今回は、日本数学オリンピック２０２５年予選第３問を取り上げ、解説します。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックの予選で出されても何の不思議もない問題です。
下の③だけであれば、キッズBEEに出されても何の不思議もないでしょうね。
正のというのは０より大きいということで、３ｎというのは３×ｎということです。
３ｎ＋２ということは使いません。
というより、ピースが正方形のマス何個分か考えたら負けです。
図より、
Ｐ8＝（８＋１）×（８＋２）－８×８＝９×１０－８×８（縦９、横１０の長方形から、一辺８の正方形が切り取られているというイメージです）
Ｐ7＝（７＋１）×（７＋２）－７×７＝８×９－７×７（縦８、横９の長方形から、一辺７の正方形が切り取られているというイメージです）
Ｐ5＝（５＋１）×（５＋２）－５×５＝６×８－５×５（縦６、横７の長方形から、一辺５の正方形が切り取られているというイメージです）
Ｐ4＝（４＋１）×（４＋２）－４×４＝５×６－４×４（縦５、横６の長方形から、一辺４の正方形が切り取られているというイメージです）
Ｐ2＝（２＋１）×（２＋２）－２×２＝３×４－２×２（縦３、横４の長方形から、一辺２の正方形が切り取られているというイメージです）
Ｐ1＝（１＋１）×（１＋２）－１×１＝２×３－１×１（縦２、横３の長方形から、一辺１の正方形が切り取られているというイメージです）
となります。
大きいものから順に並べていきます。
まず、Ｐ8の並べ方ですが、８×９の長方形のスペース（黄緑色の部分）がないと、Ｐ7を並べることができなくなるので、図の黄色のように、１番長い１０のところを一辺１０の正方形の一辺とくっつけるようにする必要があり、４通りだけ考えられます。
次に、Ｐ7の並べ方ですが、１番長い９のところを黄緑色の長方形の９の辺とくっつけるようにする必要があり、２通りだけ考えられます。
この時点で、４×２＝８通りの並べ方があります。
ここで、問題を再整理すると、
①１０×１０の正方形にピースを並べる場合
９×１０－８×８と８×９－７×７
②７×７の正方形（図の紫色の部分）にピースを並べる場合
６×７－５×５と５×６－４×４
③４×４の正方形にピースを並べる場合
３×４－２×２と２×３－１×１
となります。
①、②、③で、ピースの「長さ」が３ずつ小さくなるだけで、並べ方に関しては同様に考えることができるので、②も③もそれぞれ８通りあります。
したがって、求める並べ方は全部で８×８×８＝５１２通りあります。
