Webで数学！婚約数はロマンティック？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
婚約数はロマンティック？についてです。

このブログでもよくご紹介している「友愛数」

友愛数とは、
　２つの異なる自然数の組み合わせで、
　自身の約数の和が、互いに他方と等しくなる数。
　親和数とも呼ばれているのでした。

一番小さな友愛数のペアは、
２２０と２８４で、
次のような関係性を持ちます。

　　２２０の約数の和は、
　　　１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋
　　　　　　　　　　　２２＋４４＋５５＋１１０
　　　＝２８４
　　　と結果が元の数より大きくなりますので、
　　　　２２０　＜　２８４
　　　２２０は過剰数になります。

　　２８４の場合、　
　　　１＋２＋４＋７１＋１４２
　　　＝２２０
　　　と結果が元の数より小さくなりますので、
　　　　２８４　＞　２２０
　　　２８４は不足数になります。

このように
互いが過剰数と不足数の関係にある2つの数のことが
友愛数でした。

今回ご紹介するのは「婚約数」

「友愛数」よりもより密接な関係があると
思わせるネーミングですね。

婚約数とは、
　異なる2組の自然数の組み合わせで、
　１と自身を除くすべての約数の和が
　お相手の自然数と等しい数のことをいいます。

一番小さな婚約数のペアは、
　４８　７５
です。

　　４８の約数は、
　　　１、２、３、４、６、１２、１６、２４、４8
　　１と自身を除くすべての約数の和は、
　　　２＋３＋４＋６＋１２＋１６＋２４
　　　＝７５

　　４８の約数は、
　　　１、３、５、１５、２５、７５　
　　１と自身を除くすべての約数の和は、
　　　３＋５＋１５＋２5
　　　＝４８

このように今の時点では、
婚約数は偶数と奇数のペアになっています。

この偶数と奇数を男性と女性に見立てて
婚約数と名づけられたのですが、
「偶数同士と奇数同士の婚約数は存在するか？」は
数学の未解決問題でもあります。
今後の研究から目が逸らせませんね。

婚約数のカップルは他にも

　　　  48　75
　　   140　1925
　　 1050　1925
　　 1648　1575
　　 2024　2295
　　 6128　5775
　　 8892　16587
　　 9504　20735
　  62744　75495
　206504　186615

　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・

があります。
無限への旅はまだまだ続きます。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！数学の未解決問題とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
数学の未解決問題とは？についてです。

自然科学の分野では、
まだわかっていないことの法則や理論を建てる過程で、
仮説を立ててそれを証明する手順を踏みます。

仮説　⇒　証明　がなされた問題は、
別の新たな問題の解決に利用されたり、
実社会へ応用されて、
わたしたちの生活に役立っています。

数学の分野でも
まだ証明されていない
未解決問題が数多く存在します。

実は、
昨日ご紹介した友愛数についてもその一つ。
友愛数の無限など、
「～は無限に存在する」という予測は、
多くの数学者が取り組んでいるのですが、
証明されたという数学者、
矛盾があるという数学者、
双方が存在しており、
100％確実な理論ではないとされています。

未解決問題としてよく知られるものは、

　●～は無限に存在する　という予想
　　　・メルセンヌ数は無限か？
　　　・偶数の完全数は無限か？
　　　・双子素数は無限か？
　・・・など

　●～は存在する　という予想
　　　・奇数の完全数は存在するか？
　　　・偶数と奇数の組み合わせの友愛数は存在するか？
　　　・偶数同士と奇数同士の婚約数は存在するか？
　・・・など

があります。

以前に、
新しい素数が発見された2013年に、
3,000ドルの賞金が授与されたとお話ししましたが、
同様に
この未解決問題にも懸賞金がかけられています。

これはミレニアム懸賞金といって、
アメリカマサチューセッツ州のクレイ数学研究所が
古典的だが長い間解決されていない
重要な次の６つの問題に
それぞれ約100万ドルの懸賞金をかけると
2000年5月24日に発表しました。

