Webで数学！数学史からみえてくるもの：パッポス

Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
数学史からみえてくるもの：パッポスです。

今日は、
紀元後の数学者：パッポスにフォーカスします。

３００
　パッポス (300 頃)
　　(アレクサンドリア)
　　　　「数学集成」(幾何学)， 三平方の定理の拡張，
　　　　1 点と 1 直線からの距離の比が一定な点 の軌跡として楕円・放物線・双曲線を分類，
　　　　回転曲面の表面積， 回転体の体積

パッポスは、
3世紀後半にアレクサンドリアで活躍した数学者。
著書「数学集成八巻」のうち2～8巻の大部分が現存しています。
この本は、
当時のギリシアの幾何学の入門書で、
そこには、
　・立方体の倍加
　・二つの比例中項を求める問題
などの歴史が丹念に記載されており、
すでに解かれた問題でもその別解が与えられ、
また問題の拡張などの記述があります。
1588年コマンディーノによってラテン訳され，近世の数学者たちに大きな影響を与えました。

パッポスの定理とは・・・

4世紀ころアレクサンドリアのパッポスPappos(ラテン名パップスPappus)が発見し，
のちにギュルダンP.Guldin(1577‐1643)によって再発見された定理のこと。

例えば図においてDを半径rの円板とし，
Dの中心とlとの距離をa(＞r)とすると，
Dをlのまわりに回転して得られる円環体(ドーナツ状の立体)の体積V，表面積Sはそれぞれ，
　V＝πr2×2πa＝2π2ar2
　S＝2πr×2πa＝4π2ar
で与えられる。

古代の数学は、
円、球、平面体、立方体など幾何学のエッセンス満載ですね。

明日はアールヤバタにフォーカスします。

お楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！数学史からみえてくるもの：ディオファントス

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数学史からみえてくるもの：ディオファントスです。

今日は、
紀元後の数学者：ディオファントスにフォーカスします。

２００
　ディオファントス (250 頃)
　　(アレクサンドリア)
　　　　未知数の 導入，不定方程式の整数解

ディオファントスは、
古代ギリシャの数学者です。
エジプトのアレクサンドリアに住んでいたということは分かっていますが、
その他の詳細は知られていません。
ディオファントスは整数を解にもつ問題を作るのが得意でした。
そのような問題は「ディオファントス問題」と呼ばれています。

そして、
ディオファントスは、
著書の「算術（Arithmetica）」において、既に知られている問題をまとめ、
更に自分でも新しい問題を作りました。
この算術は翻訳され、16世紀以降のヨーロッパにおいて代数学の発展に大いに貢献することになります。
「算術」は全部で13巻から成っていましたが、
残されているのは6つの巻のみで、残りの7つの巻は失われてしまいました。
残念ですね。

また、
「フェルマーの最終定理」
　　3以上の自然数nについて、x^n+y^n=z^nとなる0でない自然数x、y、zの組み合わせは存在しない・・・
で知られる数学者ピエール･ド･フェルマーは、
ディオファントスの「算術」で多くの数学的知識を学びました。
フェルマーの
「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」
という有名な書き込みは
この「算術」の第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せ」の
欄外の余白に書き込まれたものです。
フェルマーの注釈は全部で48ヶ所にも及んだといいます。

数学の歴史って繋がっているんですね。

明日は
パッポスにフォーカスします。

お楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！数学史からみえてくるもの：プトレマイオス

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数学史からみえてくるもの：プトレマイオスです。

今日は、
紀元後の数学者：プトレマイオスにフォーカスします。

１００
　プトレマイオス・クラウディオス (85～165 頃)
　　(アレクサンドリア)
　　　　30 分ごとの正弦表，トレミーの定理 (円に 内接する四角形の辺と対角線の関係)，円錐図法，天文学

プトレマイオスは、
古代ローマの学者で、天文学、数学、地理を研究する占星術師でもありました。
彼は「地球が宇宙の中心にあり、
その地球の周りを太陽やその他の惑星が回っていると」いう天動説を唱え「アルマゲスト」を著しました。
「アルマゲスト」はそれまでに知られていた天文学の知識を体系的にまとめ上げたもので、
以後何世紀にも渡って天文学の教科書として使われていくことになります。

