小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック２０２５年予選第３問）

　日本数学オリンピック（JMO)２０２５年予選の問題

 

今回は、日本数学オリンピック２０２５年予選第３問を取り上げ、解説します。

算数オリンピックやジュニア算数オリンピックの予選で出されても何の不思議もない問題です。

下の③だけであれば、キッズBEEに出されても何の不思議もないでしょうね。

正のというのは０より大きいということで、３ｎというのは３×ｎということです。
３ｎ＋２ということは使いません。

というより、ピースが正方形のマス何個分か考えたら負けです。
図より、
　Ｐ8＝（８＋１）×（８＋２）－８×８＝９×１０－８×８（縦９、横１０の長方形から、一辺８の正方形が切り取られているというイメージです）
　Ｐ7＝（７＋１）×（７＋２）－７×７＝８×９－７×７（縦８、横９の長方形から、一辺７の正方形が切り取られているというイメージです）
　Ｐ5＝（５＋１）×（５＋２）－５×５＝６×８－５×５（縦６、横７の長方形から、一辺５の正方形が切り取られているというイメージです）
　Ｐ4＝（４＋１）×（４＋２）－４×４＝５×６－４×４（縦５、横６の長方形から、一辺４の正方形が切り取られているというイメージです）
　Ｐ2＝（２＋１）×（２＋２）－２×２＝３×４－２×２（縦３、横４の長方形から、一辺２の正方形が切り取られているというイメージです）
　Ｐ1＝（１＋１）×（１＋２）－１×１＝２×３－１×１（縦２、横３の長方形から、一辺１の正方形が切り取られているというイメージです）

となります。
大きいものから順に並べていきます。

　　
まず、Ｐ8の並べ方ですが、８×９の長方形のスペース（黄緑色の部分）がないと、Ｐ7を並べることができなくなるので、図の黄色のように、１番長い１０のところを一辺１０の正方形の一辺とくっつけるようにする必要があり、４通りだけ考えられます。
次に、Ｐ7の並べ方ですが、１番長い９のところを黄緑色の長方形の９の辺とくっつけるようにする必要があり、２通りだけ考えられます。
この時点で、４×２＝８通りの並べ方があります。
ここで、問題を再整理すると、
　①１０×１０の正方形にピースを並べる場合
　　９×１０－８×８と８×９－７×７
　②７×７の正方形（図の紫色の部分）にピースを並べる場合
　　６×７－５×５と５×６－４×４
　③４×４の正方形にピースを並べる場合
　　３×４－２×２と２×３－１×１
となります。
①、②、③で、ピースの「長さ」が３ずつ小さくなるだけで、並べ方に関しては同様に考えることができるので、②も③もそれぞれ８通りあります。
したがって、求める並べ方は全部で８×８×８＝５１２通りあります。

 

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小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック２０２５年予選第２問）

　日本数学オリンピック（JMO)２０２５年予選の問題

 

