Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。
Webで数学、
無限の矛盾？です。
無限とは、
限りがないこと、
限界を持たないことをいうのでした。
数学的「無限」については、
自然数の無限を「アレフゼロ」について
ご紹介してきました。
自然数には必ず次の数があって、
終わりの数がないこと、
そして無限は、
「∞」の記号で表わされ、
自然数の無限を「アレフゼロ」と呼ぶのでした。
さて、
「無限」を数学的に扱った最初の人は、
ゲオルク・カントールという数学者で、
彼は、
無限をレベル分けすることを考え、
・自然数の無限 ⇒ レベル０
・実数の無限 ⇒ レベル１
と定義したのですが、
無限のレベル分けには、
さまざまな問題が発生したのでした。
と、
ここまでが前回のおさらい。
今回は、
そのさまざまな問題が何かを
ご紹介していきましょう！
その前にちょっと数字の呼び方をまとめておきますね。
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整数とは、
ゼロ０、
正の整数で１，２，３，４，５・・・
負の整数で-１，-２，-３，-４，-５・・・
（小数・分数は含みません）
自然数とは、
正の整数で１，２，３，４，５・・・
そう、
自然数は整数の一部なんです。
偶数は、２で割り切れる数で２，４，６，８，１０・・・
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さて、
問題です。
自然数１，２，３，４，５・・・
の個数と
整数・・・-３，-２，-１，０，１，２，３・・・
の個数を数えるとします。
自然数と整数のそれぞれの個数、
あなたはどちらが多いと思いますか？
答え：同じ
えっ！？
自然数は整数の一部だから、
当然整数のほうが多いんじゃないの？？？
カントールの考え方では、
どちらも
・自然数の無限 ⇒ レベル０
にわけられます。
では、
次の問題。
自然数１，２，３，４，５，６・・・
の個数と
偶数２，４，６・・・
の個数ではどうでしょう？
答え：同じ
えっ！？
偶数は自然数の一部だから、
当然自然数のほうが多いんじゃないの？？？
しかしこれも
カントールの考え方では、
どちらも
・自然数の無限 ⇒ レベル０
にわけられてしまいます。
このように、
常識では明らかにどちらが多いかがわかるものでも、
実際に無限の個数を数えてみると同じになってしまいます。
カントールは、
直線、面、立体のように
図形的に明らかに異なるものでも
個数に分類すると「同じ」に分類されるといいます。
この矛盾は、
無限の奥深さに原因するところですが、
カントールがこの理論を発表した当時の数学者たちは、
これを受け入れず
「数学では無限を対象としない」として、
無限を数学から排除しようとしたほどです。
再び「無限」脚光を浴びたのは、
20世紀になって
カントールがこの世を去ったあとのこと。
現代数学に
「無限」がなくてはならないものになったのは、
カントールの偉業だといえますね。
