Webで数学！いとこ同士の素数！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
いとこ同士の素数！？についてです。

おなじみの「素数」。
先日の「双子素数」
昨日の「三つ子素数」
そして今日は、
「いとこ素数」をご紹介します。

わたしたち人間社会において
「いとこ」とは、
自分自身から見て父親または母親の兄弟姉妹の子供。
血縁関係から見て直系ではなく、
傍系の４等親の関係にあります。

〇等親とは、
　１等親は、両親、子供
　２等親は、祖父母、兄弟姉妹、孫
　３等親は、叔父叔母、姪甥
　４等親は、伯父伯母、従兄弟従姉妹
の位置づけです。


素数は・・・
　　１と自分自身以外には約数を持たない数のこと、
　　でしたね。

　　そして、
　　１００までの素数は

　　　　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，
　　　２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，
　　　５３，５９，６１，６７，７１，７３，７９，
　　　８３，８９，９７

　　でした。


◆いとこ素数とは・・・
　　２組の自然数の関係で、
　　その差が４である素数の組み合わせのことをいいます。
　　（ｐ、ｐ＋４）の関係です。

　　（３，７）
　　（７，１１）
　　（１３，１７）
　　（１９，２３）
　　（３７，４１）
　　（４３，４７）
　　（６７，７１）
　　（７９，８３）
　　（９７，１０１）
　　（１０３，１０７）
　　（１０９，１１３）
　　（１２７，１３１）
　　（１６３，１６７）
　　（１９３，１９７）
　　（２２３，２２７）
　　（２７７，２８１）
　　（３０７，３１１）
　　（３１３，３１７）
　　（３４９，３５３）
　　（３７９，３８３）
　　（３９７，４０１）
　　（４３９，４４３）
　　（４５７，４６１）
　　（４６３，４６７）
　　（４８７，４９１）
　　（４９９，５０３）
　　（６１３，６１７）
　　（６４３，６４７）
　　（６７３，６７７）
　　（７３９，７４３）
　　（７５７，７６１）
　　（７６９，７７３）
　　（８２３，８２７）
　　（８５３，８５７）
　　（８５９，８６３）
　　（８７７，８８１）
　　（８８３，８８７）
　　（９０７，９１１）
　　（９３７，９４１）
　　（９６７，９７１）
　　　　　・　　
　　　　　・　　
　　　　　・　　
と続きます。

「いとこ素数は無限か？」ももちろん数学の未解決問題。

現在知られている
もっとも大きい確率的いとこ素数の組み合わせは、

    474435381 × 2⁹⁸³⁹⁴ － 1
と
    474435381 × 2⁹⁸³⁹⁴ － 5

とのこと。

いとこ同士の素数とは、
近すぎず遠すぎずよい距離感の組み合わせですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！三つ子素数！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
三つ子素数！？についてです。

このブログではおなじみの「素数」。
昨日の「双子素数」に続いて、
２組の自然数の差に注目した「三つ子素数」をご紹介します。

そもそも・・・

◆素数とは・・・
　　１と自分自身以外には約数を持たない数のこと。

　　１００までの素数は

　　　　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，
　　　２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，
　　　５３，５９，６１，６７，７１，７３，７９，
　　　８３，８９，９７

　　でした。


◆三つ子素数とは・・・

　３組の自然数の関係が、
　　（ｐ、ｐ＋２、ｐ＋６）
　　（ｐ、ｐ＋４、ｐ＋６）
　の形をとる素数のこと。
　　　　※ｐは元になる素数です。

　例えば、
　　素数：５を見てみましょう。
　　　　元になる素数：５
　　　　２番目の素数：５＋２＝７
　　　　３番目の数素：５＋６＝１１
　　（５，７，１１）

　もうひとつ、
　　素数：１３を見てみましょう。
　　　　元になる素数：１３
　　　　２番目の素数：１３＋４＝１７
　　　　３番目の数素：１３＋６＝１９
　　（１３，１７，１９）

これら３組の素数のことを「三つ子素数」といいます。

三つ子素数は他にも
　　（５，７，１１）
　　（７，１１，１３）
　　（１１，１３，１７）
　　（１３，１７，１９）
　　（１７，１９，２３）
　　（３７，４１，４３）
　　（４１，４３，４７）
　　（６７，７１，７３）
　　（９７，１０１，１０３）
　　　　　　・　　
　　　　　　・　　
　　　　　　・　　
で、
（ｐ、ｐ＋２、ｐ＋６）のタイプになるのは、
　　　　５，１１，１７，４１，１０１，１０７，
　　１９１，２２７，３１１，３４７，４６１，６４１，
　　８２１，８５７，８８１、・・・

