今回は、日本数学オリンピック２０２５年予選第１問を取り上げ、解説します。
条件の厳しいところから考え、条件の対等性を利用するという場合の数の基本的な考え方がマスターできていれば小学生でも解けるでしょう。
中学入試で出されても何の不思議もありません。
まず、７個のマスについて分析します。
真ん中のマスは他の６つのマスと隣り合っていて、周りにある６つのマスはいずれも３つのマスと隣り合っていますね。
隣り合う２マスに書き込まれた整数の和が１０以下となるという上限があるので、１から７までの整数のうち１番大きい整数７にまず着目します。
７を書き込んだマスの隣のマスに書き込める整数は１、２、３のいずれかとなり、７を真ん中のマスに書き込むことはできず、周りにある６つのマスのいずれかに書き込むことになり、１、２、３は７を書き込んだ隣のマスに書き込むことになります。
条件の対等性より、７をピンク色のマスに書き込んだ場合を考え、６倍すれば答えが得られます。
黄色の３つのマスにそれぞれ１、２、３のいずれかの整数を書き込むことになり、水色の２つのマスと黄緑色のマスにそれぞれ４、５、６のいずれかの整数を書き込むことになります。
次に、２番目に大きい整数６に着目します。
６の隣に５を書き込むことはできず、６と５はそれぞれ水色のマスに書き込む（入れ替えを考慮すると２通りありますね）ことになり、その結果、黄緑色のマスに４を書き込むことになります。
このとき、黄色の３つのマスの数字の書き込み方は３×２×１＝６通りありますが、いずれの場合もすべての条件を満たします。
したがって、整数の書き込み方は全部で２×６×６＝７２通りあります。