　・ヤンーミルズ方程式と質量ギャップ問題
　・リーマン予想
　・P=NP予想
　・ナビエーストークス方程式の解の存在と滑らかさ
　・ホッジ予想
　・バーチスウィンナートン＝ダイアー予想

発表当時にはもうひとつ、
　・ポアンカレ予想
が含まれていましたが、
2002年、
ロシアの数学者：グレゴリー・ベレルマンによって
解決されています。

2000年以降、
この未解決問題に取り組んでいる日本人数学者たちも
2006年に佐藤・テイト予想、
2002年に加藤予想、
を問題解決しています。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！数字の友情？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
数字の友情？についてです。

以前にもこのブログでご紹介しましたが、
今回は、
数字の友情＝友愛数についてです。

友愛数について説明するには、
まず、
　・約数
　・完全数
　・不足数
　・過剰数
のおさらいから始めましょう。

約数とは、
　ある整数を割り切ることができる整数のこと。
　　２８は（５６，８４、１１２・・・の）約数、
　　２８の約数は、１，２，４，７，１４です。

完全数とは、
　自身を除くすべての約数の和が自身と等しい数のこと。
　　　６＝１＋２＋３
　　２８＝１＋２＋４＋７＋１４
　４９６＝１＋２＋４＋７＋８＋９＋１０＋
　　　　　　１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋
　　　　　　　　　１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋
　　　　　　２１＋２２＋２３＋２４＋２５＋
　　　　　　　　　２６＋２７＋２８＋２９＋３０＋３１
　で、６，２８，４９６が完全数です。

このように
約数の和が自身と等しくならない場合、
過剰数、不足数という状態になります。
　↓　　　↓

過剰数とは、
　自身を除く全ての約数の和が自身よりも大きくなる数で、
　　例えば２２０の場合、
　　　１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋
　　　　　　　　　　　２２＋４４＋５５＋１１０
　　　＝２８４
　　　と結果が元の数より大きくなりますので、
　　　　２２０　＜　２８４
　　　で、２２０は過剰数です。

不足数とは、
　自身を除く全ての約数の和が自身よりも小さくなる数で、
　　例えば２８４の場合、　
　　　１＋２＋４＋７１＋１４２
　　　＝２２０
　　　と結果が元の数より小さくなりますので、
　　　　２８４　＞　２２０
　　　で、２８４は不足数です。

さて、
↑上の例をみると２２０と２８４は、
お互いが過剰数と不足数の関係になっていますね。

このように
友愛数とは、
　２つの異なる自然数の組み合わせで、
　自身の約数の和が、互いに他方と等しくなる数です。
　親和数とも呼ばれています。

この友愛数は、かのピタゴラスが名付け親なのですが、

数字の友情とは不思議な関係ですね。

↑上の例の２２０と２８４は、
　一番小さな友愛数のペアです。

友愛数は他にも
　　　220 284
　　　1184 1210
　　　2620 2924
　　　5020 5564
　　　6232 6368
　　　10744 10856
　　　12285 14595
　　　17296 18416
　　　63020 76084
　　　66928 66992
　　　67095 71145
　　　69615 87633
　　　79750 88730
　　　100485 124155
　　　122265 139815
　　　122368 123152
　　　141664 153176
　　　142310 168730
　　　171856 176336
　　　176272 180848
　　　185368 203432
　　　196724 202444
　　　280540 365084
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・

もちろん友愛数も無限にあります。
無限の旅は果てしないのです。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！無限の矛盾？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
無限の矛盾？です。

無限とは、
限りがないこと、
限界を持たないことをいうのでした。

数学的「無限」については、
自然数の無限を「アレフゼロ」について
ご紹介してきました。

自然数には必ず次の数があって、
終わりの数がないこと、
そして無限は、
「∞」の記号で表わされ、
自然数の無限を「アレフゼロ」と呼ぶのでした。

さて、
「無限」を数学的に扱った最初の人は、
ゲオルク・カントールという数学者で、
彼は、
無限をレベル分けすることを考え、
　・自然数の無限　⇒　レベル０
　・実数の無限　　⇒　レベル１
と定義したのですが、
無限のレベル分けには、
さまざまな問題が発生したのでした。