トレミーの定理とは・・・
 円に内接する四角形について、次の性質が知られています。
「円に内接する四角形ABCD において、対角線の積は対辺の積の和に等しい（AC・BD=AD・BC+AB・DC）」
これはプトレマイオスにちなんで「トレミーの定理」と呼ばれています。
「トレミー」はプトレマイオスの綴りの英語読み（Ptolemy）です。

また、
プトレマイオスは古代ギリシャ由来の48星座をまとめ上げ、
これらは「トレミーの48星座」と呼ばれています。
これらに大航海時代に新たに考えられたものを加えた88星座が、
現在一般的に用いられている星座名となりました。
トレミーの48星座のうちアルゴ座以外の47星座は現在まで残されています。
アルゴ座は大きすぎたために、
後に4つの星座
　・船尾(とも)
　・帆(ほ)
　・竜骨(りうゅこつ)
　・羅針盤(らしんばん)」
に分割されました。

現代人が好きな占星術も、このころプトレマイオスによって発明されたんですね。

明日は
ディオファントスにフォーカスします。

お楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！数学史からみえてくるもの：ヘロン

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数学史からみえてくるもの：ヘロンです。

今日からは、
紀元後の数学者たちにフォーカスします。
第1回目はヘロンです。

１００
　へロン (100 頃)
　　(アレクサンドリア)
　　　　ヘロンの公式，測量術

ヘロンは、
アレクサンドリアの工学者・数学者です。
蒸気の圧力や気圧、水圧を利用した色々な装置を考案したことで知られています。
サイフォンの原理を利用した「ヘロンの噴水」と呼ばれる噴水も有名です。
数学では「計量幾何学」という本を著し、様々な図形の面積の求め方を記しました。

ヘロンの公式とは・・・
「ヘロンの公式」は、三角形の三辺の長さを用いてその三角形の面積を求める公式です。
以下のようにして、三辺の長さが分かっている三角形の面積を求めることができます。

三角形の三辺の長さをそれぞれa、b、cとし、s=(a+b+c)/2とする。
このとき三角形の面積Sは

S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}

この公式では三角形の高さは必要とされないため、
土地の面積を求める際等に古くから使われてきました。
この公式はヘロンの著書「計量幾何学」で証明されたためヘロンの名がつけられましたが、
公式自体はヘロン以前に知られていたとされています。

また、
硬化投入式の自動販売機は、ヘロンが初めて考案したといわれています。
てこの原理を応用し、投入された硬貨の重みで弁が開き、
一定量の聖水が流れるという仕組みになっていました。
ヘロンの著作「気体装置」の中でこの聖水自動販売機について、図を用いて紹介しています。
ただしこの装置の発明者については、ヘロン以外の人物のものであるとする説もあります。
ヘロンの発明には、蒸気を用いた自動ドア等もあります。

ヘロンも現代につながる発明をしているのですね。

明日は
プトレマイオスにフォーカスします。

お楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！数学史からみえてくるものⅨ

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数学史からみえてくるものⅨです。

今日は、
紀元前のアルキメデスにフォーカスしていきます！

BC300
　アルキメデス (BC285～BC212) 
　　(場所：シラクサ)
　　   てこの原理，浮力の原理，面積・体積の計算法，円周率 3.14

アルキメデスは、
地中海にあるシチリア島のシラクサで生まれました。
アルキメデスは天文学者だった父親から多くのことを学びました。
その後、
当時学問の中心であったエジプトのアレクサンドリアに留学したアルキメデスは、
シラクサで過ごすことになります。
数学では図形や回転体の面積・体積を求積法により求めたため、定積分法の祖といわれています。

第二次ポニエ戦争の戦時下、
ローマ軍がシラクサに攻めてきたとき、
アルキメデスは
地面に円形を描いて
思考を巡らせていたといいます。

ローマ兵士の一人が
その円を踏みつけたところ、
アルキメデスはたいそう怒って、
「私の描いた円を壊さないでくれ！」
と言ったところ、
兵士は激高して持っていた剣で
アルキメデスを殺してしまいました。

後に、
偉大な数学者のアルキメデスを
殺害してしまったことを悔いた
ローマ軍が彼の墓を建てたといいます。

その墓には、
アルキメデスの業績をたたえて、
殻が好んだ数学的証明が題材として選ばれ、
同じ径と高さを持つ「球」と「円錐」が
デザインされました。

明日からは紀元後の数学者たちにフォーカスします。
第1回目はヘロンについてです。

お楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。