今回は、日本数学オリンピック２０２５年予選第２問を取り上げ、解説します。

正のというのは０より大きいということで、abcd、ab、bc、cd、daはそれぞれa×b×c×d、a×b、b×c、c×d、d×aということです。
４つの整数a、b、c、dは条件的に同じですね。
２０２５＝４５×４５＝３×３×３×３×５×５となります。
まず、素因数５（合計２個）の割り振りについて考えます。
素因数５を１つだけ４つの整数a、b、c、dのうちの１つ、例えばaに割り振ると、a×bが平方数であることから、bにも素因数５を奇数個（１個）割り振ることになります。また、b×cが平方数であることから、cにも素因数５を奇数個割り振る必要がありますが、素因数５は２個しかないので、無理ですね。
したがって、素因数５を１つだけ４つの整数a、b、c、dのうちの１つに割り振ることができず、素因数５を２個とも４つの整数a、b、c、dのうちの１つに割り振ることになります。
この場合、素因数５の割り振りについては、平方数の条件をすべて満たしますね。
結局、素因数５の割り振りの仕方については４通りあります。
次に、素因数３（合計４個）の割り振りについて考えます。
素因数３を１つだけ４つの整数a、b、c、dのうちの１つ、例えばaに割り振ると、a×bが平方数であることから、bにも素因数３を奇数個（１個か３個）割り振ることになります。
bに素因数３を１個割り振ると、b×cが平方数であることから、cにも素因数３を奇数個（１個）割り振ることになり、c×dが平方数であることから、dにも素因数３を奇数個（１個）割り振ることになります。
この場合、素因数３の割り振りについては、平方数の条件をすべて満たしますね。
bに素因数３を３個割り振ると、b×cが平方数であることから、cにも素因数３を奇数個割り振る必要がありますが、素因数３は４個しかないので、無理ですね。
説明すると上のようになるのですが、文章で書くのはさすがに面倒なので、以下では、省略します。
同様の議論により、素因数３の割り振りについては、結局のところ、
　（あ）１個、１個、１個、１個
　（い）２個、２個、０個、０個
　（う）４個、０個、０個、０個
の３つの場合があります。
あとは、４つの整数a、b、c、dにどのように割り当てるかを考えるだけです（まず選び出し、次に並べるという場合の数の基本通りの考え方です）。
（あ）の場合
１通りあります。
（い）の場合
４つの整数a、b、c、dのうちどの２つの整数に素因数３を２個割り当てるかを考えればよく、（４×３）/（２×１）＝６通りあります。
（う）の場合
４つの整数a、b、c、dのうちどの１つの整数に素因数３を４個割り当てるかを考えればよく、４通りあります。
結局、素因数３の割り振りの仕方については１＋６＋４＝１１通りあります。
したがって、正の整数の組(a,b,c,d)は４×１１＝４４通りあります。
因みに、上の解説では、素因数３と５のそれぞれの割り振りについて一応調べていますが、いずれの割り振りについても偶奇が一致するように４つの整数a、b、c、d対して割り振る必要があることはすぐにわかります。
そのことを示しておきます。
a×b、b×cがともに平方数だから、a×b×b×cも平方数となりますが、b×bは平方数だから、a×cも平方数となります。
また、b×c、c×dがともに平方数だから、b×c×c×dも平方数となりますが、c×cは平方数だから、b×dも平方数となります。
結局、４つの整数a、b、c、dのうちどの２つの整数の積も平方数となります。
仮に、４つの整数a、b、c、dのうち、素因数３または５の個数の偶奇が異なるものがあるとすると、その２整数の積は平方数となりえず、矛盾が生じますね。

上の解説では、素因数３と５の個数に着目して解きましたが、（a×b）×（c×d）と（b×c）×（d×a）がともに２０２５である（（a×b）と（c×d）が２０２５の約数のペアのうちともに平方数となるものとなり、（b×c）と（d×a）も同様となります）ことに着目して解いてもいいでしょう。

 

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数の性質（分数の大小比較）の問題　洛星中学校２０１６年前期算数第１問（２）

　３つの分数１９３５/１２９、４９８９/３４３、８９２９/５９３を小さい方から順に並べなさい。

 

分数の大小比較の問題です。

一見すると面倒そうな問題ですが、実際には面倒な計算は不要です。

３つの分数のうちどの分数に着目するかが最初のポイントとなります。

もっとも、この問題の場合、「何も考えない子」でも偶然うまくいく可能性があります。

「何も考えない子」の場合、分数を出てきた順に処理しますが、この問題の場合、たまたま、最初に出てきた分数に着目すればいいからです。

ただ、そういう子の場合、分数の並びを４９８９/３４３、８９２９/５９３、１９３５/１２９などとされると、まずいことになってしまいます。

きちんと考える子であれば、この並びであっても１９３５/１２９にまず着目します。

なお、解説にある大小比較の手法についてしっかり確認しておきましょう。

詳しくは、洛星中学校２０１６年前期算数第１問（２）の解答・解説で。

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック　２０２５年予選第１問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０２５年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０２５年予選第１問を取り上げ、解説します。

正のというのは、０より大きいということです。

中学入試に出されても簡単な部類の問題で、小学生が解いても３０秒もかからないでしょう。

因みに、今年灘中を受験する教え子の一人に、今日の家庭教師の休憩時間中にお茶を飲みながら解いてもらったら、「２０２５は無理で、２０２５/３＝６７５は、６７５と６７５×２でオッケー」というように１０秒程度で解いていました。

