今回は、日本数学オリンピック２０２５年予選第４問を取り上げ、解説します。
下の問題例のように、中学入試で昔からよく出されてきた倍数と余りの問題です。
さて、JMOの問題を解いてみましょう。
２、３、４、５、６のそれぞれで割った余りがどの２つも異なる数は、６０（２、３、４、５、６の最小公倍数）個ごとに同様の繰り返しで現れるから、上の麻布中学校の問題の別解のように、６０個の整数を横に６個ずつ書き出して調べつくすこともできますが、ここでは少し頭を使って解きます。
余りの連動性を考慮し、２、４、６、３、５の順に余りを考えていきます。
とりあえず１以上６０以下の整数で条件を満たすものを求めることにします。
（あ）２で割った余りが０のとき（偶数ですね）
４で割った余りは０か２となりますが、０は使えないので、４で割った余りは２と確定します。
６で割った余りは０か２か４となりますが、０と２は使えないので、６で割った余りは４と確定します。
６で割ると４余る数は３で割ると１余るということが自動的に決まります。
５で割った余りは０、１、２、３、４のいずれかですが、０と２と４と１は使えないので、５で割った余りは３と確定します。
６で割ると４余る数は、自動的に、２で割った余りが０となり、３で割った余りが１となるので、結局のところ、６で割ると４余り、４で割ると２余り、５で割ると３余る数で６０以下のものを求めることになります。
この条件を満たすものに２をたす（いわゆる不足共通の処理（上で取り上げた問題の解説を参照）ですね）と、６でも４でも５でも割り切れる数、つまり６０の倍数となるから、６０－２＝５８だけですね。
（い）２で割った余りが１のとき（奇数ですね）
４で割った余りは１か３となりますが、１は使えないので、４で割った余りは３と確定します。
６で割った余りは１か３か５となりますが、１と３は使えないので、６で割った余りは５と確定します。
６で割ると５余る数は３で割ると２余るということが自動的に決まります。
５で割った余りは０、１、２、３、４のいずれかですが、１と３と５と２は使えないので、５で割った余りは０か４となります。
６で割ると５余る数は、自動的に、２で割った余りが１となり、３で割った余りが２となるので、結局のところ、６で割ると５余り、４で割ると３余り、５で割ると０か４余る数で６０以下のものを求めることになります。
まず、５で割ると０余る数のほうについて考えます。
６で割ると５余り、４で割ると３余る数に１をたすと、６でも４でも割り切れる数、つまり１２の倍数となるから、１２の倍数から１を引いた数のうち５で割り切れるもの（一の位が０か５のもの）を探すことになりますが、奇数の場合を考えているから、一の位が５のものを探すことになります。
１２の倍数から１を引いた数で６０以下のものを書き出していきます。
１１，２３，３５，・・・
のうち３５だけが条件を満たしますね。
次に、５で割ると４余る数のほうについて考えます。
この条件を満たすものに１をたすと、６でも４でも５でも割り切れる数、つまり６０の倍数となるから、６０－１＝５９だけですね。
（あ）、（い）より、１以上６０以下の整数の中に条件を満たすものが３５、５８、５９の３個あります。
１０００÷６０＝１６・・・４０だから、１以上１０００以下の整数の中には、条件を満たすものが３×１６＋１＝４９個あります。