（ｐ、ｐ＋４、ｐ＋６）のタイプになるのは、
　　　　７，１３，３７，６７，９７，１０３，
　　１９３，２２３，２７７，３０７，４５７，６１３，
　　８２３，８５３，８７７，１０８７、・・・

この「三つ子素数は無限？」も数学の未解決問題。

今、知られている三つ子素数のもっとも大きい組み合わせは、

    2072644824759 × 2³³³³³ － 1
と
    2072644824759 × 233333 ＋ 1
と
    2072644824759 × 233333 ＋ 5
だそうです。

次の三つ子素数はいつごろ発見されるのでしょうね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！双子の素数！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
双子の素数！？についてです。

素数、再び登場！
このブログではおなじみになった「素数」。

今日は、
その並び方、発生順に注目した「双子素数」をご紹介します。

では、素数のおさらいを・・・

◆素数とは・・・
　　１と自分自身以外には約数を持たない数のこと。

　　１００までの素数は

　　　　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，
　　　２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，
　　　５３，５９，６１，６７，７１，７３，７９，
　　　８３，８９，９７

　　でした。


◆双子素数とは・・・

上の数列の下線部分に注目してください。
　・３，５，７
　・１１，１３
　・１７，１９
　・２９，３１
　・４１，４３
　・５９，６１
　・７１，７３
の7組の数字は、
その間が2ずつ離れています。

素数同士の間隔は、
数が大きくなるに従って、
次第に離れていくものですから、
隣り合う奇数同士が共に素数であることは、
とても稀なケースだといえます。

このように、
差が２である素数の組み合わせのことを
双子素数といいます。

この「双子素数は無限か？」も
数学の未解決問題です。

現在わかっている双子素数のもっとも大きい組み合わせは、

    3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ ー 1
と
    3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ ＋ 1
で、ケタ数は200700桁だといいます。

もちろん、
この素数の発見は
手計算ではなくコンピュータを使った結果でした。

素数の研究は、
数の研究の基礎的なものです。

その意味からも、
次の双子素数の発見を楽しみに待ちたいと思います。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！特別な友愛数！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
特別な友愛数！？についてです。

昨日までにご紹介してきた
　・婚約数
　・社交数
も、
友愛数の発展形でした。

今日は、
その友愛数の特別な形である「友愛三数」をご紹介します。

まずはおさらいから・・・

◆友愛数・・・
　２つの異なる自然数の組み合わせで、
　自身の約数の和が、互いに他方と等しくなる数。

一番小さな友愛数のペア２２０と２８４を
例にとってみると・・・

　　２２０の約数の和は、
　　　１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋
　　　　　　　　　　　２２＋４４＋５５＋１１０
　　　＝２８４
　　　と結果が元の数より大きくなりますので、
　　　　２２０　＜　２８４
　　　２２０は過剰数になります。

　　２８４の場合、　
　　　１＋２＋４＋７１＋１４２
　　　＝２２０
　　　と結果が元の数より小さくなりますので、
　　　　２８４　＞　２２０
　　　２８４は不足数になります。

互いが過剰数と不足数の関係にある2つの数のことを
友愛数というのでした。

◆社交数・・・
　3つ以上の自然数の組み合わせで、
　ある数Aの自身を除いた約数の和が他の数Bになり、
　数Bの自身を除いた約数の和が別の数Cになる。
　そして、
　最終的に数Aになるような数の組み合わせのこと
　をいいます。

５つの社交数を例にとってみると・・・

　　１２４９６
　　　⇒　１，２，４，８，１１，１６，２２，４４，
　　　　７１，８８，１４２，１７６，２８４，５６８，
　　　　７８１，１１３６，１５６２，３１２４，
　　　　６２４８で、
　　　　約数の和は１４２８８です。

　　１４２８８
　　　⇒　１，２，４，８，１６，１９，３８，４７，
　　　　７６，９４，１５２，１８８，３０４，３７６，
　　　　７５２，８９３，１７８６，３５７２，
　　　　７１４４で、
　　　　約数の和は１５４７２です。

　　１５４７２
　　　⇒　１，２，４，８，１６，９６７，１９３４，
　　　　３８６８，７７３６で、約数の和は１４５３６です。

　　１４５３６
　　　⇒　１，２，４，８，２３，４６，７９，９２，
　　　　１５８，１８４，３１６，６３２，１８１７，
　　　　３６３４、７２６８で、
　　　　約数の和は１４２６４です。