と、
ここまでが前回のおさらい。

今回は、
そのさまざまな問題が何かを
ご紹介していきましょう！

その前にちょっと数字の呼び方をまとめておきますね。

☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*

整数とは、
　　ゼロ０、
　　正の整数で１，２，３，４，５・・・
　　負の整数で-１，-２，-３，-４，-５・・・
　　（小数・分数は含みません）

自然数とは、
　　正の整数で１，２，３，４，５・・・
　　そう、
　　自然数は整数の一部なんです。

偶数は、２で割り切れる数で２，４，６，８，１０・・・

☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*☆*ﾟ ゜ﾟ*

さて、
問題です。

自然数１，２，３，４，５・・・
の個数と
整数・・・-３，-２，-１，０，１，２，３・・・
の個数を数えるとします。

自然数と整数のそれぞれの個数、
あなたはどちらが多いと思いますか？


答え：同じ

えっ！？
自然数は整数の一部だから、
当然整数のほうが多いんじゃないの？？？

カントールの考え方では、
どちらも
　・自然数の無限　⇒　レベル０
にわけられます。

では、
次の問題。

自然数１，２，３，４，５，６・・・
の個数と
偶数２，４，６・・・
の個数ではどうでしょう？



答え：同じ

えっ！？
偶数は自然数の一部だから、
当然自然数のほうが多いんじゃないの？？？

しかしこれも
カントールの考え方では、
どちらも
　・自然数の無限　⇒　レベル０
にわけられてしまいます。


このように、
常識では明らかにどちらが多いかがわかるものでも、
実際に無限の個数を数えてみると同じになってしまいます。

カントールは、
直線、面、立体のように
図形的に明らかに異なるものでも
個数に分類すると「同じ」に分類されるといいます。

この矛盾は、
無限の奥深さに原因するところですが、
カントールがこの理論を発表した当時の数学者たちは、
これを受け入れず
「数学では無限を対象としない」として、
無限を数学から排除しようとしたほどです。

再び「無限」脚光を浴びたのは、
20世紀になって
カントールがこの世を去ったあとのこと。

現代数学に
「無限」がなくてはならないものになったのは、
カントールの偉業だといえますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！無限とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
無限とは？です。

無限とは、
限りがないこと、
限界を持たないことをいいます。

無限ということをしっかりと理解するのは
難しい問題だといわれています。
哲学的な理解、
論理学的な理解、
そして、
数学的な理解、
それぞれに無限という概念が取り扱われており、
深く研究されていますが、
ここでは、
数学的「無限」について
考察していこうと思います。

以前からこのブログでも
自然数の無限を「アレフゼロ」と呼ぶのだと
お話ししてきました。

アレフゼロとは、

自然数は１から始まって、
順に１を足していくことで
２になり、
３になり、
次の数字をつくることができ、
そして、
それは終わりなく続くのでした。

自然数には必ず次の数があって、
終わりの数はありません。
それは、無限∞の記号で表わされ、
自然数の無限のことを「アレフゼロ」と表わすのでした。

無限∞の記号は、
英語のinfinityからインフィニティと呼ばれています。
終わりがない、
範囲がない、
という意味を横８の字で表わしています。

歴史上、
はじめて「無限」を数学的に扱ったのは、
ゲオルク・カントールという数学者です。

カントールは、
無限をレベル分けすることを考え、
　・自然数の無限　⇒　レベル０
　・実数の無限　　⇒　レベル１
と定義しました。

この無限は自然数の無限と同じでレベル０、
こちらは実数の無限と同じでレベル１と、
どの無限にもレベルをつけていったのでした。

無限のレベル分けは、
スムースにスタートしたかに見えたのですが、
無限を数えていくと、
次々に問題が発生してきたのです。

さあ、大変！

次回は、
その問題についてです。
お楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。