さて、解き方を詳しく説明してみましょう。
ｍとｎの最大公約数を〇とし、ｍ、ｎをそれぞれ〇×△、〇×□（〇、△、□は１以上の整数で、△と□の最大公約数は１）とすると、ｍ＋ｎ＝２０２５だから、
　　〇×△＋〇×□＝２０２５
　　〇×（△＋□）＝２０２５
となり、〇と△＋□は２０２５の約数のペアとなります（ここまでしなくても、ｍとｎの最大公約数が２０２５の約数でないといけないことはすぐにわかるでしょう）。
最大の〇を求めるのだから、２０２５（＝４５×４５＝３×３×３×３×５×５）の約数のうち最も大きいものからチェックしていきます。
〇が２０２５の約数のうち最も大きいもの、つまり２０２５のとき、△＋□＝１となり条件を満たしません。
２０２５の約数のうち２番目に大きいものは２０２５/３＝６７５となりますね。
〇が６７５のとき、△＋□＝３となり、例えば、△＝１、□＝２とすれば条件を満たします。
したがって、答えは６７５となります。

 

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小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック２０２５年予選第４問）

　日本数学オリンピック（JMO)２０２５年予選の問題

 

今回は、日本数学オリンピック２０２５年予選第４問を取り上げ、解説します。

下の問題例のように、中学入試で昔からよく出されてきた倍数と余りの問題です。

　神戸女学院中学部１９９５年算数１日目第１問

　麻布中学校２００２年算数第２問

　神戸女学院中学部２０１９年算数第１問

さて、JMOの問題を解いてみましょう。
２、３、４、５、６のそれぞれで割った余りがどの２つも異なる数は、６０（２、３、４、５、６の最小公倍数）個ごとに同様の繰り返しで現れるから、上の麻布中学校の問題の別解のように、６０個の整数を横に６個ずつ書き出して調べつくすこともできますが、ここでは少し頭を使って解きます。
余りの連動性を考慮し、２、４、６、３、５の順に余りを考えていきます。
とりあえず１以上６０以下の整数で条件を満たすものを求めることにします。
（あ）２で割った余りが０のとき（偶数ですね）
４で割った余りは０か２となりますが、０は使えないので、４で割った余りは２と確定します。
６で割った余りは０か２か４となりますが、０と２は使えないので、６で割った余りは４と確定します。
６で割ると４余る数は３で割ると１余るということが自動的に決まります。
５で割った余りは０、１、２、３、４のいずれかですが、０と２と４と１は使えないので、５で割った余りは３と確定します。
６で割ると４余る数は、自動的に、２で割った余りが０となり、３で割った余りが１となるので、結局のところ、６で割ると４余り、４で割ると２余り、５で割ると３余る数で６０以下のものを求めることになります。

この条件を満たすものに２をたす（いわゆる不足共通の処理（上で取り上げた問題の解説を参照）ですね）と、６でも４でも５でも割り切れる数、つまり６０の倍数となるから、６０－２＝５８だけですね。
（い）２で割った余りが１のとき（奇数ですね）
４で割った余りは１か３となりますが、１は使えないので、４で割った余りは３と確定します。
６で割った余りは１か３か５となりますが、１と３は使えないので、６で割った余りは５と確定します。
６で割ると５余る数は３で割ると２余るということが自動的に決まります。
５で割った余りは０、１、２、３、４のいずれかですが、１と３と５と２は使えないので、５で割った余りは０か４となります。
６で割ると５余る数は、自動的に、２で割った余りが１となり、３で割った余りが２となるので、結局のところ、６で割ると５余り、４で割ると３余り、５で割ると０か４余る数で６０以下のものを求めることになります。
まず、５で割ると０余る数のほうについて考えます。
６で割ると５余り、４で割ると３余る数に１をたすと、６でも４でも割り切れる数、つまり１２の倍数となるから、１２の倍数から１を引いた数のうち５で割り切れるもの（一の位が０か５のもの）を探すことになりますが、奇数の場合を考えているから、一の位が５のものを探すことになります。

１２の倍数から１を引いた数で６０以下のものを書き出していきます。
　１１，２３，３５，・・・
のうち３５だけが条件を満たしますね。
次に、５で割ると４余る数のほうについて考えます。
この条件を満たすものに１をたすと、６でも４でも５でも割り切れる数、つまり６０の倍数となるから、６０－１＝５９だけですね。
（あ）、（い）より、１以上６０以下の整数の中に条件を満たすものが３５、５８、５９の３個あります。
１０００÷６０＝１６・・・４０だから、１以上１０００以下の整数の中には、条件を満たすものが３×１６＋１＝４９個あります。

 

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