　　１４２６４
　　　⇒　１，２，４，８，１７８３，３５６６，
　　　　７１３２で、
　　　　約数の和は１２４９６です。

と見事に社交的な数になりました。

では今日のお題目、

友愛三数とは・・・
　3つの数字のうちどれか一つの約数の和が、
　残り二つを足したものに等しくなる関係性を持つ
　自然数のこと。

　　１０３３４０６４０
　　１２３２２８７６８
　　１２４０１５００８
　　　　↑　↑　↑　
　この３つの数字は友愛三数です。　


　　１０３３４０６４０　⇒　２４７２４３７７６

　　２４７２４３７７６
　　　＝１２３２２８７６８＋１２４０１５００８


　　１２３２２８７６８　⇒　２２７３５５６４８

　　２２７３５５６４８
　　　＝１２４０１５００８＋１０３３４０６４０


　　１２４０１５００８　⇒　２２６５６９４０８

　　２２６５６９４０８
　　　＝１０３３４０６４０＋１２３２２８７６８


　それぞれの約数の和が、
　他の２つの数字を足したものになっていますね。

こんな滅多にない数字を見つけるって
どんな感覚なんでしょうね。

自然数の無限・・・
深いテーマですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！社交的な数？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
社交的な数？についてです。

昨日ご紹介した婚約数、
そして友愛数については、
もうおなじみさんになっているでしょうか？

今日は、
友愛数の発展した形の「社交数」のご紹介です。

ではおさらいを・・・

友愛数とは、
　２つの異なる自然数の組み合わせで、
　自身の約数の和が、互いに他方と等しくなる数。

一番小さな友愛数のペア２２０と２８４を
例にとってみると・・・

　　２２０の約数の和は、
　　　１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋
　　　　　　　　　　　２２＋４４＋５５＋１１０
　　　＝２８４
　　　と結果が元の数より大きくなりますので、
　　　　２２０　＜　２８４
　　　２２０は過剰数になります。

　　２８４の場合、　
　　　１＋２＋４＋７１＋１４２
　　　＝２２０
　　　と結果が元の数より小さくなりますので、
　　　　２８４　＞　２２０
　　　２８４は不足数になります。

互いが過剰数と不足数の関係にある2つの数のことを
友愛数というのでした。

今日ご紹介するの「社交数」は、
3つ以上の自然数の組み合わせのことをいいます。

「友愛数」は二人の関係、
「社交数」は多人数の関係といえるでしょうか。

いわゆる、
お付き合いに積極的で、
お付き合いの上手な「数」同士のことです。

社交数とは、
　ある数Aの自身を除いた約数の和が他の数Bになり、
　数Bの自身を除いた約数の和が別の数Cになる。
　そして、
　最終的に数Aになるような数の組み合わせのこと
　をいいます。

　　１２４９６
　　１４２８８
　　１５４７２
　　１４５３６
　　１４２６４
　　↑　↑　↑　
この5つの数字は社交数です。

それぞれの約数は、

　　１２４９６
　　　⇒　１，２，４，８，１１，１６，２２，４４，
　　　　７１，８８，１４２，１７６，２８４，５６８，
　　　　７８１，１１３６，１５６２，３１２４，
　　　　６２４８で、
　　　　約数の和は１４２８８です。

　　１４２８８
　　　⇒　１，２，４，８，１６，１９，３８，４７，
　　　　７６，９４，１５２，１８８，３０４，３７６，
　　　　７５２，８９３，１７８６，３５７２，
　　　　７１４４で、
　　　　約数の和は１５４７２です。

　　１５４７２
　　　⇒　１，２，４，８，１６，９６７，１９３４，
　　　　３８６８，７７３６で、約数の和は１４５３６です。

　　１４５３６
　　　⇒　１，２，４，８，２３，４６，７９，９２，
　　　　１５８，１８４，３１６，６３２，１８１７，
　　　　３６３４、７２６８で、
　　　　約数の和は１４２６４です。

　　１４２６４
　　　⇒　１，２，４，８，１７８３，３５６６，
　　　　７１３２で、
　　　　約数の和は１２４９６です。

見事に社交的な数ですね。

社交数は、
3つ以上の自然数の組み合わせといいましたが、
実は、
3個組の社交数はまだ見つかっていません。
今わかっている社交数は全部で171組ありますが、
その内訳は、
　3個組：0組
　4個組：161組
　5個組：1組
　6個組：5組
　7個組：0組
　8個組：2組
　9個組：1組
そして
 28個組：1組
となっています。

社交数の未解決問題としては、
　・3個組の社交数は存在するか？
　・社交数は無限か？
があり、
今後、注目したいところです。

無限・・・
それは未知なる世界への入り口なんですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。