしです。

ジョン・フォン・ノイマンは、
ハンガリーのブダペスト出身で、
のちにアメリカ移住して、
数学、物理学、経済学などの研究をした人物です。

幼いころから神童と呼ばれ、
コンピュータ開発の歴史にもその名を残しましたが、
彼の暗算能力には人並み外れたものがあり、
以前にもお伝えした「共感覚者」だったのではないかと
いわれています。

共感覚とは、
ひとつの物理的な刺激によって、
複数の感覚・知覚が呼び起されてくる現象のことで、
人間の五感
　・視覚ー見る
　・聴覚ー聴く
　・臭覚ー匂う
　・味覚ー味わう
　・触覚ー身体の感覚
をこえて、
対応する感覚以外の近くが起きる能力のことをいいます。

たとえば、
音を聴いて形をイメージする、
色を見て数字をイメージする、
ある食べ物を食べて色をイメージする、
などがあります。

共感覚を持つ人は、2,000人に一人だとか・・・
稀にみる才能だと言えますね。


このような能力を持つジョン・フォン・ノイマンが、
研究した分野の中で有名なものが
「ゲーム理論」と「ノイマン型コンピュータ」です。

はじめに
ゲーム理論とは、
応用数学のひとつで、
ゲームをより有利に展開するために
相手の手のうちを推察しながら、
自分はできるだけ高く得点し、
なおかつ失点を抑えるよう戦略をたてる数学理論です。

経済学ではミクロ経済学の一分野として、
「囚人のジレンマ」をご存知の方も
多いのではないでしょうか？
　※囚人のジレンマについては追って説明することにします。


つぎに
ノイマン型コンピュータは、
現在わたしたちが使用しているコンピュータの
ベースになったもので、
プログラムをデータとして記憶装置に格納して、
それを順番に読み込んで実行する方式のものです。

このノイマン型コンピュータを開発したことで、
彼はコンピュータの父とも呼ばれています。

さてさて、
この天才にまつわる逸話が残っていますので、
問題と一緒にご紹介しておきますね。


問題：
2台の列車AとBは、
直線上100Km離れた駅から
それぞれ時速50Kmで
向かい合って同時に走行をはじめました。
出発と同時に
列車Aに止まっていたトンボが
列車Bに向かって時速88Kmで飛び始めました。

トンボは、
列車Bに衝突する寸前に方向転換して列車Aに向かいます。
そして、
列車Aに衝突する寸前に、
また方向転換して列車Bに・・・
という飛行を繰り返したとします。
2台の列車が出会うまでに
トンボはどれだけの距離を飛行するでしょうか？

答え：
2台の列車が出会うまでの時間は、
ちょうど1時間ですね。

トンボは時速88Kmで飛んでいるので、
答えは88Kmになります。


問題分が長いのでそれに引きずられて、
トンボの動きにとらわれ、
難しい計算を始めると
数のパズルから抜け出せなくなってしまいますね。

一旦、単純に考えてみるのも
戦略なのかもしれません。


しかし、
数字の天才：ジョン・フォン・ノイマンは、
この難しい計算にとりくみ、
暗算で解いて人々を驚かせた・・・
といいます。

どんなアプローチからも答えを導き出せるとは、
やっぱり天才とは頼もしいものです。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。